2027届新高考数学热点精准复习函数性质的综合问题

2027届新高考数学热点精准复习函数性质的综合问题目

录CONTENTS01关键能力精准突破

考点1

函数的奇偶性与单调性的综合

（精研通）【例1】

定义在R上的偶函数

f

（

x

）满足：在

x

∈[0，＋∞）上单调递减，则满足

f

（2

x

－1）＜

f

（1）的

x

的取值范围是（

）A.（－1，0）B.（－∞，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，0）D.（0，1）B

解析：因为

f

（

x

）为R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，所以

f

（

x

）

在（－∞，0）上单调递增，所以不等式

f

（2

x

－1）＜

f

（1）可整理为｜2

x

－1｜

＞1，解得

x

＜0或

x

＞1.故选B.

奇偶性与单调性综合的两种题型及解法（1）比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或

多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性

比较大小.（2）抽象不等式问题，解题步骤是：①将所给的不等式转化为两个函数值的大小

关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号

“

f

”，转化为解不等式（组）的问题.需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没

有符号“

f

”时，需转化为含符号“

f

”的形式，如0＝

f

（1），

f

（

x

－1）＜0，

则

f

（

x

－1）＜

f

（1）.

设函数

f

（

x

）是定义在R上的偶函数，当

x

≥0时，

f

（

x

）＝lg（3

x

＋1）－1，

则不等式

f

（

x

）＞0的解集为（

）A.（－3，0）∪（3，＋∞）B.（3，＋∞）C.（－3，3）D.（－∞，－3）∪（3，＋∞）D

解析：当

x

≥0时，由

f

（

x

）＝lg（3

x

＋1）－1＞0，得

x

＞3.又因为函数

f

（

x

）为偶函数，所以不等式

f

（

x

）＞0的解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）.

（2）设函数

f

（

x

）是定义在R上的奇函数，满足

f

（

x

＋1）＝－

f

（

x

－1），若

f

（－1）＞1，

f

（5）＝

a2－2

a

－4，则实数

a

的取值范围是（

）A.（－1，3）B.（－∞，－1）∪（3，＋∞）C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）A

解析：由

f

（

x

＋1）＝－

f

（

x

－1），可得

f

（

x

＋2）＝－

f

（

x

），则

f

（

x

＋4）＝

f

（

x

），故函数

f

（

x

）的周期为4，则

f

（5）＝

f

（1）＝

a2－2

a

－4，又

因为

f

（

x

）是定义在R上的奇函数，

f

（－1）＞1，所以

f

（1）＜－1，所以

a2－2

a

－4＜－1，解得－1＜

a

＜3.

函数奇偶性与周期性的综合问题多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，

将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解.

（多选）已知偶函数

f

（

x

）满足

f

（

x

）＋

f

（2－

x

）＝0，则下列说法正确的

是（

）A.函数

f

（

x

）是以2为周期的周期函数B.函数

f

（

x

）是以4为周期的周期函数C.函数

f

（

x

－1）为奇函数D.函数

f

（

x

－3）为偶函数

D

解析：因为

f

（

x

＋1）是奇函数，所以

f

（

x

）的图象关于点（1，0）中心对称，所以

f

（1）＝0.因为

f

（

x

＋2）是偶函数，所以

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝2对称，周期为4，所以

f

（0）＝－

f

（2）＝－4

a

－

b

，

f

（3）＝

f

（1），即

f

（1）－

f

（2）＝6，

f

（2）＝－6，

故当

x

∈[1，2]时，

f

（

x

）＝－2

x2＋2，

（2）已知定义在R上的奇函数

f

（

x

）满足

f

（

x

－4）＝－

f

（

x

），且在区间[0，

2]上是增函数，则（

）A.

f

（－25）＜

f

（11）＜

f

（80）B.

f

（80）＜

f

（11）＜

f

（－25）C.

f

（11）＜

f

（80）＜

f

（－25）D.

f

（－25）＜

f

（80）＜

f

（11）D

解析：∵

f

（

x

）满足

f

（

x

－4）＝－

f

（

x

），∴

f

（

x

－8）＝－

f

（

x

－4）＝

f

（

x

），∴函数

f

（

x

）是以8为周期的周期函数，则

f

（－25）＝

f

（－1），

f

（80）＝

f

（0），

f

（11）＝

f

（3）.由

f

（

x

）是定义在R上的奇函数，且满足

f

（

x

－4）＝－

f

（

x

），得

f

（11）＝

f

（3）＝－

f

（－1）＝

f

（1）.∵

f

（

x

）在区间[0，2]上是增函数，

f

（

x

）在R上是奇函数，∴

f

（

x

）在区间[－2，2]上是增函数，∴

f

（－1）＜

f

（0）＜

f

（1），即

f

（－25）＜

f

（80）＜

f

（11）.

对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的

奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变

化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的

单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.

1.（多选）已知

f

（

x

）的定义域为R，其函数图象关于直线

x

＝－3对称，且

f

（

x

＋3）＝

f

（

x

－3），若当

x

∈[0，3]时，

f

（

x

）＝4

x

＋2

x

－11，则下列结论正确

的是（

）A.

f

（

x

）为偶函数B.

f

（

x

）在[－6，－3]上单调递减C.

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝3对称D.

f

（100）＝9ACD

解析：

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝－3对称，则

f

（－

x

）＝

f

（

x

－6），

又

f

（

x

＋3）＝

f

（

x

－3），则

f

（

x

）的周期

T

＝6，∴

f

（－

x

）＝

f

（

x

－6）＝

f

（

x

），∴

f

（

x

）为偶函数，故A正确；当

x

∈[0，3]时，

f

（

x

）＝4

x

＋2

x

－11

单调递增，由

T

＝6，得

f

（

x

）在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确；

f

（

x

）

的图象关于直线

x

＝－3对称且

T

＝6，∴

f

（

x

）的图象关于直线

x

＝3对称，故C正

确；

f

（100）＝

f

（16×6＋4）＝

f

（4）＝

f

（－2）＝

f

（2）＝9，故D正确.2.已知

f

（

x

）是定义域为R的偶函数，

f

（1）＝0，

f

（5.5）＝2，

g

（

x

）＝（

x

－1）

f

（

x

）.若

g

（

x

＋1）是偶函数，则

g

（－0.5）＝（

）A.－3B.－2C.2D.3D

解析：

f

（

x

）是定义域为R的偶函数，可得

f

（－

x

）＝

f

（

x

）.若

g

（

x

＋1）

是偶函数，则

g

（－

x

＋1）＝

g

（

x

＋1），即－

xf

（－

x

＋1）＝

xf

（

x

＋1），即

有

f

（

x

＋1）＝－

f

（1－

x

），即有