吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第七中学等校2026届中考第一次模拟考试数学试卷（含解析）

吉林延边朝鲜族自治州延吉市第七中学等校2025-2026学年度第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷一、单选题1．《九章算术》是我国中国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数，若收入元记作元，则支出元记作（

）A．元 B．元 C．元 D．元2．如图，几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．3．如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（）A．1 B．5 C．2 D．4．据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“十一”期间，国内游客出游3250000000人次，将数据3250000000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．5．下列计算正确的是（）A． B． C． D．6．如图，四边形内接于，为的直径．若，则（

）A． B． C． D．二、填空题7．不等式组的解集是_________8．因式分解：_________．9．在直角三角形中，，，，则_________10．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________11．如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______．三、解答题12．计算：13．校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（

）A．必然事件

B．随机事件

C．不可能事件(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．14．某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．求甲、乙两种路灯的单价；15．【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．(2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．16．如图，在的方格纸中，已知是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图．(1)在图1中标出外接圆的圆心O．(2)在图2中画格点线段，使得把分为的两条线段．17．某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89请根据以上信息，解答下列问题：(1)求所抽取的学生成组为C等级的人数；(2)求所抽取的学生成绩的中位数；(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．18．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，）

19．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．(1)AP的长为______cm（用含x的代数式表示）．(2)当点D落在边BC上时，求x的值．(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．20．某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度，与药物施用量的关系数据统计如下表：046810151821252119161410741018222731404552任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象．任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式．任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围．21．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．(1)问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是；与的位置关系是；(2)拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由；(3)解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积．22．抛物线（b、c为常数）顶点M的坐标为，P、Q为抛物线上的两点，点P的坐标为，点Q的坐标为，将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．(1)，；(2)当点P与点Q重合时，求点P的坐标；(3)当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式；(4)矩形的顶点分别为，①当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；②当图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．参考答案及解析1．B解析：解：∵收入元记作元，收入与支出是具有相反意义的量，∴支出元记作元．2．D解析：找到从上面看所得到的图形即可，从上面看可得分成3列的三个正方形，故选D.3．D解析：解：∵矩形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴；故选D.4．B解析：解：∵将数据3250000000用科学记数法表示为．5．D解析：解：A．∵与不是同类项，不能合并，原计算错误，故A不符合题意；B．，原计算错误，故B不符合题意．C．，原计算错误，故C不符合题意．D．，计算正确，故D符合题意．6．B解析：解：∵，∴，∴，∵，∴，∵为的直径，∴，∴故选：B．7．解析：解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为：．8．解析：解：．9．解析：解：在直角三角形中，，，，∴．10．解析：解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据题意得，，故答案为：．11．3解析：解：∵点在双曲线上，∴，即双曲线解析式为．∵，且线段与坐标轴平行，∴点的横坐标为，代入得，即．∵，∴点的横坐标为，代入得，即．∵，∴点的横坐标为，代入得，即．∵的长度等于点与点的纵坐标之差，∴．故答案为：．12．解析：原式．13．(1)B(2)解析：（1）解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能，∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件．故选B．（2）解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，根据题意列表如下：ABCDAA，BA，CA，DBB，AB，CB，DCC，AC，BC，DDD，AD，BD，C则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2．所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为．14．甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元解析：解：设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元，根据题意得：，解得：，答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元．15．(1)见解析(2)解析：（1）证明：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴；（2）解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．16．(1)见解析(2)见解析解析：（1）解：根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，可得如图，点O即为所求作；（2）解：如图，线段即为所求作：17．(1)7人(2)85(3)120人解析：（1）解：总人数为：（人），∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）；（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，∵C中7人，D中1人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，∴中位数为：；（3）解：成绩为A等级的人数为：（人），答：成绩为A等级的人数为120．18．32m解析：解：过点作于点，作于点

由题意得：，在中，，，，四边形为矩形，，，，在中.，答：该风力发电机塔杆的高度为.19．(1)2x(2)x＝(3)当0＜x≤时，y＝3x2；当＜x≤1时，y＝x2+18x﹣6；当1＜x＜2时，y＝（2﹣x）2解析：（1）解：∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；（2）解：当点D落在BC上时，如图1，BP=AB-AP=4-2x，∵PQ⊥AB，∴∠QPA=90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠DPQ=60°，PQ=PD，∴∠BPD=30°，∴∠PDB=90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD=AP=2x，∵BP=2BD，∴4-2x=4x，解得x=；（3）解：①如图2，当0＜x≤时，∵在Rt△APQ中，AP=2x，∠A=60°，∴PQ=AP•tan60°=2x，∵△PQD等边三角形，∴S△PQD=×2x•3x=3x2cm2，所以y=3x2；②如图3，当点Q与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP=AB，即2x=2，解得x=1，所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP=2x，∴BP=4-2x，AQ=2AP=4x，∴BG=BP=2-x，∴PG=BG=（2-x），∴S△PBG=×BG•PG=（2-x）2，∵AQ=2AP=4x，∴CQ=AC-AQ=4-4x，∴QH=CQ=（4-4x），∴S△QCH=×CQ•QH=（4-4x）2，∵S△ABC=×4×2=4，∴S四边形PGHQ=S△ABC-S△PBG-S△QCH-S△APQ=4-（2-x）2-（4-4x）2-×2x×2x=-x2+18x-6，所以y=-x2+18x-6；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG=BP•sin60°=（4-2x）×=（2-x），∵PB=4-2x，∴BQ=2BP=2（4-2x）=4（2-x），∴BG=BP=2-x，∴QG=BQ-BG=3（2-x），∴重叠部分的面积为：S△PQG=×PG•QG=×（2-x）•3（2-x）=（2-x）2．所以y=（2-x）2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0＜x≤时，y=3x2；当＜x≤1时，y=-x2+18x-6；当1＜x＜2时，y=（2-x）2．20．任务1：见解析任务2：，,任务3：解析：解：任务1：如图：即为所求；任务2：选取两点分别代入可得：，解得，∴；选取两点分别代入；得：解得，∴；任务3：当时，

解得：．当，时，解得，．∴.∴在时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态．21．(1)；(2)，理由见解析(3)解析：（1）解：四边形是菱形，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，在与中，，，，，是菱形的对角线，，，，，；（2）解：，理由如下：四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，即，在与中，，，；（3）解：设，相交于点，如图，，是菱形的对角线，，，，，，，，、是等边三角形，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，，即，．22．(1)(2)(3)(4)①；②解析：（1）解：∵抛物线顶点的坐标为，∴抛物线的解析式为，∴，故答案为：；（2）解：∵点与点重合，∴，解得：，当时，，∴点的坐标为；（3）解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，∵顶点在图象上，∴图象的最低点的纵坐标为，当点在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；当点在对称轴上或右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；综上所述，与之间的函数关系式为；（4）解：①∵，四边形是矩形，∴，∵抛物线的解析式为，∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∵，∴抛物线的顶点为，矩形在顶点上方，当时，解得，