聚焦算理与算法发展运算素养-四年级上册“三位数乘两位数的笔算”教学设计

聚焦算理与算法，发展运算素养——四年级上册“三位数乘两位数的笔算”教学设计

  一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，深刻践行以核心素养为导向的课程理念。运算能力不仅是数学的基础能力，更是构成学生数学核心素养的关键成分。它并非单纯的技能操练，而是理解算理、掌握算法、寻求合理简洁运算途径的思维能力体现。本课设计立足于“数的运算”教学的一致性原理：所有运算均基于计数单位进行。因此，三位数乘两位数的笔算，其本质是计数单位（个、十、百、千等）的累加与转换过程。教学将紧扣这一核心算理，引导学生从已知的两位数乘两位数笔算迁移至新知，在主动建构中理解乘法竖式中每一步乘积的意义及数位对齐的原理，实现算理直观与算法抽象的有机统一。同时，本设计借鉴建构主义学习理论，创设真实、富有挑战性的问题情境，促使学生在自主探究、合作辨析、反思优化中完成知识的个人意义建构，发展推理意识、模型意识和应用意识。

  二、教学背景分析

  （一）教学内容分析

  “三位数乘两位数的笔算”是人教版小学数学四年级上册第四单元“三位数乘两位数”的核心内容。在此之前，学生已经熟练掌握了三位数乘一位数、两位数乘两位数的笔算方法，理解了乘法作为“相同加数和的简便运算”的基本含义，并具备了多位数加减法笔算中对数位、进位处理的扎实基础。本节课是整数乘法笔算知识链上的关键节点，它既是对两位数乘两位数笔算算理与算法的自然扩展与深化，又为后续学习小数乘法、更复杂多位数乘法以及除法笔算（试商基础）奠定了不可或缺的基石。从知识结构看，其算法本质与两位数乘两位数完全相同，即“用第二个因数每一位上的数分别去乘第一个因数，乘得的积的末位与相应的数位对齐，最后把几次乘得的积加起来”。教学的难点与重点在于引导学生跨越“因数位数增加”带来的表面复杂性，深刻理解“部分积”的位值意义及正确书写位置，并能够清晰、有条理地表述计算过程，形成结构化、可迁移的笔算乘法认知模型。

  （二）学情分析

  四年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们具备以下学习基础与潜能：第一，已掌握两位数乘两位数的笔算技能，具备通过类比迁移探索新知的可能。第二，对位值制有深刻理解，能明确区分数字在不同数位上代表的实际数值。第三，具备初步的自主探究与合作交流能力。然而，潜在的学习困难也不容忽视：首先，部分学生在进行两位数乘两位数计算时，对“第二个因数十位上的数乘第一个因数，所得积的末位为什么要写在十位上”这一算理理解可能仍停留在记忆层面，而非基于位值的透彻理解，这将直接影响对新知的深度建构。其次，三位数乘两位数计算步骤增多，部分积的层数增加，学生在书写过程中容易出现数位对错、遗漏加进位、书写不规范导致视觉混淆等问题。最后，面对更复杂的计算，学生可能产生畏难情绪或满足于机械模仿，缺乏深入探究算理内在一致性的动力。因此，教学需通过精心设计，激活学生的已有经验，暴露认知冲突，在思辨中深化理解。

  （三）教学方式与手段说明

  本课将主要采用“情境创设法”、“探究发现法”、“合作学习法”与“分层练习法”相结合的教学方式。手段上，将充分利用多媒体课件进行动态演示，特别是通过计数器、方块模型等直观教具或动画，将抽象的“计数单位累加”过程可视化，架起算理与算法之间的桥梁。同时，为学生提供学习单，引导其经历“独立尝试—小组交流—全班辨析—优化巩固”的完整学习过程，让思维可视化。板书设计将力求结构化，清晰呈现从具体情境到抽象算式，从算法多样化到算法优化，从计算过程到算理阐释的完整思维脉络。

  三、教学目标

  （一）核心素养导向的教学目标

  1.运算能力：在理解三位数乘两位数笔算算理的基础上，掌握其笔算方法，能正确、熟练地进行计算，并能初步选择合理算法解决实际问题。发展计算的准确性、灵活性及对运算过程的监控与反思能力。

  2.推理意识：经历从两位数乘两位数到三位数乘两位数的迁移、类比与归纳过程，能解释笔算乘法每一步的合理性，理解其算理的一致性，形成有理有据的思维习惯。

  3.模型意识：在解决实际问题的过程中，抽象出三位数乘两位数的数学模型（算式），感受笔算乘法作为一种普适性工具的意义。

  4.应用意识：能自觉运用三位数乘两位数的知识解决现实生活中相关的简单问题，体会数学的价值。

  （二）具体教学目标

  1.知识与技能：结合具体情境，探索并掌握三位数乘两位数的笔算方法，理解用第二个因数十位和个位上的数分别去乘第一个因数，所得积的书写位置及其道理。能正确、规范地列竖式计算三位数乘两位数，解决相应的实际问题。

  2.过程与方法：经历探索三位数乘两位数笔算方法的全过程，通过对比、辨析、归纳等活动，沟通新旧知识间的联系，实现算法的有效迁移与自主建构，提升迁移类推和归纳概括能力。

  3.情感、态度与价值观：在自主探究与合作交流中获得成功的体验，增强学习数学的信心；感受笔算乘法在生活中的广泛应用，养成认真计算、细心检查的良好学习习惯。

  四、教学重难点

  教学重点：掌握三位数乘两位数的笔算方法，并能正确进行计算。

  教学难点：理解三位数乘两位数笔算的算理，特别是第二个因数十位上的数去乘第一个因数时，所得积的末位为什么要写在十位上。

  五、教学准备

  教师准备：多媒体课件（内含情境动画、计数器动态演示、分层练习题）、实物投影仪、结构化的板书设计贴片。

  学生准备：学习单、课堂练习本、直尺。

  六、教学过程

  （一）创设情境，提出问题（预计用时：5分钟）

  师：同学们，学校即将举办“书香校园”图书义卖活动，为山区小学筹建图书馆。我们班的筹备小组遇到了一个采购问题，请大家来做参谋。课件出示情境：筹备组计划购买一批《中国儿童百科全书》作为义卖品。已知每套《百科全书》的售价是145元，如果我们想购买12套，一共需要准备多少钱呢？

  师：谁能列出解决这个问题的算式？

  生：145×12。

  师：这个乘法算式与我们之前学过的乘法有什么不同？

  生：之前我们学过三位数乘一位数，两位数乘两位数，这个是三位数乘两位数。

  师：你的观察非常准确！这就是我们今天要共同研究的新问题——“三位数乘两位数的笔算”（揭示课题的一部分于板书）。145×12，这个三位数乘两位数的结果到底是多少？又该如何通过笔算来得到它呢？让我们带着这个问题开始今天的探索之旅。

  （设计意图：创设与学生校园生活紧密相连的真实情境，激发学习兴趣和解决问题的内在动机。从实际问题自然引出算式“145×12”，通过对比旧知，明确本节课学习内容的“新”之所在，即因数位数的扩展，从而自然聚焦核心问题。）

  （二）激活旧知，尝试迁移（预计用时：8分钟）

  师：面对新问题“145×12”，我们并非毫无准备。想一想，我们已经掌握了哪些相关的计算本领？

  生1：我们会算两位数乘两位数，比如45×12。

  生2：我们也会算三位数乘一位数，比如145×2。

  师：很好！这些已有的知识就像我们手中的工具。现在，请同学们在学习单上独立尝试，运用你想到的方法，计算出145×12的结果。可以画图，可以拆分，也可以用竖式试一试。看谁的方法有道理、讲得清。

  （学生独立尝试，教师巡视，收集典型算法，特别是多样化的竖式写法，包括正确和典型错误的。）

  师：老师发现大家都有了自己的思考。我们请几位同学把他们的方法展示给大家看。

  方法一（口算拆分）：

  生：我把12拆成10和2。145×10=1450，145×2=290，然后把它们加起来：1450+290=1740。所以需要1740元。

  师：思路清晰，利用了乘法的意义和已学的口算。

  方法二（不完全迁移的竖式）：

  生：我学着两位数乘两位数那样写竖式。（板演）

   145

  × 12

  ————

   290（这是145×2）

  145（这是145×1？）

  ————

   435

  师：请大家仔细看这个竖式，对于第二步的“145”，你有什么疑问或想说的吗？

  生：这个“145”表示什么？是145×1吗？145×1应该等于145，但这里的“1”是十位上的1，表示1个十，所以145×1个十应该是145个十，也就是1450。他直接写了145，数位好像没对齐。

  师：一石激起千层浪！这位同学提出了一个非常关键的问题：第二个因数十位上的“1”去乘145，得到的积到底是多少？应该怎么写？这正是我们探索的核心。让我们借助更直观的工具来思考。

  （设计意图：本环节旨在“温故”而“知新”。鼓励学生调用已有知识储备（口算、旧竖式）进行自主尝试，是尊重学生认知起点的表现。展示不同的方法，特别是暴露基于模糊认知产生的错误竖式，能有效制造认知冲突，将教学难点“第二个因数十位上数的乘积书写位置”自然凸显出来，使学生产生强烈的解惑需求，为接下来的算理探究提供动力。）

  （三）操作探究，明晰算理（预计用时：15分钟）

  1.借助直观，理解“145×10”的意义。

  师：（课件演示）我们回到问题本身。一套145元，买10套就是145×10。在计数器上如何表示145×10呢？原来的145（在计数器上用1个百珠、4个十珠、5个个珠表示）。乘以10，就是扩大到原来的10倍，每个计数单位会发生什么变化？

  生：个位上的5个一变成5个十，要向十位进；十位上的4个十变成4个百，要向百位进；百位上的1个百变成1个千。

  （课件动态演示：个位珠清零，向十位进5个十；十位原有4个十加进位的5个十，满十向百位进，最终十位是9个十？此处故意设置一个冲突：需要清晰展示完整的数值变化过程。更准确的演示应是：145=1个百+4个十+5个一。×10后，变成(1个百×10)+(4个十×10)+(5个一×10)=10个百+40个十+50个一=1个千+4个百+9个十+0个一=1490？这显然是错误的，暴露了单纯口头描述的局限性，必须借助更系统的位值思想。）

  师：看来直接在计数器上拨有点乱。我们换个思路。145×10，就是10个145相加。我们可以把145拆开看：145是由1个百、4个十、5个一组成的。10个1个百是多少？

  生：10个百，就是1个千。

  师：10个4个十呢？

  生：40个十，也就是4个百。（因为10个十是1个百，40个十就是4个百）

  师：10个5个一呢？

  生：50个一，也就是5个十。

  师：现在，我们把它们合起来：1个千+(原来的4个百+10个4个十变成的4个百)+(10个5个一变成的5个十)。注意，这里4个百出现了两次？我们需要系统地用位值思想思考：145=100+40+5。145×10=(100+40+5)×10=100×10+40×10+5×10=1000+400+50=1450。所以，145×10=1450，也就是145个十。

  2.联结竖式，定位“部分积”。

  师：现在我们明白了，145×10=1450。那么在竖式中，用第二个因数十位上的“1”（代表1个十）去乘145，得到的应该是145个十，也就是1450。这个“1450”在竖式里该怎么简洁地表示出来呢？回想一下两位数乘两位数的竖式，比如45×12，用十位上的1乘45得45个十，我们是直接把“45”写在十位对应的下面。这里原理一样，因为写在十位下，就默认了末尾的0（个位上的0）。所以，为了简便，我们通常把“1450”末尾的0省略不写，直接把145的个位“5”对齐十位。但我们的心里要非常清楚，这个“145”代表的是145个十。

  （教师规范板演竖式，并配合讲解）

   145

←(表示145个一)

  × 12

←(1个十和2个一)

  ————

   290

←(145×2=290个一)，积的末位（个位）与因数的个位对齐。

  145

←(145×10=145个十=1450)，积的末位（个位）与因数的十位对齐。

  ————

   1740←(把两部分积相加：290个一+1450个一=1740个一)

  师：现在谁能完整地说一说这个竖式计算的过程？

  生：先用第二个因数个位上的2去乘145，得290，末位和个位对齐。再用第二个因数十位上的1去乘145，得145个十，也就是1450，把4写在十位下。最后把两次乘得的积加起来，得到1740。

  3.对比辨析，深化理解。

  师：现在请大家对比一开始那位同学写的竖式和现在的标准竖式，关键区别在哪里？为什么必须这样写？

  生：关键区别在于第二步积的书写位置。错误写法把145的末位和个位对齐了，那表示的是145个一，而不是145个十。因为十位上的1表示1个十，乘出来的积是“多少个十”，所以积的末位（个位）应该和这个“十位”对齐，这样整个数就表示“多少个十”了。

  师：总结得精辟！这就是笔算乘法中“数位对齐”的核心规则：用哪一位上的数去乘，乘得的积的末位就要和那一位对齐。这保证了不同计数单位上的乘积能够正确累加。

  （设计意图：本环节是突破教学难点的核心过程。首先，摆脱对计数器动态演示可能产生混乱的依赖，回归乘法的分配律本质和系统的位值分解，通过逻辑推理阐明“145×10=1450”的由来。然后将这一结果与竖式书写建立联系，解释简便写法背后的算理依据——“末位对齐”原则。最后通过前后对比，引导学生自己发现错误根源，总结出核心算法规则，实现从直观理解到抽象规则的飞跃，算理与算法得以牢固捆绑。）

  （四）归纳算法，巩固内化（预计用时：10分钟）

  1.抽象概括，形成法则。

  师：通过刚才的研究，我们不仅算出了答案，更明白了道理。现在，你能尝试总结一下三位数乘两位数的笔算方法吗？可以同桌之间先互相说一说。

  （学生讨论后汇报）

  师生共同归纳（板书要点）：

  （1）相同数位对齐。一般将位数多的因数写在上面。

  （2）用第二个因数个位上的数去乘第一个因数每一位上的数，积的末位与个位对齐。

  （3）用第二个因数十位上的数去乘第一个因数每一位上的数，积的末位与十位对齐。

  （4）把两次乘得的积加起来。

  师：这个方法，和我们之前学习的两位数乘两位数的笔算方法，有什么联系？

  生：方法完全一样！只是第一个因数从两位数变成了三位数。都是先用第二个因数的个位乘，再用十位乘，乘得的积的末位要和乘的那一位对齐，最后加起来。

  师：了不起的发现！这说明整数乘法的笔算算理和算法是相通的、一致的。掌握了这个方法，即使将来遇到四位数乘两位数、三位数乘三位数，你们也能自己探索出来。

  2.初步练习，规范格式。

  师：光说不练假把式。请大家拿出练习本，完成下面两道题，注意书写规范，并和同桌互相说说计算过程。

  （1）134×12（2）237×14

  （教师巡视，重点检查数位对齐、进位加法以及书写工整度。选取有代表性的作业进行投影展示与简短点评。）

  （设计意图：在充分感知和探究的基础上，引导学生用自己的语言归纳算法，将具体经验上升为一般方法，培养概括能力。通过将新算法与旧算法进行联系比较，帮助学生构建笔算乘法的整体认知结构，感悟数学知识的一致性与可扩展性。及时的初步练习旨在巩固算法、规范格式，并通过同桌互说过程加深对算理的理解。）

  （五）变式练习，拓展提升（预计用时：8分钟）

  师：掌握了基本方法，我们迎接一些更有挑战的任务，看看大家能否灵活运用。

  1.纠错小医生（判断并改正）。

   123     206

  × 23    × 35

  ————    ————

   369    1030

  246    618

  ————    ————

   615    7210

  （引导学生分析第一题错误：第二步用十位上的2乘123，得246个十，末位6应对齐十位，而题中与个位对齐了。第二题错误：用个位5乘206时，5×0=0，加上进位的2（5×6=30，进3？此处需仔细计算：5×6=30，写0进3；5×0=0，加进位3得3；5×2=10，写0进1？原题“1030”显然是错误的，应是1030？让我们计算：206×5=1030，没错。但原题竖式中第二层积是618，这是206×30=6180的简写，末位应对齐十位。和1030相加得7210，这个结果正确，但竖式中第二层积“618”的书写位置（末位8对齐十位）是正确的，而学生容易误以为“618”是错误书写，因为它末尾的0省略了。此题旨在辨析“中间有0的因数”的乘法及部分积的简便写法。）

  师：第二题的结果正确，但过程书写容易引起误解。206×30，先算206×3=618，因为乘的是30，所以实际结果是618个十，即6180。竖式中通常把0省略不写，直接写618，但8要写在十位上。这个写法是规范的简便写法。第一题则是典型的数位对齐错误。

  2.解决问题（分层）。

  （1）基础题：学校图书馆新进一批图书，每本定价28元，购买125本，一共要花多少钱？

  （2）提升题：一列高速列车平均每小时行驶285千米。从A城到B城，需要行驶14小时。A城到B城的铁路全长大约是多少千米？（先估算，再笔算验证）

  （3）拓展题（选做）：计算123×121。观察这个乘法算式的因数特点，你能发现它与我们刚才学的有什么不同吗？尝试用今天掌握的算理和算法去计算它。

  （学生独立完成，教师关注不同层次学生的完成情况，对拓展题进行思路点拨：第二个因数是三位数，但百位上的1代表1个百，乘得的是123个百，积的末位应对齐百位。实质是计算123×100、123×20、123×1，然后把三部分积相加，方法原理完全一致，只是步骤多一步。）

  （设计意图：练习设计体现层次性、针对性和思维性。“纠错”练习直指计算中的典型易错点（数位对齐、中间有0的乘法），培养学生批判性思维和细致审题的习惯。解决问题将计算置于实际背景中，基础题巩固新知，提升题融入估算策略，培养数感。拓展题旨在引导学生进行知识的正向迁移，挑战思维极限，为学有余力的学生提供发展空间，同时渗透“三位数乘三位数”的算法雏形，体现知识的连贯性。）

  （六）课堂总结，反思延伸（预计用时：4分钟）

  师：回顾这节课的探索之旅，你有哪些收获？还有什么疑问？

  生1：我学会了三位数乘两位数的笔算方法，并且知道了为什么要那样对齐数位。

  生2：我发现三位数乘两位数和以前学的两位数乘两位数方法是一样的，都是分别去乘，然后对齐加起来。

  生3：我明白了算理很重要，知道了为什么，才能算得对、记得牢。

  师：大家的总结非常深刻。我们不仅学会了一种新的计算技能，更重要的是理解了技能背后的数学原理——位值制思想和乘法分配律在笔算中的体现。数学知识就像一棵大树，新知识是从旧知识的枝干上生长出来的。课后，请大家完成以下任务：

  1.基础作业：课本第X页“做一做”第1题、练习八第1题。

  2.实践调查：寻找生活中需要用三位数乘两位数来解决的问题例子，并尝试列式计算。（例如：了解家里每月的水电费单价和用量，计算总费用；查阅某种产品的包装规格和箱数，计算总数量等。）

  3.思维挑战（选做）：研究“铺地锦”等古代乘法计算方法，并与现代笔算方法进行比较，看看它们之间有什么联系。

  （设计意图：通过开放式总结，引导学生从知识、技能、方法、思想等多个维度回顾学习历程，促进元认知发展。作业布置体现分层与开放性，基础作业保障全体学生掌握核心技能；实践调查将数学学习延伸至生活，强化应用意识；思维挑战融合数学文化，激发兴趣，拓宽视野，体现学科育人的全面性。）

  七、板书设计

  （黑板左侧为结构化主板书，右侧为副板书用于学生板演或关键提示）

  主板书：

  三位数乘两位数的笔算

  问题：145×12=？

  算理：

  145×12=145×(10+2)

     =145×10+145×2

     =1450+290

     =1740

  算法（竖式）：

    145  ←(145个一)

   × 12  ←(1个十和2个一)

   ————

    290  ←(145×2=290个一)  …末位与**个位**对齐

   145  ←(145×10=145个十=1450)…末位与**十位**对齐

   ————

    1740

  计算法则：

  1.相同数位对齐。

  2.用第二个因数个位上的数去乘……积的末位与个位对齐。

  3.用第二个因数十位上的数去乘……积的末位与十位对齐。

  4.把两次乘得的积相加。

  核心：用哪一位乘，积的末位就和那一位对齐。

  八、教学反思与特色说明

  （本部分为教学设计者课后反思与自评之用，不直接呈现于学生课堂。）

  本节课的设计力求体现当前运算教学的高标准与新理念