2026年辽宁辽南协作体高一期末考试数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025—2026学年度下学期期末考试高一试题数学考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）1．函数的最小正周期为（

）A．B．C． D．2．已知向量，，则（

）A．0B．C． D．3．已知复数满足(为虚数单位)，则复数的虚部是（

）A．1B．C．i D．4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为（

）A．B．C． D．5．已知向量，满足，，且，则（

）A．B．C． D．36．研学小组测量景区古塔高度，水平地面，A，B，C三点在同一条直线上，塔底O与地面上三点A，B，C共面且不在直线上，米.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，在C处测得塔顶P的仰角为，则古塔的高度（

）A．米 B．米 C．米 D．米7．已知，且，则的值为（

）A．B．C． D．8．在中，，点H为垂心，，，则（

）A．B．2C． D．4二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的有（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则10．已知函数的一条对称轴方程为，若在区间上单调，且，则（

）A． B．在区间上单调递增C．的最大值为 D．的最小值为11．在长方体中，，，M为棱的中点，点P为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（

）A．满足的点P有且只有两个B．若，则点P的轨迹长度为C．三棱锥的体积为D．若平面，四棱锥的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则_________.13．若正四棱台上下底面边长分别为2和3，高为，则该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为_________.14．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在中，已知，三角形外接圆半径为.(1)求的大小；(2)求面积的最大值.16．如图所示，四棱锥的底面是梯形，，平面，且，，，，E为的中点，F为上一点，.(1)求证：平面平面；(2)是否存在一个值，使平面，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.17．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域；(3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，求.18．《九章算术》成书于西汉末年，又经众多学者的整理、删补和修订，是几代学者智慧的结晶．它对数学知识由易到难、由浅入深、从理论到实践的编排体例，使它成为后世数学学习者的启蒙教材．其中卷五商功中[卷五-18]今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？[卷五-19]今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？在解决过程中“公式-应用”的结构体现尤为明显．我们按照前人的思路来看下面问题：注释：[1]刍甍：盖上草的屋脊．这里指底面为矩形的屋脊状楔体；[2]刍童：上下底面皆是长方形的几何体．(1)如图几何体是底面为矩形的屋脊状楔体，平面，，，高为h，，求这个几何体的体积；(2)上下底面皆是长方形的几何体，丈，丈，高丈，丈，丈，求这个几何体的体积．19．已知函数不恒为0，且对，都有.(1)求的解析式；(2)若，当时，求的值域；(3)设，求证：（ⅰ）；（ⅱ）.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】由，可得的系数，代入周期公式得：，即该函数的最小正周期为.2．A【详解】由向量，，可得且所以.3．B【详解】因为，所以复数的虚部是.4．C【详解】由正弦定理，得.因为，所以为锐角，所以，所以.所以的面积为.方法二：由余弦定理，得，即，解得或（舍去）.所以的面积为.5．C【详解】因为，所以，则.又因为，所以，则.因为，所以.6．A【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得.【详解】设，依题意，，，，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由，可得，，解得.7．D【分析】将未知角转化为已知角，利用两角和差公式以及二倍角公式计算式子的值．【详解】因为；；因为，则；则，则；代入可得．8．C【分析】根据题意，结合向量投影的定义，由，得到，求得，再利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，因为为的垂心，可得点落在边的垂线上，

则向量在方向上的投影，恰好等于在方向上的投影，即，因为，可得，即，又因为，且，可得，解得，即，又由余弦定理得，所以.9．BD【详解】选项A：两个互相垂直的平面内的直线位置关系不确定，可平行、相交（不垂直）或异面，无法推出，A错误;选项B：由线面垂直的性质，且，可得；又，根据面面垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则两平面垂直，故，B正确;选项C：平行于同一直线的两个平面可能平行，也可能相交，无法推出，C错误;选项D：由面面平行的性质，且，可得；又，根据线面垂直的性质，平行于垂直于该平面的直线也垂直于该平面，故，D正确.10．ACD【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性、对称中心性质的应用逐项计算判断即可.【详解】函数，其中.正弦型函数在对称轴处取得最值，因此，代入函数得.化简得，解得，A正确；所以函数.当时，，正弦函数在上单调递减，在上单调递增，因此在上不是单调递增函数，B错误；的周期为，单调区间的最大长度为半个周期.由得，若为同一单调区间内关于对称中心的对称点，则的最大值为，因此C正确；由得：，即.因此.整理得，当时，为最小值，因此D正确.11．BCD【分析】根据线面垂直的性质得到，求出即可判断A；根据得到轨迹，进而求得轨迹长度，即可判断B；应用等体积公式结合三棱锥体积公式计算判断C，由线面平行的向量证明可得到点与重合时，其外接球的体积最大，即可判断D.【详解】对于A，因为平面，平面，所以.若，则，即点在以点为圆心，2为半径的圆上，满足的点P是弧，在侧面内存在满足该条件的点无数个，故A不正确；对于B：因为平面，平面，所以.因为，所以，所以，又因为平面，所以平面，因为，即点P的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，B选项正确；对于C，三棱锥的体积，C选项正确；对于D：取是中点，取是中点，因为平面，平面，所以平面，，所以是平行四边形，所以平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，所以当取时，四棱锥的顶点都在球O上,球O体积的最大，此时球的半径满足，即，所以球的体积为，故D正确；12．【详解】由题可得，，而.13．【详解】如图正四棱台中，分别为下底面和上底面的中心，过作底面的垂线，垂足为，E落在上，则为该棱台的侧棱与底面所成的角.

连接，则，，所以所以.即该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为.14．【分析】根据二倍角公式，将化为，再利用正弦定理得.从而，通过为锐角三角形，确定的范围，然后构造函数，利用函数的单调性求的取值范围.【详解】由，得，即，根据正弦定理，上式可化为.又.因为为锐角三角形，所以，得，所以，得，所以.，得，所以，得，所以，因此，有.令，则，令，则在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即.15．(1)(2)【分析】（1）利用倍角公式和三角形内角关系把已知方程转换成，解出，再利用三角形内角范围即可求.（2）利用正弦定理求得，再利用余弦定理得到，结合基本不等式，可得到，从而可用三角形面积公式得到面积的最大值.【详解】（1）因为，所以.在中，，所以.所以或.因为，所以，则.（2）由正弦定理得.由余弦定理得即又因为，所以，则，当且仅当时等号成立.所以.即面积的最大值为.16．(1)略(2)【分析】（1）先证明平面，最后根据面面垂直判定定理证明两个平面垂直.（2）构造过且与平面平行的平面，结合平行线分线段成比例的性质求解.【详解】（1）平面，平面，.梯形中，，，，过作于,，，，，即为等腰三角形，又为中点，，平面，平面又平面，平面平面（2）过作，交于点，连接.，平面，平面若平面，，根据面面平行的判定定理，可得平面平面，因为平面，所以.，即，又，四边形是平行四边形，，，。在中，，存在​，使得平面17．(1)表格如下：(2)(3)【分析】（1）利用表格中的数据求出、的方程组，解出这两个参数的值，结合可求出的值，结合五点法可完善表格；（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出的取值范围，再结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；（3）利用正弦型函数的对称性得出，根据已知条件得出，再利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得【详解】（1）由题意可得，解得，又因为，故，由可得；由可得；由可得.完善表格如下：（2）由题可得，

当时，，则，

函数的值域为.（3）函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、，当时，，由可得，所以直线是的一个对称轴，而区间的区间长度为一个周期.所以两个交点关于直线对称，且，所以，

所以.18．(1)(2)立方丈【分析】（1）将几何体拆分为两个全等的四棱锥和一个三棱柱，由此利用棱锥和棱柱的体积公式进行计算；（2）可根据已知条件以及《九章算术》中刍童的体积公式，代入数值进行计算．【详解】（1）如图所示，将几何体拆分为两个四棱锥，和一个三棱柱；四棱锥的底面，；则，；故几何体体积为．（2）根据刍童的体积公式可知：；根据题意可知，上广，下广；下袤，上袤，高；代入公式可得，故几何体体积为立方丈．19．(1)(2)的值域(3)（ⅰ）令，由已知条件得所有，且，右侧证明：利用常用不等式当时，，可得，左侧证明：利用常用不等式当时，，可得，故得证；（ⅱ）首先利用二倍角公式，故即证，原不等式等价于.根据和差化积公式可知，代入右侧和式可得，由于在单调递增：，因为对于任意，所以，代入放缩：，因为，所以，对累加：，因此，，即证.【分析】（1）采用抽象函数赋值法求解解析式；（2）由（1）知的解析式代入，求得端点处的函数值，根据函数的单调性解得函数的值域；（3