山西省太原市2026届九年级下学期初中学业水平模拟考试（一）数学试卷（含解析）

山西省太原市2026年初中学业水平模拟考试（一）数学一、单选题1．根据综合气象信息，2026年马年春节当天太原市部分县区的最低气温如下表所示：县区迎泽区小店区阳曲县古交市最低气温其中当天最低气温最高的县区是（

）A．迎泽区 B．小店区 C．阳曲县 D．古交市2．青铜器是商周时期的文化瑰宝，其纹样与造型蕴含对称美．下列青铜器纹样图案中，属于中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（）A． B． C． D．4．高铝拱角砖是专为拱形结构设计的耐火材料，耐火温度可达到2000℃以上．如图是一种高铝拱角砖的示意图，其形状为五棱柱．若其主视图为五边形，则它的左视图为（

）A． B． C． D．5．已知点，都在反比例函数的图象上，则与的关系为（

）A． B． C． D．6．如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（

）A． B． C． D．7．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．8．如图，中，，将沿方向平移得到，其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．若，则平移的距离为（

）A．2 B．3 C．6 D．99．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（

）…012……0无意义*无意义*…A． B． C． D．10．如图，扇形纸片的半径，．将该扇形纸片对折，使得和完全重合，折痕与交于点，然后展平纸片；再沿过点的直线折叠扇形纸片，使点与点重合，折痕与交于点，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题11．计算的结果是______．12．如图是一个由量角器和直尺组成的测角仪器，用它测量一个三角形零件中残缺的内角的度数．若测得的度数为，则的度数为______．13．2026年央视春晚节目《贺花神》构建了“一月一人一景，一花一态一观”的视觉叙事，生动演绎了中华优秀传统文化．小宁据此制作了六张卡片（除正面外完全相同），其中三张正面分别是代表正月、二月、三月的梅花、杏花、桃花；另外三张正面依次是这三个月的花神林逋、陆游、息国国君夫人．他将六张卡片分两组背面朝上分别洗匀，先从三张花卉卡片中随机抽取一张，再从三张花神卡片中随机抽取一张，则两张卡片恰好是同一个月的花卉和花神的概率为______．14．植树节来临之际，学校组织320名学生进行植树活动，计划种植杨树和松树两种树苗，已知种植1棵杨树需要3名学生，种植1棵松树需要5名学生．若要种植的两种树苗总棵数不少于100棵，则种植杨树的学生至少______人．15．如图，在四边形中，，，对角线平分，且，．点是上一点，连接，若，则的面积为______．三、解答题16．计算与解方程组(1)计算：；(2)解方程组：17．操作与探究：如图，在中，．(1)动手操作：用直尺和圆规按要求作图：①作的垂直平分线交于点O；②以点O为圆心长为半径作；③连接并延长交于点D，连接，（要求：保留作图痕迹，标明字母）．(2)猜想证明：在（1）所作的图形中：①判断点A，B与的位置关系，并说明理由；②判断四边形的形状，并说明理由．18．为丰富学生的地理知识，学校举办中国地图拼图挑战赛，初赛阶段九年级遴选出甲、乙、丙、丁四名优秀队员晋级总决赛，赛前带队教练为评估实战水平，对四名晋级队员最近10次测试成绩（单位：s，精确到）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：信息1：甲、乙两名队员10次测试成绩的折线图：信息2：丙队员10次测试成绩：

信息3：四名队员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：队员统计量甲乙丙丁平均数p中位数m方差n(1)表中m的值为______，p的值为______；(2)乙的方差n与甲的方差的关系为：n______（填“＞”“＝”或“＜”）；(3)根据这10次测试成绩，带队教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则10次测试中测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．按以上方式评估，这四名队员按实力由强到弱的顺序依次为______．19．2025年中国粮食再获丰收，我国小麦种植在“藏粮于地，藏粮于技”战略推动下实现稳定增产．某农业研究所培育出高产小麦新品种，该品种小麦每亩产量比普通小麦的2倍少100公斤．已知甲、乙两农户分别种植新品种小麦和普通小麦，甲农户种植面积是乙农户的2倍，收获时甲农户总产量为8000公斤，乙农户总产量为2250公斤．求新品种小麦的亩产量．20．综合与实践某校开展校园手绘平面图测绘活动，数学实践小组为标注教学楼前人工湖内小岛两端点C，D之间的距离，进行了数据测量．如图，该小组测量方案和相关数据如下：步骤一：甲同学在教学楼五层某教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点A处测得小岛一端C处的俯角；步骤二：乙同学在该教学楼三层相同位置教室窗边安装测倾器，从测倾器顶部点B处测得小岛另一端D处的俯角；步骤三：测得测倾器高为1.6m；步骤四：每相邻两层楼地板之间的距离为3.5m，可求得点A到水平地面的距离▲m，点B到水平地面的距离▲m．已知图中所有点均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一铅垂线上，点D，C，G在同一水平线MN上．(1)补全“步骤四”中“▲”处的结果；(2)请根据上述测量方案和数据计算小岛两端C，D之间的距离（结果精确到，参考数据：，，，，，）．21．读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．差直角三角形【研究背景】在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形．【定义对象】有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形．由定义可知，差直角三角形一定是______三角形．【定义运用】定义——性质：问题1：已知差直角三角形ABC中，，则的度数为______°．定义——判定：问题2：如图2，已知中，是对角线，，点E是边上一点，交于点F．若，则图中是差直角三角形．理由如下：∵四边形是平行四边形，∴，（依据：▲）∴，．∵，∴……．任务：(1)“定义对象”部分“▲”处为▲（填“锐角”“直角”或“钝角”）；“定义运用”部分问题1的“▲”处为▲；问题2的“▲”处为▲；(2)补全上述报告中问题2的推理过程；(3)如图3，已知中，，，，点E在BC边上，若是差直角三角形，则的长为______．22．综合与实践问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形．工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题．方案分析：在图1中，具体结构与数据如下：①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为．②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽．建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系．(1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式；问题解决：(2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）．①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径；②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）．23．综合与探究问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，．(1)操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点B与点D重合，折痕分别交，边于点E，F，点A的对应点为点G．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由；(2)拓展延伸：如图2，小慧沿过点C的直线折叠该矩形纸片，使点B的对应点H落在对角线的延长线上，折痕交线段于点M，交于点N，点A的对应点为点G．①求此时线段的长；②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点P，交线段于点Q．请你借助备用图进行分析，直接写出是等腰三角形时，点D到的距离．参考答案1．A【详解】解：，，，，且，∴，∴最高的最低气温为，即当天最低气温最高的县区是迎泽区．2．C【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意．3．D【详解】解：选项A：，错误；选项B：，错误；选项C：，错误；选项D：，正确．4．B【详解】解：该几何体的左视图为：5．B【详解】解：点，都在反比例函数的图象上，把代入，得，把代入，得，，．6．D【详解】解：连接，∵与相切于点B，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴．7．D【详解】解：∵不等式，∴，∵不等式的解集是，∴，，∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选：．8．B【详解】解：根据平移的性质可得，，又∵，，∴，∴平移的距离为3．9．D【详解】解：由表格可知，当时分式无意义，∴A不合题意；∵当时，分式无意义，∴B不合题意；∵时分式的值为，∴C不符合题意，D符合题意，故选：D．10．A【详解】解：观察图象，可知阴影部分的面积与的面积是相同的，均为扇形减去弓形面积，∵，，∴为等边三角形，∵，∴，∴，∴．11．2【详解】故答案为：12．【详解】解：由图得是的邻补角，的度数为，．13．【详解】解：正月、二月、三月分别用A、B、C表示，花神林逋、陆游、息国国君夫人分别用D、E、F表示，列表如下：ABCDEF共有9种等可能的结果，其中取出的两张卡片恰好是同一个月的花卉和花神的结果有：，，，共3种，∴取出的两张卡片恰好是同一个月的花卉和花神的概率为．14．270【详解】解：设种植杨树的学生有人，则种植松树的学生有人．由题意可知，杨树总棵数为，松树总棵数为，根据两种树苗总棵数不少于棵，列一元一次不等式：不等式两边同乘去分母得：去括号得：合并同类项得：系数化为得：故种植杨树的学生至少为人．15．【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，，，即，，，四边形是矩形，，，，平分，，，，，在和中，，，，，，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，，即，解得，，，，，的面积为．16．(1)0(2)【详解】（1）解：；（2）解：，得，解得．将代入①，得，解得．所以原方程组的解是．17．(1)见解析(2)①点A，B在上，理由见解析；②四边形是矩形，理由见解析【详解】（1）解：如图即为所求．（2）解：①点A，B在上．理由如下：∵垂直平分于点O，∴点O是的中点，∴．在中，，是斜边上的中线，∴．∴．∵是的半径，∴点A，B在上．②四边形是矩形．理由如下：由作图可知，点D在上，∴．∵，，∴四边形是平行四边形．∵，∴是矩形．18．(1)；；(2)＜(3)乙、丁、甲、丙【详解】（1）解：甲的10次测试成绩排列为：，则中位数为；丙的平均数为．（2）解：由题意可知，乙的平均数为，则方差为.∴．（3）解：由（1）可知，丙的平均数为，则丙的平均数最大，实力最弱，由（2）可知，乙的方差为，方差：，则乙的实力最强，甲和丁的平均数都为，方差均为，丁的测试成绩中位数为，第5、6次成绩总和为，则前5次测试成绩小于平均数；甲10次测试成绩小于平均数的成绩有3次，说明丁比甲强，因此，这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙．19．新品种小麦的亩产量为800公斤【详解】解：设普通小麦的亩产量为x公斤，则新品种小麦的亩产量为公斤．由题意得，解得．经检验，是原方程的解．当时，．答：新品种小麦的亩产量为800公斤．20．(1)15.6；8.6(2)小岛两端C，D之间的距离约为9m【详解】（1）解：，．（2）解：由题意，得，，．∵，，∴，．在中，，，∵，∴．在中，，，∵，∴．∴．答：小岛两端C，D之间的距离约为9m．21．(1)钝角；30；平行四边形的定义(2)见解析(3)5或【详解】（1）解：，，是一个钝角，故是一个钝角三角形；，，，，，，解得；∵四边形是平行四边形，∴，（依据：平行四边形的定义）；（2）证明：是差直角三角形．理由如下：∵四边形是平行四边形，∴，（依据：平行四边形的定义）∴，．∵，∴，∴，∵，，，，是差直角三角形．（3）解：，，，，点E在边上，且，是一个钝角，是差直角三角形，或，当时，此时，，，过点E作于点F，根据题意，得，在和中，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，∴，∴．当时，此时，，，∵，∴，∴，∵，，∴，解得，∴．综上所述，的长为5或3.5．22．(1)(2)①圆形校徽的直径为；②【详解】（1）解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在轴上，且点、、、、，故假设对应的函数表达式为，将点、代入，得，解得，故对应的函数表达式为．（2）解：①令对应的函数表达式为，当时，对应的函数值为．∴，结合点，得，故可得方程组，解得，∴对应的函数表达式为，故点，∴．②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过，即，当时，得，解得，∴两个摄像头之间水平距离的最小值为．23．(1)，理由见解析(2