《经济应用数学》教学教案（全）

PAGE21第课PAGE21第课函数与极限（一）函数与极限（一）第课PAGE3函数与极限（一）第课PAGE31《经济应用数学》

教案课时分配表章序课程内容课时备注1函数与极限82导数与微分43导数的应用84不定积分与定积分65矩阵66线性方程组及其应用67概率论基础68数理统计初步6合计50

课题函数与极限（一）——认识函数课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、掌握函数的概念。2、掌握基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数和反函数的定义与性质。3、掌握常用的经济函数模型。思政育人目标：通过学习函数及其性质，使学生学会用函数来解决实际生活中的问题，体会到数学是源于生活的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力。教学重难点教学重点：函数的定义及性质教学难点：常用的经济函数模型的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（10min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前问答题：【学生】提前上网搜索了解，查阅资料，了解问题，熟悉教材通过课前的预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况引例导入

（10min）【教师】讲解引例1引例1某市电视台应广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查，播放甲连续剧时，平均每集的收视观众有30万人次；播放乙连续剧时，平均每集的收视观众有25万人次．广告公司要求电视台每周播放两部连续剧共8集．（1）设每周播放甲连续剧x集，甲、乙两部连续剧的收视观众人次总和为y万人次，请写出x和y之间的关系；（2）已知电视台每周只能为该广告公司提供不超过360min的播放时间，并且播放每集甲连续剧需55min，播放每集乙连续剧需40min．求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使每周收看甲、乙两部连续剧的观众人次总和最大，并求出最大值．分析（1）若每周播放x集甲连续剧，则播放集乙连续剧．故可得到y与x之间的关系为．（2）由于两部连续剧的每周播放时间不能超过360min，故有，得．由可知，随的增大而增大，且为自然数，故当时，，此时．所以，电视台每周应分别播放2集甲连续剧和6集乙连续剧，才能使每周的收视观众人次总和最大，最大值是210万人次．【学生】聆听、思考、回答通过引例使学生了解函数在实际问题中的应用，使学生体会到数学与我们的生活是息息相关的知识讲解

（23min）【教师】讲解函数的定义、表示方法与性质，并通过例题讲解介绍其应用定义1设和是两个变量，是一个给定的非空数集．若对于每一个，按照某一确定的对应法则，都有唯一确定的与之对应，则称是定义在数集上的的函数，记作，，其中，称为自变量，称为函数（或因变量），称为该函数的定义域．例1求下列函数的定义域．（1）； （2）．解（1）要使函数有意义，需满足故函数的定义域为．（2）要使函数有意义，需满足即，故函数的定义域为．2．函数的表示法函数通常有以下三种表示法．（1）解析法：用数学式子表示函数，也称为公式法，如一次函数和二次函数等．其优点是便于理论推导和计算．（2）表格法：以表格形式表示函数，如三角函数表、对数表等．其优点是所求函数值可直接查表获得．（3）图形法：用图形表示函数，如某地一天的气温变化曲线图、上证指数K线图等．其优点是形象直观，可看到函数的变化趋势．3．函数的性质1）单调性设函数，，区间，对于任意的，当时，（1）若恒有，则称函数在上单调递增，称为单调增区间；（2）若恒有，则称函数在上单调递减，称为单调减区间．2）奇偶性设函数的定义域关于坐标原点O对称，对于任意，（1）若有，（2）3）周期性设函数，．若存在非零实数，使得对任意，都有且，则称为周期函数，为的周期．4）有界性设函数，，区间．若存在一个正数，使得对任意，都有，则称函数在上有界；否则称函数在上无界．5.基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数．【学生】掌握函数的定义、表示方法与性质，掌握常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数学习函数的定义、表示方法与性质，掌握常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】从课后习题中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解复合函数、初等函数、分段函数和反函数，同时学习一些常用的经济函数模型，并通过例题加深学生对概念的理解定义2设，．若的值域或部分值域是的定义域的子集，则变量与之间通过变量形成一种新的函数关系，这种函数关系称为由与复合而成的复合函数，记为，其中称为自变量，称为中间变量，称为因变量．定义3由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合，且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数．．分析当时，；当时，．所以，该函数关系为像上述函数这样，在其定义域内，当自变量在不同的范围内取值时，需用不同的数学式子表示，这类函数称为分段函数．定义4设函数，，其值域为．若对于中的每一个，中都有唯一确定的与之对应，则得到一个定义在上以为自变量的函数，称这个函数为的反函数，记作．常见的需求函数有以下三种类型．（1）线性需求函数：；（2）二次需求函数：；（3）指数需求函数：．供给是指某一时间内和一定的价格水平下，生产者愿意并可能为市场提供某种商品的数量．生产者对某种商品的供给受许多因素的影响，如价格、成本、技术、预期等．通常，在假设其他因素不变的条件下，供给量S也可视为该商品价格p的函数，称为供给函数，记作．某智能音箱售价为80元/台时，月销售量是1000台；当售价调整为85元/台时，月销售量为600台，求该商品的线性需求函数．设该商品的线性需求函数为．由题意可知，当时，；当时，，代入得解得．所以，该商品的需求函数为．可变成本是指随产量变化而变化的成本，如工人工资、原材料费等．因此总成本C是产量q的函数，即，称为．平均成本函数（也叫单位成本函数）记为．总收益R是指生产者将产品售出后的全部所得，总收益等于产品的单价与销售量的乘积．为了研究问题方便，假设生产的产品能全部销售出去，即销售量产量q．若销售过程中价格p不变，则总收益是销售量q的函数，即，称为收益函数．总利润L是总收益R减去总成本C，可表示为，所以，总利润是产量或销售量q的函数，称为．当时，企业盈利；当时，企业亏损；当时，企业盈亏平衡．在利润贡献分析法中，将满足的点称为或．已知某产品的总成本函数为，该产品的价格p与销售量q的关系为，求总收益函数和总利润函数．总收益函数为．总利润函数为．【学生】掌握复合函数、初等函数、分段函数和反函数，同时掌握一些常用的经济函数模型学习复合函数、初等函数、分段函数和反函数，同时学习一些常用的经济函数模型。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】从课后习题中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了函数的定义、表示方法与性质，同时掌握了常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，复合函数，初等函数，课后要多加练习。也掌握了复合函数、初等函数、分段函数和反函数，同时掌握了一些常用的经济函数模型，课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：课后习题1.1、1.3总结知识点，巩固印象教学反思本节课的教学效果整体不错，大部分学生都能很好地掌握并运用所学知识，只是有小部分学生在课堂测验时出现了一些错误。在课堂上有针对性地对一些典型错误进行了讲解，并引导学生对所犯的错误进行了认识和反思，防止其以后再犯同类错误。

课题函数与极限（二）——认识极限课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握数列的定义与极限的定义（2）掌握函数的极限（3）掌握无穷大与无穷小，并掌握两者的关系（4）掌握极限的性质与运算法则（5）掌握两个重要极限的定义思政育人目标：将极限理念运用到实际生活中，激发学生学习数学的兴趣；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：极限的性质、极限的运算法则、两个重要极限教学难点：极限的计算教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（12min）课堂小结（8min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解数列的定义、数列的极限，并通过例题讲解介绍其应用定义1在某一法则下，当依次取时，对应的实数排成一列数，这列数就称为数列，记作．定义2对于数列，当n无限增大时，如果数列的一般项无限接近于某一确定的常数a，则称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记作；如果数列没有极限，则称数列是发散的．例1讨论下列数列的变化趋势，说明极限是否存在，若存在，请写出它们的极限．（1）； （2）； （3）； （4）．解（1）的项依次为，当n无限增大时，无限接近于1，所以．（2）的项依次为，当n无限增大时，交替为0和1，不接近于某一个常数，所以，该数列的极限不存在．（3）的项依次为，当n无限增大时，无限接近于0，所以，．（4）为常数数列，无论n取怎样的正整数，始终为8，所以，．【学生】掌握数列的定义与数列的极限【教师】讲解函数的极限，并通过例题讲解介绍其应用1．当时，函数的极限定义3当x的绝对值无限增大，即时，如果函数值无限接近于某一个确定的常数A，那么A就称为函数当时的极限，记作或．定理1的充分必要条件是．2．当时，函数的极限定义4设函数在点的附近有定义（在处可以无定义），如果存在一个常数A，当x无限趋于时，函数的值无限接近于A，那么A就称为函数当时的极限，记作或．定理2当时，以A为极限的充分必要条件是在点处的左、右极限存在且都等于A，即．图1-10例5设讨论是否存在？图1-10解函数的图形如图1-10所示，由图中可以看出，．因为，所以不存在．【学生】掌握不同情况下，函数的极限【学生】掌握极限的性质与运算法则，也掌握两个重要极限学习数列的极限、函数的极限。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解无穷大与无穷小的定义以及性质，并讲解无穷小与无穷大的关系1．无穷小定义5当自变量（或）时，若函数的极限为0，则称为（或）时的无穷小量，简称无穷小，记作或（）．性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小．性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小．性质3常数与无穷小的乘积仍是无穷小．性质4有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小．2．无穷大3．无穷小与无穷大的关系定理3在自变量x的同一变化过程中，若为无穷小且，则为无穷大；反之，若为无穷大，则为无穷小，即如果（或），则有（或0）．【学生】掌握无穷大和无穷小的定义与性质，同时掌握无穷大和无穷小的关系【教师】讲解极限的性质与运算法则，并讲解例题加深学生对极限的认识1．极限的性质定理4（唯一性）若函数在某一变化过程中有极限，则其极限唯一．定理5（有界性）若函数在时存在极限，则必存在的某一邻域，使

得在该邻域内有界．定理6（保号性）则（或）．定理7（夹逼准则），且，则．2．极限的运算法则定理8若，，则（1）；（2）；（3）．例8求．解．【教师】讲解两个重要极限，并讲解例题加深学生对极1．（其中代表同一变量）．例14求．解．2．或是第二重要极限，其属于型未定式．在该式中，若令，则当时，，因此第二重要极限也可写成，即．第二重要极限可写成一般形式为（其中代表同一变量）．【学生】掌握第一重要极限与第二重要极限学习无穷大与无穷小、极限的性质与运算法则、两个重要极限。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（12min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（8min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了数列的极限与函数的极限、无穷大与无穷小的定义与性质、极限的性质与运算法则、两个重要极限，课后要多加练习，巩固知识。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题1.2总结知识点，巩固印象教学反思过复习发现学生有很多知识已经淡忘，教师还要多与学生进行深入的沟通和交流，这一方面是与学生探讨学习方法和策略让学生在探讨中发现、认识自身学习中存在的问题并及时纠正，从而掌握科学有效的学习方法，提高学习质量和效率。一方面在交谈中可以便于教师了解和掌握学生的心理情况，及时排解和消除学生学习中的困难，建立起良好的师生关系，更好地开展数学教学。

课题函数与极限（三）——函数的连续性课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握函数连续性的定义与意义。（2）掌握函数的间断点。（3）掌握初等函数的连续性。（4）了解闭区间上连续函数的性质。思政育人目标：了解函数的连续性，将数学应用于现实生活中。激发学生学习数学的兴趣；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：1、初等函数的连续性2、闭区间上连续函数的性质教学难点：初等函数的连续性教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解函数的增量与函数连续性的定义，并通过例题讲解介绍其应用1．函数的增量自变量从初值变为终值时，终值与初值的差称为增量．设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在该邻域内由变到时，函数相应地由变到，称为函数的增量（或改变量），记作或，则有．2．函数连续性的定义定义1设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处的改变量趋于零时，相应地函数的改变量也趋于零，即，则称函数在点处连续．定义2设函数在点的某一邻域内有定义，如果当时，函数的极限存在且等于函数在点处的函数值，即，则称函数在点处连续．定义3左连续，则称函数在点处右连续．定义4若函数在开区间内各点处均连续，则称函数在开区间内连续．若函数在开区间内连续，且在处右连续，在处左连续，则称函数在闭区间上连续．例1讨论函数在处的连续性．讨论因为，，且，所以存在，且．由函数连续性的定义可知，函数在处连续．【学生】掌握函数的增量与函数连续性的定义，并通过例题学习函数连续性的用法【教师】讲解函数的间断点定义，并通过例题加深学生对概念的理解定义5设函数在点的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在处没有定义；（2）在处有定义，但不存在；（3）在处有定义，且存在，但，则称函数在点处不连续或间断，点称为函数的不连续点或间断点．例2讨论函数在处的连续性．讨论因为的定义域为，故在处间断．但因，故如果补充定义，则得到函数该函数在处是连续的．【学生】掌握函数的间断点定义学习函数的增量与函数连续性的定义、函数的间断点定义。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解初等函数的连续性，并通过例题加深学生对概念的理解定理1如果函数和都在点处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不等于0）也都在点处连续．定理2如果函数在点处连续，函数在点处连续，且，则复合函数在点处连续．定理3初等函数在其定义区间内都是连续的．例5求函数的连续区间．解因为函数为初等函数，其定义域为，所以它的连续区间为．【学生】掌握初等函数的连续性【教师】讲解闭区间上连续函数的性质，并通过例题加深学生对概念的理解性质1（最值定理）如果函数在闭区间上连续，则函数在该区间上必有最大值和最小值．如图1-12所示，若函数在上连续，则在上至少有一点，使得在点处取最大值；同样，至少有一点，使得在点处取最小值．性质2（介值定理）如果函数在闭区间上连续，且，

C为介于与之间的任意数，则在开区间内至少存在一点ξ，使得，如图1-13所示．性质3（零点定理）如果函数在闭区间上连续，且与异号，即，那么在开区间内至少存在一点ξ，使得．例7证明设，则在上连续，且，，由零点定理可知，在内至少有一点，使，即方程在内至少有一个根．【学生】掌握闭区间上连续函数的性质学习初等函数的连续性与闭区间上连续函数的性质。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了函数的增量与函数连续性的定义、间断点定义与初等函数的连续性，课后要多加练习。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题1.3总结知识点，巩固印象教学反思教师要反思如何才能让学生感受到数学学习的乐趣、如何才能提高学生数学学习的积极性和主动性、如何才能激发出他们的学习潜能等。教师要秉承公平、公正，不能只重视学习成绩好的学生，对于学习成绩差的学生更是要多加鼓励和指导

课题函数与极限（四）——函数的连续性、利息与贴现课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握利息的定义与计算方法。（2）掌握贴现的定义与计算方法。（3）认识MATLAB。（4）利用MATLAB求极限。思政育人目标：学会计算利息与贴现，将数学应用于现实生活中。激发学生学习数学的兴趣；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：1、利率计算方法2、贴现计算方法教学难点：学会计算利率以及贴现教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（20min）课堂小结（10min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】了解利息的定义与计算方法，并通过例题加深学生对概念的理解利息是指资金使用者为取得资金使用权而向资金所有者支付的货币报酬，如储蓄银行付给居民的存款利息、借款企业付给贷款银行的贷款利息等．1．单利计息单利计息是指一笔资金无论存期多长，只有本金计息，而本金产生的利息不参与计息的计息方法．2．复利计息复利计息是指将每期利息于每期之末加入该期本金中，并以此作为新本金来计算下期利息的计息方法，俗称利滚利．利息累积的极限可以精确地表述利息每时每刻都在累积，累积的利息称为连续复利．按连续复利计息时，年后的本利和是名义年利率的指数函数，连续复利公式为．3．连续复利计息例3某理财产品的年利率为4%，设有本金10000元，计息期数为5年，分别计算下列情况的本利和．（1）按复利计息，一年结算一次；（2）按复利计息，3个月结算一次．解（1）按复利计息，若一年结算一次，则5年后的本利和为．（2）按复利计息，若3个月结算一次，即一年结算4次，则5年后的本利和为．【学生】掌握利息的定义与计算法则【教师】讲解贴现的定义与计算法则已知现在值（本金），求未来值（本利和），这是计算利息的问题；与之相反，已知未来值（本利和），求现在值（本金），这是计算贴现的问题，此时的利率称为贴现率．由连续复利公式可得连续贴现公式为．例5为了孩子未来的教育，李先生打算投入一笔资金购买银行的某款理财产品，希望这笔投资在10年后变为12000元，如果这款理财产品以6%的年利率计息，一年结算一次，则李先生现在需要投资多少元？若年利率不变，但计息方法改为一年结算4次或连续复利计息，则现在应该投资多少元？解若一年结算一次，则10年后12000元的现在值为．若一年结算4次，则10年后12000元的现在值为若为连续复利，则10年后12000元的现在值为【学生】掌握贴现的定义与计算法则学习利息与贴现的定义、计算方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化。课堂测验

（10min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（15min）【教师】讲解MATLAB的启动与操作界面，介绍MATLAB常用的符号与命令1．初识MATLAB1）MATLAB的启动和操作界面安装MATLAB软件之后，一般会在桌面生成快捷方式．双击图标即可启动MATLAB软件．2）MATLAB的常用符号和命令数学中的一些常用符号在MATLAB软件中有特殊的表示方法.图1-16例1计算．图1-16解如图1-16所示，在命令行窗口输入：>>1.5^3-sin(pi)/3+sqrt(5)按回车键，输出结果为ans=5.6111【学生】了解MATLAB的启动、操作界面与MATLAB常用的符号与命令【教师】讲解用MATLAB求极限2．利用MATLAB求极限在利用MATLAB对函数求极限前，需要对函数中所涉及的变量进行定义．我们称函数中的变量为符号变量，可用syms函数对它们进行定义．syms函数一次可以定义多个符号变量．例如，用syms函数定义4个符号变量a，b，c，d，命令如下：>>symsabcd在MATLAB中，极限的求解是由limit函数实现的，limit示．表1-4数学运算MATLAB中limit函数调用格式数学运算MATLAB中limit函数调用格式limit(f,x,a)limit(f,x,inf)limit(f,x,a,'right')limit(f,x,inf,'right')limit(f,x,a,'left')limit(f,x,inf,'left')例2求函数极限．解在命令行窗口中输入：>>symsx %创建符号变量x>>limit(sin(5*x)/x,x,0) %计算符号表达式在x趋向0条件下的极限按回车键，输出结果为ans=5 %输出结果为5【学生】学会用MATLAB求极限学习MATLAB的启动与操作界面，并介绍了MATLAB常用的符号与命令，最后学习了用MATLAB求极限。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（20min）【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（10min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了利息与贴现的定义与计算法则，课后要多加练习，巩固认知。同时了解MATLAB的启动、操作界面与MATLAB常用的符号与命令，并学会了用MATLAB求极限，课后要对这些知识点进行巩固。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题1.4总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，水平不一样的学生都成功的掌握了知识点。小组内的互助，满足了学生多样化的需要，促进了学生的个性发展，为形成一种宽容的文化创造了条件。学生在迈向社会前，尽早地学会认识自己、尊重自己和对自己的选择负责。

课题导数与微分（一）——导数的概念和运算课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）理解导数的定义与意义（2）掌握函数和、差、积、商的求导法则（3）掌握基本初等函数的导数公式思政育人目标：将导数运用到实际生活中，激发学生学习数学的兴趣；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：导数的定义、导数的意义教学难点：导数的经济意义教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况引例导入

（8min）【教师】讲解引例1引例1若表示一物体从某个时刻开始到t时刻做变速直线运动所经过的路程，则是的函数，表示为．求物体在时的瞬时速度．分析当时间由改变到时，物体在时间内所经过的路程为．物体在时间内的平均速度为．因物体做变速直线运动，故它在任意时刻的速度都不同．当很小时，可用近似表示物体在时刻的速度．显然越小，这种近似的程度就越高．令，若极限存在，则称此极限值为物体在时刻的瞬时速度，即．【学生】聆听、思考、回答通过引例使学生了解导数在实际问题中的应用，使学生体会到数学与我们的生活是息息相关的知识讲解

（25min）【教师】讲解导数的定义、导函数的定义，并通过例题讲解介绍其应用定义1设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应改变量．如果当时，

存在，则称此极限值为函数在点处的导数，并称函数在点处可导，记作，，或．定义2若函数在区间内每一点处都可导，则称函数在区间内可导．此时，对于区间内每一个x值，都有一个导数值与之对应，这就确定了一个新的函数，称为函数的导函数，记作，，，或．例1求函数（为常数）的导数．解（1）求增量：；（2）算比值：；（3）取极限：，即．例1说明，常数函数的导数等于0．例2求函数的导数．解（1）求增量：；（2）算比值：；（3）取极限：，即．一般地，对幂函数，其求导公式为．【学生】掌握导数与导函数的定义【教师】讲解导数的几何意义与经济意义，并通过例题讲解加深学生记忆1．导数的几何意义由引例2可知，曲线在点处导数的几何意义就是该曲线在点处的切线斜率．例5求函数在点处的导数，并求该曲线在点处的切线方程．解当由改变到时，函数的增量为．于是．所以．由于，所以曲线在点处的切线斜率为4，切线方程为，即．2．导数的经济意义1）边际成本函数成本函数的导数称为边际成本函数，其经济意义为：当产量为时，再生产一个单位产品所增加的成本为．2）边际收益函数收益函数的导数称为边际收益函数，其经济意义为：当销售量为时，再销售一个单位产品所增加的收益为．3）边际利润函数利润函数的导数称为边际利润函数，其经济意义为：当销售量为时，再销售一个单位产品利润的改变量为．【学生】掌握导数的数学意义与经济意义学习导数与导函数的定义、导数的几何意义与经济意义。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解函数的求导法则定理1设函数与在点处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点处均可导，且具有以下求导法则．（1）和、差的求导法则：；（2）积的求导法则：；（3）商的求导法则：．．（1）函数线性组合的求导法则：；（2）有限个函数和的求导法则：；（3）三个函数乘积的求导法则：．推论2（常数提取性）．推论3（函数的倒数求导）．【学生】掌握函数和、差、积、商的求导法则【教师】讲解基本初等函数的导数公式下列为基本初等函数的导数，可作为公式直接使用．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．【学生】掌握基本初等函数的导数公式【教师】讲解复合函数的求导法则，并通过例题讲解加深学生对求导法则的认识定理2或，即复合函数对自变量的导数，等于对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．例7求的导数．解．复合函数的求导法则还可以推广到有限次复合函数中．设，则复合函数对的导数是．以上复合函数的求导法则又称为链式法则．【学生】掌握复合函数的求导法则【教师】讲解隐函数求导，并讲解相应例题若变量之间的函数关系是由一个方程所确定的，则称是的隐函数．相应地，把直接用含有自变量的代数式表示的函数称为显函数直接求导法的具体步骤为：将方程两边同时对自变量求导，遇到时，把看成x的函数，利用复合函数的求导法则，先对y求导，再乘以y对x若函数的一阶导数仍然是的函数，则称的导数为函数的二阶导数，记作，，或．类似地，称的导数为函数的三阶导数，记作，，或．按上述方法可以定义阶导数．通常称二阶及二阶以上的导数为高阶导数，其中四阶及四阶以上的导数记作，，或．【学生】掌握隐函数求导，以及隐函数求导与高阶导数学习函数和、差、积、商的求导法则、基本初等函数的导数公式、复合函数的求导法则、隐函数求导与高阶函数。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道测试题目，测试一下大学对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了导数的意义与计算法则，同时掌握了基本初等函数的求导公式、复合函数的求导法则，最后还掌握了隐函数求导与高阶函数，课后要多加练习，巩固知识。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题2.1、2.2总结知识点，巩固印象教学反思过复习发现学生有很多知识已经淡忘，教师还要多与学生进行深入的沟通和交流，这一方面是与学生探讨学习方法和策略让学生在探讨中发现、认识自身学习中存在的问题并及时纠正，从而掌握科学有效的学习方法，提高学习质量和效率。一方面在交谈中可以便于教师了解和掌握学生的心理情况，及时排解和消除学生学习中的困难，建立起良好的师生关系，更好地开展数学教学。

课题导数与微分（二）——微分、利用MATLAB求函数的导数课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、掌握微分的概念。2、掌握基本初等函数的微分公式。3、掌握函数的微分法则。思政育人目标：将数学应用于现实生活中。激发学生学习数学的兴趣；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：1、基本初等函数的微分公式2、基本初等函数的微分运算法则教学难点：学会微分在经济计算中的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况引例导入

（10min）【教师】讲解引例1如图2-2所示，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长从变到，问金属薄片的面积改变了多少？分析设金属薄片的边长为，则其面积为．加热前金属薄片的面积为，加热后金属薄片的面积为，加热前后面积的增量为．由两部分组成：第一部分是的线性函数，当时，它是的同阶无穷小；第二部分是，当时，它是的高阶无穷小．因此，当很小时，第一部分是主要的，我们称第一部分为的线性主部；第二部分在中所起的作用很小，可以忽略．因此，可得的近似值为．而，于是有．【学生】聆听、思考、回答通过引例使学生了解函数在实际问题中的应用，使学生体会到数学与我们的生活是息息相关的知识讲解

（23min）【教师】讲解微分的定义与微分的几何意义，并通过例题讲解介绍其应用1．微分的定义定义1设函数在点处的导数为，则称为函数在点处的微分，记作，即．此时，称函数在点处是可微的．我们通常将自变量的增量称为自变量的微分，记作，即．于是，函数的微分可以写成．函数在任意点处的微分称为函数的微分，记作，即．也就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数．因此，导数又称为微商．例1求函数的微分．解．例2．解（1）；（2）由所给条件知，，所以．2．微分的几何意义设函数的图形如图2-3所示．过曲线上一点作切线，设的倾斜角为．根据导数的几何意义，有．当自变量有增量时，得到曲线上的另一个点．由图2-3可知，，，．图2-3由此可见，对于可微函数而言，当是曲线在点处纵坐标的增量时，微分就是曲线在点处切线的纵坐标的增量．【学生】掌握微分的定义与微分的几何意义，并通过例题学习函数连续性的用法【教师】讲解基本初等函数的微分公式与微分运算法则，并通过例题加深学生对概念的理解1．基本初等函数的微分公式（1）

(C为常数)；（2）

(为常数)；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）；（12）；（15）；（16）．2．函数和、差、积、商的微分法则（1）；（2）；（3）；（4）．3．复合函数的微分法则设，则复合函数的导数为．所以复合函数的微分为．由于，因此上式也可以写成．由此可见，无论是自变量还是中间变量，函数的微分形式保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．【学生】掌握基本初等函数的微分公式与微分运算法则，并通过例题学习函数连续性的用法学习微分的定义与微分的几何意义，学习基本初等函数的微分公式与微分运算法则。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（10min）【教师】讲解微分在经济计算中的应用，并用实际案例加深学生的理解利用微分可以进行近似计算．若函数在处的导数，则由微分的定义知，当很小时，有，（2-1）于是可得，因此，当||很小时，．（2-2）式（2-1）和式（2-2）在近似计算中被广泛应用．在经济应用中，会经常用到这两个公式，下面举例进行说明．例4某商店每周销售商品件，所获得利润（元）的计算公式为，当每周销售量由10件增加到11件时，试利用微分方法计算利润增加的近似值．解由题意可知，所以．因为，所以，故当该商店每周销售量由10件增加到11件时，其利润增加约为8元．【学生】通过例题掌握微分在经济计算中的应用掌握微分在经济计算中的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象数学实验

（15min）【教师】讲解利用MATLAB求函数的导数，并用实际案例加深学生的理解例求函数的一阶、二阶导数.解在命令行窗口中输入:>>symsx%创建符号变量x>>f=sin(x)/x;>>y1=diff(f)%求一阶导数按回车键，输出结果为y1=cos(x)/x-sin(x)/x^2%输出结果为>>y2=diff(f,x,2)%求二阶导数按回车键，输出结果为y2=(2*sin(x))/x^3-sin(x)/x-(2*cos(x))/x^2%输出结果为【学生】掌握用MATLAB求函数的导数方法通过讲解与实验，使学生学会使用MATLAB计算数学问题。课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了微分的概念、基本初等函数的微分公式与微分运算法则，同时掌握了微分在经济计算中的应用。课后要多加练习。也掌握了利息与贴现的定义与计算法则，课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题2.3总结知识点，巩固印象教学反思教师要反思如何才能让学生感受到数学学习的乐趣、如何才能提高学生数学学习的积极性和主动性、如何才能激发出他们的学习潜能等。教师要秉承公平、公正，不能只重视学习成绩好的学生，对于学习成绩差的学生更是要多加鼓励和指导

课题导数的应用（一）——中值定理和洛必达法则课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。2、掌握洛必达法则，及其应用。思政育人目标：通过为学生介绍使用洛必达法则求一些函数的极限的方法，使学生认识到解决问题是需要一定技巧的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：1、微分中值定理2、洛必达法则教学难点：洛必达法则的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：第2节课：课堂测验互助指导（20min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（43min）【教师】讲解微分中值定理，并通过例题讲解介绍其应用1．罗尔中值定理定理1（罗尔中值定理）如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点处的函数值相等，即，那么在开区间内至少存在一点ξ，使得．2．拉格朗日中值定理定理2（拉格朗日中值定理）如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一点ξ，使得．推论1若函数在区间内可导且，则在内有(为常数)．推论2则在区间内有(为常数)．3．柯西中值定理定理3（柯西中值定理）如果函数和在闭区间上都连续，在开区间内都可导，且对任意，都有，那么在开区间内至少存在一点ξ，使得．【学生】掌握微分中值定理，并通过例题学习函数连续性的用法【教师】讲解洛必达法则，并通过例题加深学生对概念的理解定理4如果函数和满足下列条件：（1）(或)；（2）与在的某去心邻域内可导且；（3）存在（或为无穷大）；则．这种在一定条件下，通过对分子、分母分别求导来计算未定式极限的方法，称为洛必达法则．例1求．解此题属于“”型未定式，应用洛必达法则有．【学生】掌握洛必达法则，并通过例题学习洛必达法则的用法学习中值定理与洛必达法则。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课课堂测验

（20min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象互助指导

（20min）【教师】公布题目的正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，掌握了洛必达法则，及其应用，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题3.1总结知识点，巩固印象教学反思本节课知识点较少，但非常重要，学生在课堂上做了大量练习题，安排优秀学生对后进学生进行了指导，还针对学生练习中出现的问题进行了细致的辅导，为学生解决了很多以前没有弄懂的问题。

课题导数的应用（二）——函数的单调性、极值和最值课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、理解函数的单调性、极值和最值。2、掌握最值在经济中的应用。思政育人目标：通过学习函数在经济中的应用，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：1、函数的单调性2、函数的极值3、函数的最值教学难点：掌握最值在经济中的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（15min）第2节课：课堂测验（10min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（28min）【教师】讲解函数的单调性，并用实际案例加深学生的理解定理1设函数在上连续，在内可导，则（1）若在内，且等号仅在有限多个点处成立，则函数在上单调增加；（2）若在内，且等号仅在有限多个点处成立，则函数在上单调减少．确定函数单调性的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出使函数和不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间；（3）确定在各个子区间的符号（正或负），从而确定的单调性．【学生】掌握函数的单调性【教师】讲解函数的极值，并用实际案例加深学生的理解定义1若对此邻域内，恒有，则称是函数的一个极大值，称为函数的极大值点；同样，若对此邻域内的，恒有，则称为函数的一个极小值，称为函数的极小值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．定理2（极值存在的必要条件）如果函数在点处有极值，且存在，则．定理3（极值的第一判别法）设函数在点处连续，且在点的某一去心邻域内可导（1）如果当时，，而当时，，则在点处取得极大值，如图3-8（a）所示；（2）如果当时，，而当时，，则在点处取得极小值，如图3-8（b）所示；（3）如果在的两侧的符号不变，则点不是的极值点，如图3-8（c）和图3-8（d）所示．定理4（极值的第二判别法）设函数在点处具有二阶导数，且，，（1）若，则是函数的极小值点；（2）若，则是函数的极大值点．例3求函数的极值．解．令，得驻点．由于，所以为极小值；由于，所以为极大值．【学生】掌握函数的单调性，并通过例题学习函数单调性的用法掌握函数的单调性与极值。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解函数的最值，并用实际案例加深学生的理解函数在其定义域上的最大值与最小值统称为函数的最值．函数若在闭区间上连续，则在该区间上一定存在最大值和最小值．例4求函数在区间上的最大值和最小值．解函数的定义域为，导数为．令，得驻点．驻点处函数值分别为．端点处函数值为．比较上述5个点的函数值，即可得出函数在区间上的最大值为，最小值为．【学生】掌握函数的最值，并通过例题学习函数最值的用法【教师】讲解最值在经济中的应用，并用实际案例加深学生的理解例5（最大收益）某公司销售一种灯具，设表示每月销售量，这种灯具依据过去数据统计，其价格需求函数为，其中为灯具价格（元），试求该公司达到最大收益时的每月销售量．解由于，这里需求量指每月销售量，即．因为价格和需求量是非负的，所以，即该问题中的变化区间为．下面求在这个区间内的最大值，对求一阶导数，即．令，得驻点，由于，所以在时达到最大值，最大值为．所以．即当灯具价格为50元，每月销售量达到5000台时，公司收益最大．例6（最低成本）某工厂生产某型号产品件，其成本函数为，试求其最低平均成本．解设平均成本函数记为，则，．令，得的驻点为，且在定义域内无导数不存在的点．由实际意义知必存在最低成本，因此，当时，最低平均成本为．例7（最大利润）某公司获得在一次展销会中销售一种新型热狗的特许权，每销售一个热狗所需成本为1美元，现已知这种热狗在展销会上的价格需求曲线近似为．其中，为销售热狗的数量（千个），表示千个热狗的价格（千美元）．问价格为多少时，该公司的利润最大？解收益函数为，成本函数为．因此，利润函数为，．令，求得的驻点为．由实际意义知必存在最大利润，此时相应的热狗价格应为．由此可知，该公司在展销会上销售20千个，即2万个热狗，每个热狗价格为2美元时，利润最大．【学生】通过例题了解最值在经济中的应用学习函数的最值与最值在经济中的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了函数的单调性、极值和最值，并掌握了最值在经济中的应用。课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题3.2总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，学生都能积极参与到教学活动中，而且优秀学生能帮助组内同学一起学习。教学上本着“授之鱼不如授之以渔”的宗旨，注重对学生能力的培养，不仅教他们学习知识，而且让他们在学习过程中学会学习，学会做人

课题导数的应用（三）——函数曲线的描绘课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、理解曲线的凹凸性、拐点与渐近线。2、掌握函数图形描绘的一般步骤。3、掌握凹凸性与拐点在经济中的应用。思政育人目标：通过学习曲线的凹凸性、拐点与渐近线，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的中的应用教学重难点教学重点：1、曲线的凹凸性、拐点与渐近线2、函数图形描绘的一般步骤教学难点：凹凸性与拐点在经济中的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（10min）第2节课：课堂测验（10min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（33min）【教师】讲解曲线的凹凸性，并通过例题讲解介绍其应用定义1如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线下方，则称曲线在这个区间上为凸的（或向上凸），如图3-9（a）左边部分和图3-9（b）右边部分图形所示；如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线上方，则称曲线在这个区间上为凹的（或向下凹），如图3-9（a）右边部分和图3-9（b）左边部分图形所示．定理1设函数在区间内具有二阶导数，（1）若在内恒有，则曲线在内为凸的；（2）若在内恒有，则曲线在内为凹的．【学生】掌握曲线的凹凸性，并通过例题学习曲线凹凸性的用法【教师】讲解曲线的拐点，并通过例题加深学生对概念的理解定义2曲线的上凸部分与下凹部分的分界点称为曲线的拐点．例2求曲线的凹凸区间与拐点．解函数的定义域为，求得其导数为，．令，得．故该函数凹凸区间与拐点的情况如表3-3所示．可见，曲线在区间内为凹的；在区间内为凸的；曲线的拐点是和，如图3-10所示．图3-10综上所述，判定曲线的凹凸性与拐点的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求一阶及二阶导数；（3）求出使及不存在的点；（4）用（3）中所求的点把函数定义域分成若干子区间，列表考查在各子区间的符号，从而判定曲线在各子区间的凹凸性与拐点．【学生】掌握曲线的拐点，并通过例题学习曲线拐点的用法【教师】讲解曲线的渐近线，并通过例题加深学生对概念的理解定义3若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线，如图3-12所示．1．斜渐近线定理2若曲线满足，且，则曲线有斜渐近线．2．垂直渐近线定义4若当(或当，)时，有，则称直线(为常数)为曲线的垂直渐近线或铅直渐近线．3．水平渐近线定义5若当时，(为常数)，则称为曲线的水平渐近线．【学生】掌握曲线的渐近线，并通过例题学习曲线渐近线的用法学习曲线的凹凸性、拐点和渐近线。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解函数图像描绘的一般步骤，并通过例题加深学生对概念的理解为了更准确、更全面地描绘函数图形，必须确定出反映函数图形主要特征的点与线，一般步骤如下：（1）确定函数的定义域及函数所具有的某些特征（如奇偶性、周期性等）；（2）（3）确定各个子区间内，的符号，由此确定函数的单调性、凹凸性、极值点及拐点等；（4）确定函数的渐近线；（5）计算出使，等于零或不存在的点所对应的函数值，确定出图形上相应的点．为了把函数图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点；（6）根据以上信息连接各点画出函数的图形．例5描绘函数的图形．解（1）函数的定义域为．（2），令，得驻点；，令，得拐点；是函数的间断点；点，，把定义域划分为4个子区间，即，，，．（3）各个子区间内，的符号及函数的单调性、凹凸性等如表3-5所示．表3-5x3600↘

上凸↗

上凸极大值点↘

上凸拐点↘

下凹（4）由于，所以该函数有一条水平渐近线和一条垂直渐近线．（5）算出处的函数值，即．从而得到函数图形上的两个点，再补充若干个点．（6）利用上面的结果，画出函数的图形，如图3-15所示．【学生】掌握函数图像描绘的一般步骤【教师】讲解凹凸性与拐点在经济中的应用，并通过例题加深学生对概念的理解例6设某企业生产一种产品的成本函数为，其中，表示产品数量，表示产品数量为时所需要的成本（元）．边际成本函数为．分析平均成本函数的凹凸性与拐点，并画出其函数图形．解由平均成本函数的定义得．（1）分析．．令，得到．所以，的驻点为．（2）分析． ． （3）列表分析，如表3-6所示．（4）画图，如图3-16所示．图3-16可以验证经济学中的一个重要原理：最小平均成本总是出现在平均成本与边际成本相等的情形中．【学生】通过例题掌握凹凸性与拐点在经济中的应用【学生】通过例题掌握凹凸性与拐点在经济中的应用掌握函数图形描绘的一般步骤，以及曲线凹凸性与拐点在经济中的应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了函数的最值与最值在经济中的应用，同时掌握了曲线的凹凸性与曲线的拐点、曲线的渐近线，学会了函数图形描绘的一般步骤，最后也通过例题掌握了凹凸性与拐点在经济中的应用。课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题3.3总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，学生基本掌握了讲授的知识，但仍有一些有待改进的地方，还需要在平时多学习别人先进的教学方法和教学经验，并适当加以改变运用在自己的教学工作中，时刻做到学以致用

课题导数的应用（四）——需求弹性与供给弹性、利用MATLAB求函数的极值课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、掌握边际函数与弹性函数，并掌握计算方法。2、掌握需求弹性与供给弹性，了解其在经济中的应用。3、掌握边际收益与需求弹性的关系。思政育人目标：通过具体的实际案例讲解边际函数和弹性函数的经济意义，使学生体会到数学在经济上的实际应用，增强学生的学习欲望；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：1、边际函数2、弹性函数3、边际收益与需求弹性的关系教学难点：边际收益与需求弹性的关系教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（15min）第2节课：课堂测验（10min）数学实验（12min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（28min）【教师】讲解边际函数，并用实际案例加深学生的理解在讲解导数的经济意义时，我们介绍了边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数的经济意义．由此可知，若函数可导，则导数在经济应用中称为边际函数，称为函数在处的边际函数值．例1已知某工厂生产某种商品的固定成本为，可变成本为（为产量），最大生产能力为100件．求该厂生产50件商品时的总成本、平均成本和边际成本．解由题意可知，总成本函数为，平均成本函数为，边际成本函数为．所以，当时，总成本为，平均成本为

，边际成本为．【学生】掌握函数的单调性【教师】讲解弹性函数，并用实际案例加深学生的理解设函数在点处可导，若当时，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比的极限（即）存在，则称此极限为在处的相对变化率，也就是相对导数，或称为处的弹性，记作或，它表示在处，当产生1%的变化时，的变化为%．例3求函数的弹性函数，并求其在处的弹性．解由题意得，则．因此，当时，的弹性为．即自变量在处产生1%的变化时，函数的变化为6%．【学生】掌握弹性函数，并通过例题学习函数单调性的用法【教师】讲解需求弹性，并用实际案例加深学生的理解在经济学中，需求弹性分析是对其绝对值进行讨论的，并根据绝对值大小，将需求弹性划分为弹性不足、单位弹性、弹性充足3种情况．令，（1）若，即需求量变动的幅度小于价格变动的幅度，此时称为弹性不足；（2）若，即需求量与价格以同一比例变动，即价格涨跌1%，引起需求量减增1%，此时称为单位弹性；（3）若，即需求量变动的幅度大于价格变动的幅度，此时称为弹性充足．例6设某商品需求函数为，求：（1）需求弹性函数； （2）当时的需求弹性．解（1）由题意得，则需求弹性函数为．（2），即，弹性不足，说明此时价格上涨1%，，弹性充足，说明此时价格上涨1%，需求量下降1.2%．【学生】掌握需求弹性，并通过例题学习函数最值的用法学习边际函数、弹性函数、需求弹性。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（18min）【教师】讲解供给弹性，并用实际案例加深学生的理解类似于需求弹性，下面讨论供给弹性．设供给函数为，其中为价格，为供给量，则供给量在某一价格处的弹性大小为．供给弹性可以衡量供给的相对变化对价格相对变化的反应程度．由于供给函数一般是递增的，所以其在某处的供给弹性是正的，这与需求弹性不同．例7设某商品的供给函数为，求供给弹性函数及时的供给弹性．解由题意得，则，．这说明当价格时，价格上涨（下跌）1%，引起供给量增加（减少）0.82%．【学生】掌握供给弹性，并通过例题学习函数最值的用法【教师】讲解边际收益与需求弹性的关系，并用实际案例加深学生的理解设为收益函数，为需求函数，为价格，则收益函数为，边际收益函数为．考虑到为负数，则需求弹性，所以边际收益函数与需求弹性的关系为．由此可知，当时，，递增，即价格上涨会使总收益增加，价格下跌会使总收益减少；当时，，取得最大值；当时，，递减，即价格上涨会使总收益减少，而价格下跌会使总收益增加．【学生】掌握边际收益与需求弹性的关系，并通过例题学习函数最值的用法掌握供给弹性、边际收益与需求弹性的关系。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象数学实验

（12min）【教师】讲解用MATLAB求函数的极值，并用实际案例加深学生的理解用MATLAB求函数极值的过程，就是使用diff函数求导，用解方程的solve函数求出驻点，再求出驻点的二阶导数值，即可判断函数的极值，具体步骤如下．（1）定义符号变量：symsx．（2）在MATLAB命令行窗口输入函数y．（3）在MATLAB命令行窗口输入程序求函数的一阶导数，格式为f1=diff(y)．（4）在MATLAB命令行窗口输入程序求驻点，格式为x0=solve(f1)．（5）在MATLAB命令行窗口输入程序求函数的二阶导数，格式为f2=diff(f1)．（6）定义二阶导数f2的inline函数，格式为ff=inline(f2)，将驻点x0代入ff，求驻点处的二阶导数，根据二阶导数的符号确定驻点是极大值点还是极小值点．（7）定义函数y的inline函数，格式为f=inline(y)，将驻点x0代入f，输出结果，得到极值．【学生】学会用MATLAB求函数的极值通过讲解与实验，使学生学会使用MATLAB计算数学问题。课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了边际函数、弹性函数、需求弹性、供给弹性、边际收益与需求弹性的关系，学会了用MATLAB求函数的极值。课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题3.4总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错。实践表明，学生的学习兴趣是自主学习的原动力。教学中，教师应积极地为学生创设一种情趣盎然的学习气氛，使学生受到陶冶、感染和激励，从而主动学习。在课堂上教师应大胆地让学生进行自由讨论、交流，赞扬学生一些独特看法，让学生真切地感受到学习是快乐的。这样学生自主学习的劲头就更足了

课题不定积分与定积分（一）——不定积分的概念、性质与积分方法课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、理解不定积分的概念，并掌握不定积分的性质。2、掌握不定积分的基本积分公式，学会计算不定积分。3、掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。思政育人目标：通过学习不定积分的相关知识，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：1、不定积分的基本积分公式2、不定积分的换元积分法3、不定积分的分部积分法教学难点：不定积分的换元积分法与分部积分法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（15min）第2节课：课堂测验（10min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（28min）【教师】讲解不定积分的概念，并通过例题讲解介绍其应用定义1对于区间内的任意，若都有，则称是的导函数，而称是在区间上的一个原函数．定理1（原函数存在定理）若在区间上是连续的，则在区间上一定存在原函数，即连续函数一定有原函数．定理2（原函数结构定理）若有原函数，则它有无数多个原函数；若是的一个原函数，则的任意一个原函数都可以表示为．例如，，，说明和都是的原函数，且的原函数可表示为．定义2若是的一个原函数，则的所有原函数均可表示为，我们称为的不定积分，记作，即，其中，称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数．例1求．解因为，所以是的一个原函数，从而有．【学生】掌握不定积分的概念，并通过例题学习不定积分概念的用法【教师】讲解不定积分的性质性质1．性质2．性质3被积函数中非零常数因子可提到积分号的前面，即．性质4有限个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即．性质3和性质4统称为不定积分的线性运算．【学生】掌握不定积分的性质【教师】讲解不定积分的基本积分公式，并通过例题讲解介绍其应用由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由基本初等函数的求导公式可得到下列不定积分的基本积分公式．（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）．例3求．解

．【学生】掌握不定积分的基本积分公式，并通过例题学习不定积分公式的用法学习不定积分的概念、性质与基本积分公式。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（30min）【教师】讲解不定积分的换元积分法，并用实际案例加深学生的理解1．第一类换元积分法定义1若具有原函数，且具有连续的导数，则有换元公式，以上这种积分方法称为