2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册+充要条件

1.4.2充要条件核心知识目标核心素养目标1.理解充要条件的意义2.会判断一些简单的充要条件问题3.能对充要条件进行证明1.通过对充要条件的意义的理解与学习,发展数学抽象的核心素养2.通过对充要条件的判断与证明,增强逻辑推理、数学抽象的核心素养知识探究·素养启迪情境导入如图是一物理电路图.探究1:图中开关A闭合,灯泡B亮;反之灯泡B亮,开关A一定闭合吗?提示:一定闭合.探究2:开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B亮作为命题的结论q,你能判断p,q之间的推出关系吗?提示:p⇔q.知识探究充要条件[问题]下列“若p,则q”的命题,p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?(1)p:整数x是6的倍数,q:整数x是2和3的倍数;(2)p:两直线平行,q:同位角相等;(3)p:a>b,q:a+c>b+c.提示:第(1)(2)(3)问都有,p⇒q,故p是q的充分条件,又q⇒p,故p也是q的必要条件.梳理充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p是q的

条件,也是q的

条件,我们说p是q的

条件,简称为

条件.充分必要充分必要充要小试身手1.“△ABC是有一个角为60°的等腰三角形”,是“△ABC是正三角形”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件C解析:由△ABC是正三角形的定义可知,“△ABC是有一个角为60°的等腰三角形”是“△ABC是正三角形”的充要条件.故选C.2.命题“实数的平方是非负数”的逆命题是

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解析:“实数的平方是非负数”可以写为“若一个数是实数,则它的平方是非负数”,因此其逆命题是:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.若一个数的平方是非负数,则3.一次函数y=kx+b(k≠0)过原点的充要条件是

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b=0这个数是实数充要课堂探究·素养培育[例1]判断下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).(1)p:|x|=|y|,q:x3=y3.充分条件、必要条件、充要条件的判断解:(1)因为|x|=|y|时,x=±y,不一定有x3=y3,而x3=y3时一定有x=y,必有|x|=|y|,所以p是q的必要不充分条件.(2)p:△ABC中,AB>AC,q:△ABC中,∠C>∠B.解:(2)由三角形中“大边对大角,大角对大边”的性质可知p是q的充要条件.(3)p:A⊆B,q:A∪B=B.解:(3)若A⊆B,则一定有A∪B=B,反之,若A∪B=B,则一定有A⊆B,故p是q的充要条件.(4)p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等.解:(4)若两三角形全等,则面积一定相等,若两三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可),却不一定有两三角形全等,故p是q的充分不必要条件.即时训练1-1:判断下列各题中,p是q的什么条件.(1)p:四边形对角线相等,q:四边形是平行四边形.解:(1)四边形的对角线相等,不一定是平行四边形(如等腰梯形),而平行四边形的对角线不一定相等.因此p是q的既不充分又不必要条件.(2)p:二次方程ax2+bx+c=0有实根,q:ac<0.解:(2)若二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac>0,此时不一定有ac<0,反之,若ac<0,则必有b2-4ac>0,即二次方程ax2+bx+c=0一定有实根,故p是q的必要不充分条件.(3)p:x2+y2=0,q:xy=0.解:(3)若x2+y2=0,则x=y=0,此时必有xy=0,反之,却不一定成立,如x=0,y=2满足xy=0但x2+y2≠0,因此p是q的充分不必要条件.(4)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA.解:(4)若A∩B=A,则A⊆B,此时必有∁UB⊆∁UA,反之成立,因此p是q的充要条件.判断充分必要条件的步骤(1)分清条件p和结论q:分清哪个是条件,哪个是结论.(2)判断推式的真假:判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假.(3)下结论:根据定义下结论.充要条件的证明[例2]求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).证明:充分性:因为a+b=-(c+d),所以a+b+c+d=0,所以a×13+b×12+c×1+d=0成立,故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根.必要性:因为关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1,所以a+b+c+d=0,所以a+b=-(c+d)成立.故方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).即时训练2-1:已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.[提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)]必要性(q⇒p):因为a+b=1,所以b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.综上所述,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.证明p是q的充要条件分两步:一是充分性,将p当作已知条件,结合命题的前提条件,推证q;二是必要性,将q当作已知条件,结合命题的前提条件,推证p.利用充要条件求参数[例3]求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的实数根的总和为2的充要条件.即时训练3-1:函数y=x2-2x-a的图象与x轴无交点的充要条件是

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解析:由题意得Δ=4+4a<0,即a<-1.a<-1充要条件是一种等价转化,解决问题的关键就是找到原问题的充要条件.C解析:y=x2-2mx+1的对称轴方程是x=m,所以m=5.选C.2.a,b中至少有一个不为零的充要条件是(

)A.ab=0 B.ab>0C.a2+b2=0 D.a2+b2>0D解析:a2+b2>0,则a,b不同时为零,且至少有一个不为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.选D.3.已知p:{x|-2≤x≤10},q:{x|4-m≤x≤4+m,m>0},若p是q