辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高二数学时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效.第I卷(选择题，共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得.【详解】命题“，”的否定是“”.2.设集合，集合B是函数的定义域，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由函数有意义，可得，即,故,因为，所以.3.已知函数满足，则（）A.0 B. C.1 D.2【答案】D【解析】【详解】因为，所以．4.已知函数，则的表达式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】因为，所以，令，可得，解得，则，故A正确.5.设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由，得.由，得.若是的必要不充分条件，则，解得.6.已知点在一次函数的图像上运动，当它的横､纵坐标之积最大时，点P的坐标（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为点在一次函数的图像上，所以可将用含的表达式替换，结合二次函数的性质，找到该函数取最大值时对应的自变量的值.将求得的代入一次函数解析式，计算出对应的值，即可得到点的坐标.【详解】已知点在上，所以横纵坐标乘积为

，当时​，有最大值2，

将代入，得，因此此时点坐标为.7.已知函数，则方程的实根个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式分情况讨论计算即可.【详解】解方程，得或.当时，，当且仅当时取等号，即，.当时，，此时在上单调递增，值域为.当，时，，解得，此时有1个根.当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根.当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根.综上，方程共有3个实根.8.已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得，再根据求得.【详解】由，得，所以，即，又，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以，所以.所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数；根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求；选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数；且在上单调递减，故B符合要求；选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合；选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合.10.已知等比数列的公比且，，，记数列的前n项和为，则下列正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【详解】选项A：由得.因为，可得，解得或.结合，得，A正确；选项B：由，B正确；选项C：，因为，则，C正确；选项D：因，，两者显然不相等，D错误.11.集合，，记.则下列正确的是（）A.中有个元素B.中的最大元素为511C.当为奇数时，中有个元素D.当为偶数时，中的元素之和为【答案】ACD【解析】【分析】集合中的元素都是3的正整数倍数，集合中的元素都是至之间的整数，所以集合中的元素都是至之间3的正整数倍数，构成一个公差为3的等差数列，结合等差数列的相关知识和自然数的规律即可解决本题.【详解】选项A：“整数端点区间”中的整数个数为，其中，所以中的元素个数为；选项B：，且，指的是至之间所有的正整数倍数，因为，不是的正整数倍数，所以中的最大元素应为510；选项C：，指的是至之间所有的正整数倍数，除以3的余数的规律是：除以3余2，除以3余1，除以3余2，除以3余1，……，据此归纳可知，当为奇数时，除以3余2，当为偶数时，除以3余1，所以，当为奇数时，至之间所有的正整数倍数最小为，最大为，所以，，由于这些数都是的倍数，所以中的元素个数为；选项D：当为偶数时，至之间所有的正整数倍数最小为，最大为，所以，，中的元素个数为因为中的元素成公差为3的等差数列，所以其元素之和为.本题的关键在于读懂集合中的元素就是至之间3的正整数倍数，它们构成了一个公差为3的等差数列.第Ⅱ卷(非选择题，共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若正实数，，成等比数列，则的值为__________.【答案】1【解析】【详解】因为正实数成等比数列，所以，解得或，因为，所以．13.若在上是减函数，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【详解】因为在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，，函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以，因为在上恒成立，所以.14.19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现在大量十进制随机数据中以开头的数出现的概率为，并可用此概率检验某些经济数据.，则的值为__________.【答案】507【解析】【分析】根据对数的运算性质及裂项相消法求解即可.【详解】，，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列满足，，设.（1）求，的值；（2）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.【答案】（1），（2）由条件可得，即，又，所以是首项为，公比为2的等比数列．于是，，又，所以，解得．【解析】【分析】（1）根据递推公式，赋值求解即可；（2）利用定义，求得，由的通项公式即可求得的通项公式.【小问1详解】由条件可得．将代入得，，而，所以．从而，．【小问2详解】略16.定义在R上的函数（1）证明：，都有;（2）若正实数，满足①求，的关系式；②求的最小值.【答案】（1）由解析式知：，得证；（2）①；②3【解析】【分析】（1）由函数解析式，结合指数的运算性质化简，即可证；（2）①对函数求导，根据导数的符号判断函数的单调性，结合已知条件有，即可得；②应用“1”的代换及基本不等式求最小值.【小问1详解】略【小问2详解】①，故在定义域上单调递增，由，可知，所以；②由①知，又a，b为正实数，所以，当且仅当，即，时取得等号，所以的最小值为3．17.已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）若的极小值为，求的值；（3）讨论的零点个数.【答案】（1）（2）（3）当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点．【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求得在处的切线的斜率，根据直线的点斜式方程可得；（2）通过讨论导函数的零点，并结合的极小值为，可确定的值；（3）利用导数分析的单调性及极值，从而得到的零点个数.【小问1详解】当时，，.，.所以在处的切线方程为：，整理得：.【小问2详解】由题得，其中，当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意.所以.令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，极小值为，解得.【小问3详解】由（2）知当时，的极小值为，的极大值为，当时，；当时，.所以当即时，有三个零点，如图①曲线；当，即时，有两个零点，如图②曲线；当，即时，有一个零点，如图③曲线；当时，，所以有一个零点.综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点．18.已知函数.（1）若，求实数的值；（2）记函数，讨论的单调性；（3）当时，证明：.【答案】（1）2（2）在上单调递减，在上单调递增．（3）由题意等价于．当时，原不等式可化为；当时，，于是有，故只需证明即可.设，则．设，则．所以函数在上单调递增.因为，，所以函数在上有唯一零点，且.因为，所以，即．当时，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，取得最小值．因为，又，所以，即.所以，即，所以所以，当时，．【解析】【分析】（1）求出导函数，代入求解即可.（2）根据导数与单调性的关系求解即可.（3）当时，若证，只需证；构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系，结合零点存在定理证明即可.【小问1详解】由，得，则，解得.【小问2详解】由题意得：，定义域为.则，易知，，令，只需，解得：，故在上单调递增.令，解得，则在上单调递减.综上，在上单调递减，在上单调递增．【小问3详解】略19.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记.（1）求；（2）证