广东省兴宁市实验学校、宁江中学2026届中考第一次形成性评价数学试卷（含解析）

2026年广东梅州市兴宁市实验学校、宁江中学2025-2026学年第二学期第一次形成性评价（数学科）一、单选题1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（

）．A． B． C． D．3．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（）A． B． C． D．4．图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（

）A． B． C． D．5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（

）A． B． C． D．6．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（

）A． B．C． D．7．如图，点A、B、C、D在上，点A、C在直径同侧，若，，则的大小为（

）A． B． C． D．8．年贵州省大力推动消费品以旧换新活动，成效显著，全年共使用政府补贴资金亿元，充分发挥了财政资金撬动市场活力的杠杆作用，将亿用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．9．如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（

）A． B． C． D．10．如图，在矩形中，是边上的一动点（不与端点重合）．将沿直线对折，得到，连接并延长，交线段于点，连接，，则下列结论错误的是（

）A．的面积为定值B．的最小值为C．的最大值为5D．的最大值为二、填空题11．平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是________．12．若，则_______．13．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）．14．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________．15．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点E，且与边交于点G．若点B的坐标为，则点G的坐标为______．三、解答题16．先化简，再求值：，其中17．某初级中学数学兴趣小组为了解本校学生的年龄情况，随机抽取了该校部分学生的年龄作为样本，经过数据整理，绘制出如下不完整的统计图．依据相关信息解答以下问题：(1)写出样本容量，并补全条形统计图：(2)该校被抽取的学生的年龄的众数是岁，中位数是岁．(3)若该校一共有1000名学生．估计该校学生年龄在15岁及以上的人数．18．如图，的对角线、相交于点O，．(1)求证：；(2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论．19．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．材料一租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．材料二A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；租用B型客车，租车费用打八折．材料三租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？20．如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．(1)求证：直线是的切线；(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积．21．如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接．(1)求证：；(2)取边的中点，连接，求证：．22．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E．(1)求该反比例函数的表达式；(2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标；(3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，和是有公共顶点的两个三角形，在线段上，，．(1)【问题发现】如图2，若，，连接，则、的关系是(请直接写出结果)．(2)【解决问题】如图3，如果，，，，且满足，连接，求的长．小明经过思考发现可以构造如图所示的图形解决问题，过点作，交的延长线于点，证明，从而求出的长．请你按照小明的思路求出长．(3)【拓展探究】如图4，在中，是直径，点为直径上方半圆上一点，，，若点也在上，且满足，直线与直线交于点，请直接写出线段的长．参考答案1．C【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选C．2．D【详解】解：∵反比例函数的图象经过点∴，∵反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于，∴对各选项逐一验证：对于A选项：，不在图象上，对于B选项：，不在图象上，对于C选项：，不在图象上，对于D选项：，在图象上．故选：D．3．D【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，．解得．4．B【详解】解：∵，，，∴，，∴．5．D【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限∴∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限∴，∴∴∴一次函数的图象y随x的增大而减小，∴一次函数的图象大致是：6．D【详解】解：由题意，得第一天票房为亿元，第二天票房为亿元，第三天票房为亿元．∵三天累计票房为亿元，∴．故选D．7．C【详解】解：，，，，．8．A【详解】解：亿．9．C【详解】解：是边上的中线，，，在中，，在中，，故，故选C．10．C【详解】解：，为定值，故选项A正确；根据折叠的性质，，∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动．当三点共线时，最小，此时，的最小值为，故选项B正确；，∴当最大时，最大．如图，当与相切时，的值最大，此时点重合，∵是矩形，∴，，∴，，根据折叠可知，，∴，，∴，∴，的最大值为，的最大值为，故选项C错误；当点与点重合时，最大，最大值为，故选项D正确，故选：C．11．【详解】解：点关于原点对称，横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为，故对称点坐标为；故答案为：．12．【详解】解：∵，∴.故答案为：.13．【详解】解：如图，由题意可知，米，米，且，∴，∴，设，∴光源与手的距离增加1米，即（米），米，如图，同理，得，∴，∴，∴，∴，故答案为：．14．40【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，，设抛物线的解析式为，将代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为，将代入得：，解得：，，故答案为：40．15．【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，∴，．∵矩形与矩形的位似比为，以为位似中心，∴点的坐标为，即∵点在反比例函数的图象上，∴，即反比例函数解析式为．∵点在边上，轴，∴点的纵坐标为．把代入，得，解得．∴点的坐标为．故答案为：．16．【详解】解：，当时，原式．17．(1)50，见解析(2)15，14(3)该校学生年龄在15岁及以上的有400人【详解】（1）解：样本容量为：，14岁的有：（人），16岁的有：（人），补充完整的条形统计图如图所示；（2）解：由条形统计图可得，众数是15岁，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第25、26个数的平均数，则中位数是（岁），（3）解：（人），答：该校学生年龄在15岁及以上的有400人．18．(1)见解析(2)矩形，证明见解析【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，即：，在和中，；（2）矩形，理由如下：证明：，，四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形．19．(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人(2)本次研学活动学校最少租车费用为27000元【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得：．解之得．经检验：是方程的根，且符合题意，答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人．（2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则．解之得．．∵，且对称轴为，∴时，随着的增大而增大．∵取正整数，且，∴当时，最小值为27000（元）．∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元20．(1)见解析；(2)．【详解】（1）证明：连接，如图所示：∵是的平分线，∴，∵∴∴．∴∴．∴∴直线是的切线；（2）解：设的半径为R，∴，∵点E是的中点，∴，∴，由（1）可知：，∴在中，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴阴影部分的面积为：．21．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：，，又，，，点是边的中点，即，，又∵，；（2）证明：如图2，由（1）知：，，，，，，又，∵，，点是边的中点，点是边的中点，，在中，，即，．22．(1)(2)(3)存在，点P坐标为【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为，如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D，∴，，∵点C坐标为，∴，∴，∴，∴，∴是菱形，∴，∵轴，轴，∴，∴，∴点．∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，设直线解析式为，∵点B坐标为，∴，∴，∴直线解析式为，∵反比例函数的图象与交于点E，∴，∴或（舍去），∴，∵，∴，连接，交y轴于点G，此时最小．设直线的解析式为．将，代入：解得，∴直线的解析式为．令，得．∴点G坐标为；（3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下：如图3，过点E作轴