人教版九年级下册数学 27.2.1.2 相似三角形的判定（第二课时） 导学案

27.2.1.2相似三角形的判定第二课时导学案一、学习目标1、掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”“三边对应成比例，两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．并能运用这三个判定定理证明两个三角形相似。2、结合全等三角形的SSS和SAS的证明方法，通过类比观察、猜想、证明等活动，探索相似三角形判定定理证明的过程，体会转化的数学思想。3、进一步积累研究几何图形问题的经验。二、复习巩固问题1相似三角形的概念问题2如何判断两个三角形是否相似？问题3判定两个三角形全等有几种方法？三、核心知识1.判定三角形相似的（预备）定理：三角形一边的直线和其他两边，所构成的三角形与原三角形相似.2.利用三边判定三角形相似的定理：三边的两个三角形相似.3.利用两边和夹角判定三角形相似的定理：两边且的两个三角形相似.四、新知探究思考：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？【巩固练习】1.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，则图中与△DEF相似的三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，DE/BC，DF//AC，则图中相似三角形一共有()A.1对B.2对C.3对D.4对3.如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个？请你写出来.4.如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，试证明：ADAB=DO【课堂练习】1.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交子点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE2.如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比.【新知探究】【问题】类比三角形全等的判定方法(sss)，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢?【动手操作】任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍.度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？【想一想】改变k的大小，以上结论还成立吗?【证明】如图，在△ABC和△A′B′C′中，ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，求证△ABC∽【巩固练习】1.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.2.图中每个小方格都是边长为1的正方形，若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.3.已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边长分别是()A.3，6，7B.18，6，15C.3，8，9D.10，12，84.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）【新知探究】问题：类比判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？动手操作：用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使ABA'B'=BCB'C'

=k，∠B=∠B′，量出它们的第三组对应边AC和A′C′【想一想】改变k的大小，以上结论还成立吗?【证明】如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，ABA'B'=ACA'C'，求证：△ABC∽△【巩固练习】1.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似.2.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是()A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.APAB=ABACD.AB3.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是()4.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.5.如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且ADAB=34，求DE【课堂检测】1.已知：点D，E，F分别是△ABC三边的中点.求证：△EFD∽△ABC.2.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC3.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.4.如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.5、如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6BC=4，AC=5，CD=712，求AD（三）链接中考（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF=α，则∠FAG用含α的代数式表示为()A.45°-α2B.90【参考答案】二、复习巩固问题1相似三角形的概念如果三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.问题2如何判断两个三角形是否相似？(1)对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.(2)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.问题3判定两个三角形全等有几种方法？1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。4.角角边（AAS）：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。5.斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。三、核心知识1.判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似.3.利用两边和夹角判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.四、新知探究思考：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？△ADE∽△ABC证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.再证明两个三角形的边成比例.过点E作EF∥AB，交BC于点F.∵DE∥BC，EF∥AB，∴ADAB=AEAC，BF∵四边形DBEF是平行四边形，∴DE=BF.∴DEBC=AE∴ADAB=AEAC=【巩固练习】1.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，则图中与△DEF相似的三角形共有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个解析：由于四边形ABCD是平行四边形，因此FD//BC，DE//AB.于是可从图中找出符合“A”型相似的△DEF与△CEB，符合“X”型相似的△DEF与△ABF.故选B.2.如图，DE/BC，DF//AC，则图中相似三角形一共有(C)A.1对B.2对C.3对D.4对3.如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个？请你写出来.解：与△ABC相似的三角形有3个：△ADE△GFC△GOE4.如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，试证明：ADAB=DO证明：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴ADAB=DEBC

，∴ADAB=DO【课堂练习】1.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交子点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE

=AD∵AD=AG+GD=3，DF=5，∴BCCE的值为32.如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比.解：△ADE∽△ABC，相似比为3:5.解析：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∵AD=3，DB=2，∴AB=3+2=5，∴ADAB=3【新知探究】【问题】类比三角形全等的判定方法(sss)，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢?【动手操作】任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍.度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？通过测量不难发现∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因为ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k，所以△ABC∽△A′B′C【想一想】改变k的大小，以上结论还成立吗?依然成立。△ABC∽△A′B′C′.【证明】如图，在△ABC和△A′B′C′中，ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，求证△ABC∽证明：在线段A′B′

(或它的延长线)上截取A′D=AB，过点D作DE//B′C′，交A′C′于点E.根据前面的定理，可得△A′DE∽△A′B′C′.∴A'DA'B'=DEB'C'=A'EA'C'，又ABA'B'∴DEB'C'=BCB'C'，A'EA'C∴DE=BC，A′E=AC.∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A′B′C′.【巩固练习】1.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.解：由图可知，在△ABC中，AB>BC>CA在△DEF中，DE>EF>FD.而DEAB=2.44=0.6，EFBC=2.13.5=0.6，∴DEAB=EFBC=∴△ABC∽△DEF.2.图中每个小方格都是边长为1的正方形，若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.解：因为AC=2，BC=12+32

AB=4，DF=22+22EF=22+62

=210

∴ACDF=BCEF=ABDE=∴△ABC∽△DEF.3.已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边长分别是(B)A.3，6，7B.18，6，15C.3，8，9D.10，12，8【详解】解：A.∵23≠56≠67，∴△DEF的三边长不可能是3，6，7B.∵26=515=618=13，∴△DEF的三边长可能是18，6，15C.∵23=69≠58

，∴△DEF的三边长不可能是3，8，9D.∵28≠510=612

，∴△DEF的三边长不可能是10，12，84.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（B）【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为2，22

，A、三角形三边2，10

，32

，与给出的三角形的各边不成比例，故B、三角形三边2，4，25

，与给出的三角形的各边成正比例，故BC、三角形三边2，3，13

，与与给出的三角形的各边不成比例，故CD、三角形三边5

，4，13

，与给出的三角形的各边不成比例，故D【新知探究】问题：类比判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？动手操作：用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使ABA'B'=BCB'C'

=k，∠B=∠B′，量出它们的第三组对应边AC和A′C′等于，相似【想一想】改变k的大小，以上结论还成立吗?结论成立【证明】如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，ABA'B'=ACA'C'，求证：△ABC∽△证明：在线段A′B′

(或它的延长线)上截取A′D=AB，过点D作DE//B′C′，交A′C′于点E.∵DE//B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴A'DA'B'=A'EA'C'又∵ABA'B'=ACA'C'，A′D=∴B'C'DE=B'C'BC，A'C'A∴A′E=AC.DE=BC，而∠A=∠A′，∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A′B′C′.【巩固练习】1.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似.解析：当△ADP∽△ACB时，AP：AB=AD：AC，AP：12=6：8，解得AP=9；当△ADP∽△ABC时，AD：AB=AP：AC，∴6：12=AP：8，解得AP=4.∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似.2.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D)A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.APAB=ABACD.AB3.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是(B)4.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，∴DFAC=EFBC=又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.5.如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且ADAB=34，求DE解：∵AE=1.5，AC=2，∴AEAC=34=又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=34∴DE=34BC=9【课堂检测】1.已知：点D，E，F分别是△ABC三边的中点.求证：△EFD∽△ABC.证明：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点.∴DE=12AC，EF=12AB，DF=1∴DEAC=DFBC=EF∴△EFD∽△ABC.2.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC【解析】AB2=BD·BC，ABBD=BC故选D.3.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，∴DFAC=EFBC=又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.4.如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.证明：∵AD=AE，AB=AC，∴ADAB=AE又∵∠DAB=∠CAE，