2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册+第八章+　列联表与独立性检验

8.3列联表与独立性检验[目标导航]课标要求1.通过典型案例的探究,了解独立性检验的基本思想2.会对两个分类变量进行独立性检验,明确独立性检验的基本步骤,并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题新知导学·素养启迪新知梳理1.分类变量与列联表(1)分类变量:使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用

表示.(2)2×2列联表.①定义:列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.实数②一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{0,1},其样本频数列联表为XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数.最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数.右下角格中的数是样本容量.2.等高堆积条形图(1)等高堆积条形图与表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响.常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.3.独立性检验(1)零假设或原假设:(2)临界值:对于任何小概率值α,可以找到相应的正实数xα,使P(χ2≥xα)=α.称xα为α的临界值.临界值可作为判断χ2大小的标准.概率值α越小,临界值xα越大.(3)基于小概率值α的检验规则:当

χ2≥xα时,推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当

χ2<xα时,没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立.利用

χ2

的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为

χ2

独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.(4)

χ2

独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值如下表.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828小试身手1.判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中,最为精确的是(

)A.2×2列联表

B.独立性检验C.等高条形图

D.其他B解析:A,C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关,但看不出相关的程度.独立性检验通过计算得出相关的可能性,较为准确.故选B.C2.如表所示是一个2×2列联表,则表中a,b的值分别为(

)XY合计y1y2x1a2173x2222547合计b46120A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52解析:a=73-21=52,b=a+22=52+22=74.3.为考察某种新型流感疫苗对该流感的预防作用,把1

000名注射疫苗的人与另外

1

000名未注射疫苗的人半年的感冒记录做比较,提出假设H0:“这种疫苗不能起到预防该流感的作用”,并计算得χ2≈6.74,经查临界值表知P(χ2≥6.635)≈0.01,则下列说法正确的是(

)A.依据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为“这种疫苗能起到预防该流感的作用”B.若某人未使用疫苗,则他在半年中有99%的可能性得该流感C.这种疫苗能预防该流感的有效率为99%D.这种疫苗能预防该流感的有效率为1%”A解析:因为χ2≈6.74,P(χ2≥6.635)≈0.01,所以依据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为“这种疫苗能起到预防该流感的作用”.故选A.课堂探究·素养培育[例1]

某学校对高三学生做了一项调查,发现在平时的模拟考试中,性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张,性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张.作出等高堆积条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系.列联表和等高堆积条形图的应用解:列出列联表如下.单位:人考前心情性格合计内向外向紧张332213545不紧张94381475合计4265941020相应的等高堆积条形图如图所示.图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张的学生中性格内向的学生的比例.从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高,可以认为考前心情紧张与性格类型有关.即时训练1-1:观察下列各图,其中两个分类变量x,y之间关系最强的是(

)D解析:在四幅图中,D图中两个深色条的高相差最明显,说明两个分类变量之间关系最强.故选D.独立性检验应用[例2]

某篮球职业联赛,分为常规赛和季后赛.由于某种原因,今年联赛采用赛会制:所有球队集中在同一个地方比赛,分两个阶段进行,每个阶段采用循环赛,分主场比赛和客场比赛,积分排名前8的球队进入季后赛.下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.单位:场阶段比赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数第一阶段30152010第二阶段30152515(1)根据表中数据,完成下面2×2列联表:单位:场场地A队合计胜负主场5客场20合计60解:(1)根据表格信息得到列联表:单位:场场地A队合计胜负主场25530客场201030合计451560α0.10.050.01xα2.7063.8416.635(1)两个明确:①明确两类主体.②明确研究的两个问题.(2)两个关键:①准确列出2×2列联表.②准确理解χ2.即时训练2-1:某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如表所示:对“大数据”感兴趣的程度专业统计专业非统计专业兴趣高1510兴趣低5208.3330.005当堂即练·素养达成当堂即练1.某公司为了解不同年龄段消费者对旗下两款产品的选择偏好,对部分消费者进行了抽样调查,制作出如下两个等高堆积条形图.根据条形图信息,下列结论正确的是(

)A.样本中选择产品A意愿的青年消费者人数少于选择产品B意愿的中年消费者人数B.样本中中年消费者选择产品B意愿的人数多于青年消费者选择产品B意愿的人数C.样本中选择产品A意愿的人数较多D.样本中青年消费者人数少于中年消费者人数C解析:根据等高堆积条形图图(1)可知样本中选择产品A意愿的人数较多,故C正确;根据等高堆积条形图图(2)可知样本中青年消费者人数多于中年消费者人数,故D错误;样本中选择产品A意愿的人数多于选择产品B意愿的人数,而选择产品A意愿的青年消费者比例高,选择产品B意愿的中年消费者比例低,所以样本中选择产品A意愿的青年消费者人数多于选择产品B意愿的中年消费者人数,故A错误;样本中中年消费者选择产品B意愿的人数少于青年消费者选择产品B意愿的人数,故B错误.故选C.2.如表是一个2×2列联表,52,60项目y1y2合计x1a2173x282533合计b46106则表中a,b处的值分别为

.

解析:因为a+21=73,所以a=52,所以b=a+8=52+8=60.3.某销售部门为了研究具有相关经验和能按时完成销售任务的关系,对本部门200名销售人员进行调查,整理数据得到2×2列联表如下.0.005是否具有相关经验能否按时完成