2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+课件+第四章+　等比数列的前n项和公式

4.3.2等比数列的前n项和公式第一课时等比数列的前n项和公式[目标导航]课标要求1.掌握等比数列的前n项和公式,了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算及解决简单的实际问题3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用新知导学·素养启迪新知梳理1.等比数列的前n项和公式2.等比数列前n项和的性质(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不为0,q≠-1),公比为qn.(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)⇔数列{an}为等比数列.对等比数列前n项和公式的几点说明(3)推导等比数列前n项和的方法称为错位相减法,是数列求和的一种重要方法,注意体会其应用过程.小试身手1.等比数列{an}中,a1=2,a2=1,则S100=

.

4-2-982.设等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),首项a1=3,公比q=2,则a4=

;S3=

.

24213.在明朝程大位著的《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远望巍巍塔七层,红光点七倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”这首歌谣翻译为“宝塔一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的

2倍,共有381盏灯,问塔尖那层有几盏灯”?根据上述条件,从上往下数第二层有

盏灯.

6课堂探究·素养培育[例1]

在等比数列{an}中,(1)S2=30,S3=155,求Sn;等比数列基本量的计算(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.即时训练1-1:(1)已知等比数列{an}的前n项和是Sn,若3a1+2a2=4,9S3=8S6,则S5=(

)C(2)(2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为

.

2法二设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68,设{an}的公比为q,所以S4=a1+a2+a3+a4=4,S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68,所以4(1+q4)=68,则1+q4=17,解得q=±2,因为各项均为正数,故q>0,所以该等比数列的公比为2.(1)在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(2)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.等比数列的前n项和的性质[例2]

(1)在等比数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,S2=3,S4=9,则S6等于(

)A.12

B.18

C.21

D.27解析:(1)设数列{an}的公比为q,因为S2=3,S4=9,所以S4-S2=6,q≠-1,所以S2,S4-S2,S6-S4构成以S2为首项,2为公比的等比数列,所以62=3(S6-9),所以S6=12+9=21.故选C.C(2)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=

.

280(2)等比数列{an}的前n项和Sn=48,前2n项和S2n=60,则前3n项和S3n=

.

63(3)一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求数列的通项公式.等比数列前n项和的重要性质(1)等比数列{an}的前n项和Sn,满足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不为0,q≠-1),这一性质可直接应用.等比数列前n项和公式的实际应用[例3]

某家庭打算以一年定期的方式存款,计划从2022年起,每年年初到银行新存入a元,年利率p保持不变,到2032年年初将所有存款和利息全部取出,共取回多少元?即时训练3-1:一个热气球在第一分钟上升了25

m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球上升的高度能超过125米吗?探究点三函数零点个数问题解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求:①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题或是等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题,是求an还是求Sn.特别要注意准确弄清项数是多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.当堂即练·素养达成A

1.已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=2,则S5等于(

)A.93

B.-93C.45

D.-45当堂即练2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a3=5,a2+a4=10,则S5等于(

)A.15

B.16C.31

D.32C3.在等比数列{an}中,a1=1,a4=8,则{an}的公比为

,{an}的前6项和为

.

2631.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”.借助等比数列前n项和基本量的运算及实际应用,达成了培养数学运算、数学建模素养的目的.2.前n项和公式的应用中,注意前n项和公