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文档简介
2027届新高考数学热点精准复习利用导数研究函数零点问题目
录01关键能力精准突破
解：（1）
f
（
x
）＝e
x
－
ax
，其定义域为R，f'（
x
）＝e
x
－
a
，①当
a
≤0时，因为f'（
x
）＞0，所以
f
（
x
）在R上单调递增，②当
a
＞0时，令f'（
x
）＞0得
x
＞lna
，令f'（
x
）＜0得
x
＜lna
，所以
f
（
x
）在
（－∞，lna
）上单调递减，（lna
，＋∞）上单调递增，综上所述：当
a
≤0时，
f
（
x
）在R上单调递增；当
a
＞0时，
f
（
x
）在（－∞，ln
a
）上单调递减，（lna
，＋∞）上单调递增.
对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：（1）利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极
小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”；（2）分离参数，将问题转化为求直线
y
＝
a
与函数
y
＝
f
（
x
）的图象交点个数问
题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”.
又φ（0）＝0，则结合
y
＝φ（
x
）的大致图象（如图）可知，
（2）若曲线
y
＝
f
（
x
）与直线
y
＝1有且仅有两个交点，求
a
的取值范围.
根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数的单
调性确定函数图象与
x
轴的交点个数，或两个相关函数图象的交点个数确定参数满
足的条件，“先形后数”求得参数的取值范围.
已知函数
f
（
x
）＝e2
x
＋（1－2
a
）e
x
－
ax
（
a
∈R）.（1）讨论
f
（
x
）的单调性；（2）若
f
（
x
）在定义域内至多有一个零点，求
a
的取值范围.解：（1）由题意，函数
f
（
x
）的定义域为R，f'（
x
）＝2e2
x
＋（1－2
a
）e
x
－
a
＝（2e
x
＋1）（e
x
－
a
）.当
a
≤0时，f'（
x
）＞0，
f
（
x
）在R上为增函数；当
a
＞0时，令f'（
x
）＝0，即e
x
－
a
＝0，解得
x
＝lna
，当
x
∈（－∞，lna
）时，f'（
x
）＜0，
f
（
x
）在（－∞，lna
）上为减函数，当
x
∈（lna
，＋∞）时，f'（
x
）＞0，
f
（
x
）在（lna
，＋∞）上为增函数.综上，当
a
≤0时，
f
（
x
）在R上为增函数；当
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