山东省济南市历城区2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

2026年山东省济南市历城区九年级学业水平模拟测试（一）数学试题一、单选题1．2026的相反数是（

）A． B．2026 C． D．2．如图所示的几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．3．人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（

）A． B． C． D．4．下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．5．化简的结果是（

）A． B． C． D．6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．7．现有背面完全相同，正面分别写有“论语”、“孟子”、“大学”和“中庸”的四张卡片，正面朝下放置在桌面上，将其洗匀后抽取一张，放回后洗匀再抽取一张，抽取的两张卡片正面写的是“论语”和“孟子”的概率是（

）A． B． C． D．8．若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．9．如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图：①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（

）A． B． C． D．10．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或二、填空题11．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．12．是关于x的一元二次方程的解，则.__________．13．如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________．14．已知，两地相距，小明和小亮两人分别从，两地出发相向而行，小亮先出发；图中，表示两人离地的距离与时间的关系，则小亮出发______后两人的路程和为．15．如图，矩形中，，点是的中点，点在边上且，连接，，若，则______．三、解答题16．计算：．17．解不等式组，并写出所有的整数解．18．如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：．19．如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转，货厢底部，两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作，点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，测得．假设该车在平地上进行卸货作业（即为水平线）．(1)求货厢对角线的长；(2)卸货时发现，当，两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：，，，，结果精确到）．20．学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，．八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数中位数众数七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中______，______，______；(2)七年级所抽学生竞赛成绩中组对应扇形的圆心角是______；(3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？21．如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．22．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售，两种配件．已知购进件配件和件配件需支出成本元；购进件配件和件配件需支出成本元．(1)求，两种配件的进货单价；(2)若该配件销售部门计划购进，两种配件共件，配件进货件数不低于配件件数的倍．据市场销售分析，配件提价销售，配件按进价的倍销售．怎样安排，两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？23．如图，点和点在反比例函数的图象上，且点在点的右侧，作轴，垂足为点，连接，．(1)求反比例函数的解析式；(2)如图1，若的面积为6，求直线的表达式；(3)在轴上存在一点，当是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点坐标．24．在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题．研究发现：通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化．如图，在中，，，点，分别为，上的动点（不含端点）．(1)如图，若，将绕点顺时针旋转得到，判断和的数量关系并说明理由；(2)如图，在第（）问的条件下，作于点，交于点，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；(3)如图，若，，连接，，求出的最小值．25．如图，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当时，求点的坐标；设点横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点．当线段的长度随的增大而减小时，求的取值范围．参考答案1．A解：的相反数是．2．D解：从上往下看，该几何体的整体轮廓是一个矩形；几何体顶部有一条棱，且从上方可见，则矩形中间应有一条实线；几何体底部中间挖去了一个半圆柱形的洞，其边缘线从上方不可见，则矩形内部两侧应各有一条虚线表示不可见的轮廓线，综上所述，该几何体的俯视图是中间有一条实线、两侧各有一条虚线的矩形，故选项D的图形符合．3．B解：∵，故选：B．4．C解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．5．C解：．6．D解：根据数轴得，∴，故选：D．7．A解：用A，B，C，D分别代表正面分别写有“论语”、“孟子”、“大学”和“中庸”的四张卡片，由题意列表如下，ABCDA(A，A)(B，A)(C，A)(D，A)B(A，B)(B，B)(C，B)(D，B)C(A，C)(B，C)(C，C)(D，C)D(A，D)(B，D)(C，D)(D，D)由列表可知，共有16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面写的是“论语”和“孟子”的有2种，∴抽取的两张卡片正面写的是“论语”和“孟子”的概率．8．D解：∵，∴当时，随的增大而增大，且，当时，随的增大而增大，且，∵，∴，故选：D．9．D解：四边形是正方形，边长为，∴，，由步骤①可知，是线段的垂直平分线，∴，，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴在中，，由步骤②可知，平分，即，如图，在上截取，连接、，在和中，AB=AG∠，，，，设，则，，在中，，∴，在中，，∴，，解得，．10．B解：∵，即，∴，∴抛物线的对称轴为直线，①当时，则抛物线开口向上，∵和是抛物线上的两点，对于都有，∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，∴，即，∴，∴；②当时，则抛物线开口向下，且时，y随x的增大而减小，则点关于对称轴的对称点的坐标为，∵和是抛物线上的两点，对于都有，此时和均在对称轴的右侧，∴，即，∵，∴；综上所述，当或时，满足题意．11．解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是，故答案为：．12．-2解：把代入方程得：，所以，所以故答案为13．解：∵正五边形，∴，∵为等边三角形，，∴，∴，，∴阴影部分的面积即为扇形的面积：；故答案为：．14．解：由题意可知，小亮的函数图象是，小明的函数图象是，小亮的速度是，小明的速度是．设小亮出发小时两人的路程和为．由题意得，，解得，答：小亮出发小时两人的路程和为．15．解：如图，过点作于点，设，∴，∵四边形是矩形，，点是的中点，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，即，∴，即，∵，∴，∴，即，∴，在中，，在中，，∴，即，∴，∵，∴，∴，解得：或（负数不符合题意，舍去），∴．16．．解：．17．，整数解为1，2解：解不等式①，得，解不等式②，得，所以原不等式组的解集为整数解：1，2.18．见解析【详解】证明：在菱形中，，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴．19．(1)货厢对角线的长约为；(2)不会发生上述事故，理由见解析．（1）解：∵四边形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，答：货厢对角线的长约为；（2）解：不会发生上述事故，理由如下，作，垂足为，∵，∴，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，在中，，，，∴，∵，故该货车不会发生上述事故．20．(1)，，；(2)；(3)估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人．（1）解：由题意得，七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人），在组中的数据有人，∴在组中的数据有（人），∴，∴，由七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，则落在组数据的第和个，分别是，，∴中位数，由八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是，∴，故答案为：，，；（2）解：，故答案为：；（3）解：（人），答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人．21．(1)见解析；(2)的长是．（1）解：如图，连接，∵是的切线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：如图，连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，，∵，∴，即，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴的长是．22．(1)配件的进货单价是元，配件的进货单价是元；(2)当购进件配件，件配件时，本次销售的利润达到最大，最大利润是元．（1）解：设配件的进货单价是元，配件的进货单价是元，根据题意得，，解得：，答：配件的进货单价是元，配件的进货单价是元；（2）解：设购进件配件，则购进件配件，根据题意得，解得，设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为元，∴，∵，∴随的增大而增大，∴当时，取得最大值，最大值为（元），此时，答：当购进件配件，件配件时，本次销售的利润达到最大，最大利润是元．23．(1)反比例函数的解析式为；(2)直线的表达式为；(3)当是等腰直角三角形时，所有满足条件的点坐标为，，．（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，∴，∴反比例函数的解析式为．（2）解：设，∵轴，垂足为点，∴，∵的面积为，∴，解得，∴，设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为．（3）解：设，∵，点在点的右侧，∴，当是等腰直角三角形时，分以下种情况：若，，作轴于点，交于点，则，又∵轴，垂足为点，∴四边形为矩形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，若，，作轴于点，作于点，则，，∴，在和中，，∴，∴，∴，，解得，∴，∴，若，，作轴于点，作轴于点，则，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，解得，∴，∴，∴当是等腰直角三角形时，所有满足条件的点坐标为，，．24．(1)，理由见解析；(2)四边形为平行四边形，理由见解析；(3)的最小值为．（1）解：，理由，∵绕点顺时针旋转得到，，∴，，又∵，∴，∴；（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：∵，，∴，∵绕点顺时针旋转得到，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形为平行四边形；（3）解：如图，过点作，使，连接，，延