初中九年级数学二次函数解析式与图象变换专题复习教案

初中九年级数学二次函数解析式与图象变换专题复习教案

一、课标要求与考情分析

本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“函数”主题下的核心部分。课标要求：1.会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义。2.会用描点法画出二次函数的图象，了解二次函数的图象特征。3.知道二次函数系数与图象形状和对称轴、顶点坐标等位置特征之间的关系。4.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为顶点式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴。5.会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解。

在云南省初中学业水平考试（中考）的框架下，二次函数是代数部分的压轴与核心，其分值占比高，综合性强，区分度大。从考情分析来看，对“解析式的确定”与“图象的变换”的考查呈现以下特点：1.基础性：直接利用待定系数法求解析式是高频基础考点。2.综合性：将解析式的确定与图象的平移、对称、旋转等几何变换相结合，构建中等难度的综合题。3.应用性：在实际应用问题（如抛物线形拱桥、利润最大、面积最优等）中，建立函数模型并确定解析式是解题关键。4.深度与广度：作为压轴题的组成部分，常与几何图形的存在性、动点问题、最值问题深度融合，对学生的数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想要求极高。

因此，本专题复习旨在帮助学生系统构建知识网络，打通解析式与图象间的内在联系，从“知其然”到“知其所以然”，最终实现“灵活用”，为应对中考夯实基础并提升关键能力。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.熟练掌握运用一般式、顶点式、交点式（双根式）确定二次函数解析式的方法与步骤，能根据已知条件的特征灵活选用最简捷的表达式形式。

2.深刻理解二次函数图象的平移规律（“左加右减，上加下减”），并能准确描述和实现图象的平移变换。

3.理解二次函数图象的轴对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）与解析式系数变化的关系。

4.能综合运用解析式确定与图象变换的知识，解决涉及函数图象变换后求新解析式，或根据变换关系逆向求原解析式等综合问题。

（二）过程与方法

1.经历从具体问题中抽象出二次函数模型的过程，强化数学建模思想。

2.通过对比分析不同条件下求解析式的策略，体会化归与优化思想。

3.借助动态几何软件（如几何画板）的演示，从图形运动的角度直观感知图象变换的规律，发展几何直观和空间观念。

4.在解决综合问题的过程中，提升分析、综合、推理及准确进行数学语言转换的能力。

（三）情感、态度与价值观

1.在探索图象变换规律和解析式内在联系的过程中，感受数学的对称美、统一美和逻辑力量，增强学习数学的兴趣和信心。

2.通过小组合作探究与交流，培养严谨求实的科学态度和协作精神。

3.通过链接中考真题，树立目标意识，增强应对挑战的积极心态。

三、教学重难点

（一）教学重点

1.根据已知条件灵活选择表达式形式，用待定系数法确定二次函数解析式。

2.二次函数图象平移变换的规律及其应用。

（二）教学难点

1.根据图象的对称变换确定新函数的解析式。

2.综合解析式确定与多种图象变换（平移、对称）的复杂问题。

3.在具体问题情境中，识别并应用图象变换的规律，特别是逆向思维的应用。

四、学情分析

本节课的教学对象是九年级下学期的学生。经过新课学习，他们已经具备了以下基础：

1.掌握了二次函数的概念、三种表达式形式及其相互转化。

2.能够用描点法画二次函数图象，了解其基本性质（开口、顶点、对称轴、最值）。

3.初步学习了图象的平移，但对规律的理解可能停留在记忆层面，应用不够灵活。

4.接触过待定系数法，但在条件选择与形式优化上缺乏策略性。

同时，学生可能存在以下主要困难与误区：

1.“记混”：平移规律口诀记得不牢，或在具体应用时符号出错。

2.“套用僵化”：求解折式时，不论条件特点，一律设成一般式，导致计算复杂易错。

3.“形神分离”：对图象变换与解析式系数变化之间的本质联系理解不深，难以处理对称等复杂变换。

4.“综合无措”：面对融合了变换、几何背景的综合题时，无法有效拆解问题，构建清晰思路。

五、教学准备

教师准备：

1.精心设计的教学课件（PPT），包含知识结构图、典例分析、动态演示链接、课堂练习与中考真题。

2.几何画板动态演示文件：用于直观展示二次函数图象的平移、对称等变换过程。

3.实物投影仪或同屏软件，用于展示学生解题过程。

4.设计并打印《课堂学习任务单》和《分层巩固练习卷》。

学生准备：

1.复习二次函数相关概念、性质及表达式。

2.准备笔记本、练习本、作图工具（铅笔、直尺）。

3.预习《课堂学习任务单》中的知识梳理部分。

六、教学过程实施

第一环节：溯源建构——明晰知识脉络（预计用时：10分钟）

活动一：概念溯源，框架自构

教师不直接展示知识框图，而是通过问题链引导学生自主回忆并构建知识体系。

问题链设计：

1.我们已学习的二次函数，其本质是描述两个变量之间怎样的关系？你能举出一个不同于课本的实际例子吗？

2.为了“看见”这种关系，我们引入了图象。决定一个二次函数图象“长相”（形状与位置）最核心的要素是什么？（系数a，以及由系数共同决定的顶点、对称轴）

3.为了“计算”这种关系，我们引入了解析式。你掌握了哪几种表达式？它们各自最擅长“刻画”函数的什么特征？（一般式：普适；顶点式：直接呈现顶点与对称轴；交点式：直接呈现与x轴交点）

4.既然图象和解析式是同一函数的两种表现形式，那么当图象发生“运动”（变换）时，其解析式会如何相应变化？这是我们今天要深究的核心联系。

学生活动：独立思考后，在《学习任务单》的引导下，用思维导图或结构图的形式，梳理二次函数“定义—表达式—图象性质—图象变换”之间的关联。教师巡视，选取具有代表性的学生作品进行投影展示与简要互评。

设计意图：打破常规罗列知识的复习模式，以问题驱动学生主动激活已有认知，在追问中突出“图象”与“解析式”的对应关系这一主线，为后续深度学习定向。

第二环节：核心探究（一）——解析式的确定：策略与选择（预计用时：25分钟）

活动二：三式鼎立，择善而从

教师呈现三类具有不同已知条件的例题，组织学生小组讨论：应选择哪种表达式形式？为什么？如何求解？

例题组一：基础定点

1.已知抛物线经过点A(1，2)，B(0，-3)，C(-2，5)，求其解析式。

（策略：已知任意三点坐标，设一般式y=ax²+bx+c

，代入解三元一次方程组。）

2.已知抛物线顶点为(2,-1)，且经过点(3，1)，求其解析式。

（策略：已知顶点坐标(h，k)，设顶点式y=a(x-h)²+k

，代入另一点坐标求a。）

3.已知抛物线与x轴交于(-1，0)和(3，0)，且经过点(1，4)，求其解析式。

（策略：已知与x轴交点(x₁，0)，(x₂，0)，设交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)

，代入另一点坐标求a。）

小组讨论与分享：各小组派代表阐述选择依据和解题步骤。教师引导对比，总结出选择表达式的“第一反应”原则：“顶点已知想顶点，交点已知想交点，三点普适用一般”。强调计算简便性和准确性。

活动三：深化理解，形式互化

追问：如果第3题，我偏要设一般式或顶点式，可以吗？会发生什么？

学生尝试并比较。教师指出：完全可以，但计算量可能增加。这体现了数学的灵活性，但更体现了“选择最优策略”的重要性。同时，通过将求得的交点式化为一般式和顶点式，复习三种形式的互化，特别是配方法的应用。

变式提升：

已知二次函数y=ax²+bx+c

的图象满足：当x=1

时，y有最大值为5；且图象与y轴交于点(0，2)。求此函数解析式。

（关键点：“当x=1

时，y有最大值5”等价于“顶点为(1，5)”且a<0

。这是一个隐含顶点信息的条件，引导学生学会将文字语言精确转化为数学语言。）

设计意图：本环节旨在提升学生“审题”和“决策”的元认知能力。不仅教方法，更教选择方法的策略。通过变式题，训练学生挖掘题目中隐含条件（顶点、对称轴、最值）的能力。

第三环节：核心探究（二）——图象的变换：从操作到本质（预计用时：30分钟）

活动四：平移变换——动态感知与规律内化

1.直观感知：教师使用几何画板，动态演示函数y=2x²

的图象。

1.操作：在表达式后“+1”（y=2x²+1

），观察图象变化。（向上平移1个单位）

2.操作：将x替换为“(x-1)”（y=2(x-1)²

），观察图象变化。（向右平移1个单位）

3.操作：同时进行y=2(x-1)²+1

，观察图象变化。（先右移1，再上移1）

4.逆向操作，询问学生应如何修改解析式。

1.归纳规律：学生根据演示，尝试用自己的语言描述平移规律。教师引导学生对比y=a(x-h)²+k

与y=ax²

，指出(h,k)

正是顶点从(0，0)

平移后的新坐标。从而将口诀“左加右减（对x），上加下减（对整体）”与顶点坐标变化(0，0)→(h，k)

统一起来。

2.本质揭示：平移变换，改变的是图象的位置（顶点坐标），但不改变图象的形状（开口方向与大小，即系数a不变）。

例题组二：平移应用

1.（正向）将抛物线y=-3x²

向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求所得新抛物线的解析式。

2.（逆向）若将抛物线y=2x²-4x+5

沿某一方向平移后得到y=2x²+1

，请描述平移过程。

（关键点：逆向问题需先将原解析式配方成顶点式y=2(x-1)²+3

，新解析式顶点为(0，1)

，故平移过程为：向左平移1个单位，再向下平移2个单位。）

活动五：对称变换——探究联系与推理

1.分组探究：将学生分为三大组，分别利用几何画板或通过解析式推理，探究以下问题：

1.A组（关于y轴对称）：函数y=a(x-h)²+k

的图象关于y轴对称后，新图象的解析式是什么？系数a，h，k如何变化？

2.B组（关于x轴对称）：函数y=a(x-h)²+k

的图象关于x轴对称后，新图象的解析式是什么？系数a，h，k如何变化？

3.C组（关于原点对称）：函数y=a(x-h)²+k

的图象关于原点对称后，新图象的解析式是什么？系数a，h，k如何变化？

探究提示：可从具体函数（如y=2(x-1)²+3

）入手，先找到原图象上几个关键点（顶点、与坐标轴交点等），作出其对称点，猜想新解析式形式，再进行一般性推导。

1.成果汇报与论证：各组代表汇报结论，并阐述推理过程。

1.关于y轴对称：顶点(h，k)

变为(-h，k)

，开口方向与大小不变。新解析式为y=a(x+h)²+k

。本质：将原解析式中的x替换为-x

并化简。

2.关于x轴对称：顶点(h，k)

变为(h，-k)

，开口方向相反（a变为-a

）。新解析式为y=-a(x-h)²-k

。本质：将原解析式整体乘以-1

。

3.关于原点对称：顶点(h，k)

变为(-h，-k)

，开口方向相反。新解析式为y=-a(x+h)²-k

。本质：将原解析式中的x替换为-x

，同时整体乘以-1

。

教师总结：对称变换既改变位置，也可能改变开口方向（关于x轴和原点对称时）。核心是抓住“顶点”这一关键点的对称变化，进而确定新解析式。

例题组三：对称应用

抛物线y=x²-2x-3

关于直线x=1

对称的图象的解析式是？关于点(1，-2)

中心对称呢？

（关键点：第一问，关于直线x=1

对称，该直线恰好是原抛物线的对称轴，故图象不变。第二问，关于点中心对称，相当于先关于x=1对称（不变），再关于y=-2对称？引导学生谨慎分析，或利用顶点(1，-4)

关于(1，-2)

的对称点为(1，0)

，且开口向下，得到新解析式y=-(x-1)²

。）

设计意图：平移变换通过动态演示深化理解；对称变换则采用探究式学习，将难点分解，让学生经历从特殊到一般、从猜想到论证的完整过程，深刻理解变换本质，培养其探究能力和理性精神。

第四环节：综合内化——融会贯通，直击中考（预计用时：20分钟）

活动六：典例剖析，思维建模

呈现一道融合解析式确定与图象变换的典型中考改编题，引导学生进行分步拆解。

例题：（云南中考改编）在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y=ax²-2ax+3(a≠0)

。

（1）求抛物线C1

的对称轴和顶点坐标。

（2）若将C1

绕其顶点旋转180°，得到抛物线C2

，求C2

的解析式。

（3）在（2）的条件下，设C2

与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C。现将C2

向下平移，使得点A的对应点A‘落在C1

上，求平移后抛物线的解析式。

师生互动剖析：

1.第（1）步：基础考查。利用公式或配方法。对称轴x=1

，顶点(1，3-a)

。

2.第（2）步：理解“绕顶点旋转180°”的几何意义。即图形关于顶点中心对称。顶点(1，3-a)

不变，但开口方向相反（a变-a

）。因此C2

解析式可直接写为：y=-a(x-1)²+(3-a)

。亦可展开为一般式。

3.第（3）步：综合应用。步骤分解：

1.4.求C2

与坐标轴交点：令y=0

，解方程-a(x-1)²+(3-a)=0

，用含a的代数式表示A、B坐标（设A(1-√[(3-a)/a]，0)

，此处需讨论a符号，为简化教学可预设a>0）。令x=0

，得C(0，3-2a)

。

2.5.理解平移：设向下平移m个单位，则新抛物线C2'

为：y=-a(x-1)²+(3-a)-m

。其与x轴交点A‘的横坐标与平移前A相同，纵坐标变为0。

3.6.建立方程：点A’在C1

上。将A的横坐标x_A=1-√[(3-a)/a]

代入C1

的解析式y=ax²-2ax+3

，计算出对应的y值（用a表示）。这个y值必须等于A‘的纵坐标0。由此建立一个关于a和m的方程。

4.7.联立求解：注意A点本身在C2

上，满足C2

解析式，这提供了另一个关系。通常结合两个条件，可以消去根号，解出m与a的关系，或求出具体值（若原题给出具体a值）。最终得到C2'

的解析式。

思维建模：引导学生总结解决此类综合题的通用思维路径：“拆分条件—识别变换—确定关键点—建立等量关系—逐步求解”。强调数形结合，鼓励在草稿纸上画出草图辅助思考。

第五环节：巩固小结与目标升华（预计用时：5分钟）

活动七：课堂小结，分层达标

1.知识树构建：师生共同完善本节课开始时的知识结构图，用不同颜色的笔标出“解析式确定”的策略选择点和“图象变换”的核心规律（平移的“形不变”，对称的“点变与a变”）。

2.达标自查：教师呈现简短的自查问题，学生快速回答。

1.3.已知顶点和另一点，应设____式。

2.4.抛物线y=2(x+3)²-1

是由y=2x²

向____平移3单位，向____平移1单位得到。

3.5.抛物线关于x轴对称，____坐标不变，坐标互为相反数，系数a变为。

6.情感升华：教师寄语：“二次函数是初中代数皇冠上的明珠，解析式是其‘代数心’，图象是其‘几何形’。今天的学习，我们正是在打通‘心’与‘形’的联系。希望同学们不仅能掌握解题的‘术’，更能领悟其中统一与变化的‘道’，以不变应万变，自信迎接中考的挑战。”

七、板书设计

（主板书区，左侧）

二次函数：解析式与图象变换

一、解析式的确定（待定系数法）

1.一般式：y=ax²+bx+c

→知任意三点

2.顶点式：y=a(x-h)²+k

→知顶点(h，k)

及另一点

*顶点(h，k)

，对称轴x=h

3.交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)

→知与x轴交点(x₁，0)，(x₂，0)

及另一点

核心策略：根据条件特征，灵活选择，优化计算。

（主板书区，右侧）

二、图象的变换

1.平移（形状不变，a不变）

1.2.y=a(x-h)²+k

←由y=ax²

平移得到

2.3.规律：左加右减（对x），上加下减（对y）

3.4.关键：顶点(0，0)

→(h，k)

5.对称

1.6.关于y轴：(h，k)→(-h，k)

；x→-x

2.7.关于x轴：(h，k)→(h，-k)

；y→-y

→a→-a，k→-k

3.8.关于原点：(h，k)→(-h，-k)

；x→-x，y→-y

→a→-a

（副板书区：用于例题关键步骤演算和学生成果展示）

八、分层作业设计

A组：基础巩固（全体必做）

1.根据下列条件，求二次函数解析式：

(1)图象过(0，1)，(1，2)，(2，-1)三点。

(2)顶点坐标为(3，-2)，且图象过点(1，6)。

(3)图象与x轴交于(-2，0)和(4，0)，且与y轴交于点(0，-8)。

2.填空：

(1)将y=1/2x²

的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象解析式为______。

(2)抛物线y=-(x-2)²+3

关于x轴对称的抛物线解析式为______。

3.已知抛物线y=x²+bx+c

的对称轴为直线x=1

，且过点(-1，0)，求b，c的值。

B组：能力提升（中等及以上学生选做）

1.若抛物线y=ax²+bx+c

与抛物线y=2x²-4x-1

关于坐标原点对称，求a，b，c的值。

2.将抛物线y=x²-4x+3

先沿x轴翻折，再向左平移2个单位，求最终所得抛物线的解析式。

3.（应用题）一座拱桥的桥洞呈抛物线形，桥洞离水面的最大高度