四川省广元市苍溪县2026届九年级下学期中考一模数学试卷（含解析）

2026年春初三年级第一次诊断性测试数学试题一、单选题1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）A． B． C． D．2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）A． B． C． D．3．如图，在中，，，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（

）．A． B． C． D．4．奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（

）A． B． C． D．5．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（）A． B． C． D．6．如图，四边形内接于，，则的度数是（

）A． B． C． D．7．关于的反比例函数，下列结论正确的是（

）A．其图像经过点B．其图像位于第二、四象限C．若其图像经过，则D．其图像所在的每一个象限内，随着的增大而减小8．如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．9．已知、均为锐角，且满足，则等于（

）A．75° B．60° C．45° D．105°10．下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，……，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（

）A．81 B．77 C．75 D．70二、填空题11．已知，则的值是________．12．有6张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是___________．13．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______．14．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____．15．如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________．16．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，连接，．给出下面四个结论：；；；．上述结论中，所有正确结论的序号是______．三、解答题17．计算：．18．解下列方程：(1)；(2)．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点的坐标．20．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：(1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；(2)若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；(3)学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．21．如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上．(1)求证：；(2)连接，若，，求的长．22．如图，为的直径，C、D为上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于点F．(1)求证：为的切线；(2)求证：．23．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导管紧贴水面，延长交于点，且（点，，，在同一直线上），经测得，，，求的长．（结果保留整数）（参考数据：，，）24．材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元．材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件．材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售．任务一：建立函数模型（1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围；任务二：设计销售方案（2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？（3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？25．综合与实践：问题情境：如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作的垂线，分别交直线于点F，G．(1)数学思考：线段和的数量关系______．(2)问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，求的值；(3)问题拓展：在（2）的条件下，当点E为的中点时，请直接写出的面积．26．如图1，抛物线过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点M作直线轴，交x轴于点E，设M的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值．(3)设函数y在内最大值为p，最小值为q，若，直接写出m的值．参考答案1．C解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示：故选：C．2．C解：原方程为.移项得.方程两边同时加得.配方得.3．B解：在中，是斜边的中线，∴，∴，∵是的外角，∴，∵，∴，∴，的长为．4．B解：列举出所有等可能的结果如下：----由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是”且“第二位不是”共有7种有效密码，∴他设置的密码不会被系统排除的概率是．5．D【详解】连接，过B作于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，圆锥底面圆周长为，，则，∵，，∴，由，可求得，∴，，即这根绳子的最短长度是．6．C解：∵，∴，又四边形内接于，∴，∴．7．D解：A、∵反比例函数解析式为，把代入解析式得，∴图象不经过点，故此选项不符合题意；B、∵，∴图象位于第一，三象限，故此选项不符合题意；C、∵图象经过点，∴，整理得，解得或，故此选项不符合题意；D、∵，∴在图象的每一个象限内，随着的增大而减小，故此选项符合题意．8．C解：，，，，，A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意，故选：C．9．A解：∵，且，，∴，，∴，，∵，均为锐角，∴，，∴．10．B解：第①个图案有个黑点，第②个图案有个黑点，第③个图案有个黑点，第④个图案有个黑点，…，以此类推，得第个图案中黑点个数为；第⑦个图案中黑点个数为；故选：B．11．解：设，由平方的非负性可知原方程变形为：整理得：因式分解得：解得：，，不符合题意，舍去，.12．解：∵共有6张卡片，数字分别为1，2，3，4，5，6，其中是2的整数倍的数有2，4，6，共3个，∴随机抽取1张是2的整数倍的概率为．故答案为：．13．解：如图建立坐标系：∵抛物线最高点到的距离为，，，∴，，设，将代入得，，解得，即，当时，，即点到的距离为，故答案为：．14．15．解析：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，∴∠DAQ=∠BAQ．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，∴∠DAQ=∠DAQ，∴△AQD是等腰三角形，∴DQ=AD=3．∵DQ=2QC，∴QC=DQ=，∴CD=DQ+CQ=3+=，∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．故答案为15．15．解：过点作于点，∴，设，则，∴，得，则，，由翻折得，设，则，，在中，，即，解得：，即，故答案为：．16．解：∵点，在函数的图象上，∴设点的坐标为，点的坐标为，∵轴于点，过点作轴于点，与交于点，∴，，，，∴，，∴，，∴，故结论正确；∵轴于点，过点作轴于点，与交于点，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，由结论正确得：，∴，∴和不相似，故结论不正确；∵，∴，，由结论正确得，∴，∴，∴，即，故结论正确；连接，如图所示：∵四边形是矩形，∴，由结论正确得，在和中，，，∴，∴，∴，即，∵轴于点，轴于点，∴，，∴四边形和四边形都是平行四边形，∴，，∴，故结论正确，综上所述：正确的结论的序号是．17．解：．18．(1)，(2)，（1）解：，∴，∴或，∴，；（2）解：，∵，∴，∴，．19．(1)；(2)或（1）解：把点代入得，，反比例函数的解析式为，把代入得，点的坐标为，把和点代入得，解得一次函数的解析式为．综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．（2）解：设点的坐标为，，当点在第四象限时，如图所示：∵∴，解得：（不合题意舍去），当点在第二象限时，如图所示：∵∴，解得：（不合题意舍去），综上所述，点的坐标为或．20．(1)400，见解析(2)600名(3)（1）解：抽取总人数为（名），等级D的人数为（名），补全条形统计图如图所示：（2）解：（名）答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；（3）解：树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，∴P（甲乙两人同时被选中）．21．(1)见解析(2)（1）证明：由旋转得，，，且点恰好落在线段上，∴，∴，∴．（2）解：由旋转的性质可知，∵，，∴在中，．22．(1)见解析(2)见解析（1）证明：连接，如图所示：，，又，，又，，，，，又为的半径，为的切线；（2）解：由（1）知，，，，，，即，；23．如图，延长、交于，，，，四边形为矩形，，，，，，在中，，，则，，，，，，，，，，．24．（1）关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）；（2）销售单价应定为元或元；（3）销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元解：（1）由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件，日销量，由材料一可得，销售单价不低于元，由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数．的取值范围为，且为正整数．日销售利润，关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）；（2）由题意得，当时，即，整理得，即，解得，，，销售单价应定为元或元，答：销售单价应定为元或元；（3），且为正整数，当或时，最大，当时，（元），当时，（元），最大利润为元，答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元．25．(1)(2)(3)（1）解：∵四边形是正方形，，，，，∵，，，，，，，，，，，．故答案为：．（2）解：∵四边形是矩形，，，，，，，，又，，，，∴，在中，，，∴，∴；（3）解：过点E作于M，于点N，∵E为的中点，，，，，∴，，同理：，由（2）知，∴，∴，∴，