人教版九年级下册数学 27.2.1.2 相似三角形的判定（第二课时） 教案

27.2.1.2相似三角形的判定第二课时教案【教学目标】1、掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”“三边对应成比例，两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．并能运用这三个判定定理证明两个三角形相似。2、结合全等三角形的SSS和SAS的证明方法，通过类比观察、猜想、证明等活动，探索相似三角形判定定理证明的过程，体会转化的数学思想。3、进一步积累研究几何图形问题的经验。【重难点】重点：掌握三个判定定理，并能运用三个判定定理证明两个三角形相似.难点：会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.【教学过程】（一）复习巩固问题1相似三角形的概念问题2如何判断两个三角形是否相似？问题3判定两个三角形全等有几种方法？师生活动:教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来探究相似三角形的判定打好基础(二)探究新知思考：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？明确：△ADE∽△ABC师生括动:先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视，给出答案：证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.再证明两个三角形的边成比例.过点E作EF∥AB，交BC于点F.∵DE∥BC，EF∥AB，∴ADAB=AEAC，BF∵四边形DBEF是平行四边形，∴DE=BF.∴DEBC=AE∴ADAB=AEAC=这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，边成比例，所以△ADE∽△ABC.因此，我们有如下判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.几何语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.【巩固练习】1.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，则图中与△DEF相似的三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，DE/BC，DF//AC，则图中相似三角形一共有()A.1对B.2对C.3对D.4对3.如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个？请你写出来.4.如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，试证明：ADAB=DO【课堂练习】1.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交子点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE2.如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比.【新知探究】【问题一】类比三角形全等的判定方法(sss)，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢?【探究】任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍.度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？师生活动:学生按要求画出图形，通过测量计算，小组交流讨论后回答问题.教师通过多媒体展示符合题目要求的三角形，并标注对应边和对应角的测量结果，【设计意图】在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，体验探索过程，积累活动经验通过测量不难发现∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因为ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k，所以△ABC∽△A【想一想】改变k的大小，以上结论还成立吗?师生活动:学生认真观察，回答问题，此环节鼓励学生积极回答问题，师生共同探索相似三角形判定方法.【证明】如图，在△ABC和△A′B′C′中，ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，求证△ABC∽师生活动:先由学生尝试在纸上写出证明过程，教师巡视，针对不能写出证明过程的学生，数师适当给出提示:通过上节课的学习可知，平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似,那么我们是否可以在大的三角形(△ABC)内部构造一个小的三角形(△ADE)，使△ABC∽△ADE，再通过已知条件证明△A′DE≌△ABC.，从而△ABC∽△A′B′C′.具体证明过程如下：证明：在线段A′B′

(或它的延长线)上截取A′D=AB，过点D作DE//B′C′，交A′C′于点E.根据前面的定理，可得△A′DE∽△A′B′C′.∴A'DA'B'=DEB'C'=A'EA'C'，又ABA'B'∴DEB'C'=BCB'C'，A'EA'C∴DE=BC，A′E=AC.∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A′B′C′.思路梳理:在△A′B′C′上通过平行线构造相似三角形，同时使新构造的△A′DE≌△ABC.△A′DE是证明的中介，它把△ABC和△A′B′C′联系起来.由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理(如图)：三边成比例的两个三角形相似.:三边成比例的两个三角形相似.几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，∵ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，∴△ABC∽【设计意图】通过完成证明过程，掌握利用三边成比例判定三角形相似的方法.【方法提炼】注意：利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边与边之间的对应关系，主要根据最长边与最长边对应，最短边与最短边对应的思路找对应边.利用三边成比例判定两个三角形是否相似的步骤：(1)排序：将两个三角形的边长分别按从小到大(或从大到小)的顺序排列；(2)计算：计算最长边与最长边、最短边与最短边、第三边与第三边的比值；(3)判断：若比值相等，则这两个三角形相似.【巩固练习】1.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.2.图中每个小方格都是边长为1的正方形，若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.3.已知△ABC的三边长分别是2，5，6，△DEF的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边长分别是()A.3，6，7B.18，6，15C.3，8，9D.10，12，84.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）【新知探究】问题：类比判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？小组讨论：用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使ABA'B'=BCB'C'

=k，∠B=∠B′，量出它们的第三组对应边AC和A′C′师生活动:学生按要求画出图形，通过测量计算，小组交流讨论后回答问题.教师通过多媒体展示符合题目要求的三角形.【设计意图】在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，体验探索过程，积累活动经验【想一想】改变k的大小，以上结论还成立吗?【证明】如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，ABA'B'=ACA'C'，求证：△ABC∽△师生活动:先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视，针对不能写出证明过程的学生，教师适当给出提示:证明方法和刚才的证明三边成比例两个三角形相似类似,那么我们是否可以在大的三角形(△A′B′C′)内部构造一个小的三角形(△A′DE)，使△A′DE∽△A′B′C′.再通过已知条件证明△A′DE≌△ABC.从而△ABC∽△A′B′C′.具体证明过程如下：证明：在线段A′B′

(或它的延长线)上截取A′D=AB，过点D作DE//B′C′，交A′C′于点E.∵DE//B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴A'DA'B'=A'EA'C'又∵ABA'B'=ACA'C'，A′D=∴B'C'DE=B'C'BC，A'C'A∴A′E=AC.DE=BC，而∠A=∠A′，∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A′B′C′.思路梳理:在△A′B′C′上通过平行线构造相似三角形，同时使新构造的△A′DE≌△ABC.△A′DE是证明的中介，它把△ABC和△A′B′C′联系起来.由此我们得到利用两边和夹角判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.几何语言:在△ABC和△A′B′C′中，∵∠A=∠A′，ABA'B'=ACA'C'，∴△ABC∽△【设计意图】通过完成证明过程，掌握利用两边成例且夹角相等判定三角形相似的方法.【小组讨论】对于△ABC和△A′B′C′，使ABA'B'=ACA'C'

，∠B=∠师生活动:先由学生回答问题，再由教师总结，并通过多媒体展示具体原因.【设计意图】通过此环节，使学生理解不能通过此方法判定相似三角形的原因.【巩固练习】1.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似.2.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是()A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.APAB=ABACD.AB3.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是()4.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.5.如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且ADAB=34，求DE【典例解析】例1根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：(1)AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm,A′C′=24cm；解：∵ABA'B'=412BCB'C'=618ACA'C'=824∴ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'，(2)∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm.解：∵ABA'B'=73，ACA'∴ABA'B'=AC又∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.【课堂练习】1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：(1)∠A=40°，AB=8cm，AC=15cm，∠A′=40°，A′B′=16cm，A′C′=30cm；(2)AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm，A′B′=16cm,，B′C′=12.8cm，A′C′=25.6cm.2.图中的两个三角形是否相似？为什么？3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4cm，5cm和6cm，另一个三角形框架的一边长为2cm，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？【课堂检测】1.已知：点D，E，F分别是△ABC三边的中点.求证：△EFD∽△ABC.2.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC3.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.4.如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.5、如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6BC=4，AC=5，CD=712，求AD（三）链接中考（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF=α，则∠FAG用含α的代数式表示为()A.45°-α2B.90(四)归纳小结1.通