2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册+集合间的基本关系

1.2集合间的基本关系核心知识目标核心素养目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集2.在具体情境中,了解空集的含义3.会判断集合间的基本关系4.能使用Venn图表达集合间的基本关系1.通过对集合间基本关系的学习,培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养2.通过Venn图的应用,发展直观想象的核心素养知识探究·素养启迪知识探究1.子集的概念[问题1]下面给出的两对集合,集合A中的元素都是集合B中的元素吗?(1)A={0,1,2},B={0,1,2,3};(2)A={x|x<-1},B={x|x<1}.提示:(1)是.

(2)是.梳理1子集(1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中

元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集.(2)符号表示:A⊆B(或B⊇A),读作“A

B”(或“B

A”).(3)Venn图表示:(4)性质①任何一个集合都是它本身的子集,即

.②对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A

C.任意一个包含于包含A⊆A⊆2.集合的相等实例观察下面两个例子:(1)设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};(2)C={1,5,6},D={6,5,1}.[问题2-1]你能发现两个集合间有什么关系吗?提示:(1)(2)中集合C,D的元素相同,即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素,同时,集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.[问题2-2]与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比,在集合中,你能得出什么结论?提示:若两个集合互为子集,则这两个集合相等.梳理2集合相等(1)定义:一般地,如果集合A的

元素都是集合B的元素,同时集合B的

元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B

.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则

.(2)符号表示:A=B.(3)Venn图表示:(4)性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A

C.任何一个任何一个相等A=B=3.真子集的概念[问题3]对于“问题1”中给出的两对集合,集合B中的元素都是集合A中的元素吗?提示:不全是.梳理3真子集(1)定义:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)符号表示:A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).(3)Venn图表示:(4)性质:对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A

C.⫋4.空集[问题4]集合A={x|x<-1且x>3}中有多少个元素?提示:0个.梳理4空集(1)定义:

的集合叫做空集.(2)符号表示:

.(3)规定:空集是任何集合的

,是任何非空集合的

.不含任何元素⌀子集真子集小试身手1.下列选项正确的是(

)A.0∈⌀ B.⌀∈{0}C.{0}⊆⌀ D.⌀⊆{0}D解析:⌀是不含任何元素的集合,所以0∉⌀,⌀⊆{0}.故选D.2.集合{x|x=1}的子集有

个.

23.用“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“=”填空:(1)5

{5};

(2){a,b,c}

{a,c};

(3){1,2,3}

{3,2,1};

(4)⌀

{0}.

∈⫌=⫋4.集合A={x|x=3m-1,m∈N}和B={x|x=3m+2,m∈N}之间的关系是

.

解析:由A={-1,2,5,8,…},B={2,5,8,…},知B⫋A.B⫋A课堂探究·素养培育探究角度1

子集的列举、子集个数[例1]已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2<x<2且x∈Z}.(1)写出集合M的子集、真子集;子集与真子集的概念解:M={x|x<2且x∈N}={0,1},N={x|-2<x<2,且x∈Z}={-1,0,1}.(1)M的子集为⌀,{0},{1},{0,1};其中真子集为⌀,{0},{1}.(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.解:(2)N的子集为⌀,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}.所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6.即时训练1-1:已知集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况.解:由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下.含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};含有5个元素:{1,2,3,4,5}.故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

(1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.(2)n个元素的集合,其子集、真子集的个数讨论:①⌀的子集只有1个.②{a}的子集有2个.③{a,b}的子集有4个.写一个集合的子集时,不要忘记⌀和其本身.④{a,b,c}的子集有8个.……含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.解:(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A⫋B.探究角度2

集合间关系的判断[例2]写出下列各对集合之间的关系:(1)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0};解:(2)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…},B={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,…},故A⫋B.(2)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z};即时训练2-1:写出下列各对集合之间的关系.(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};解:(1)因为x=2k-1,k∈Z和x=2m+1,m∈Z,且2k-1和2m+1都能被2除余1,都是奇数,所以A,B都是由奇数构成的集合,即A=B.(2)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*};解:(2)因为A={x|x=2n-1,n∈N*}={1,3,5,…},B={x|x=2n+1,n∈N*}={3,5,7,…},所以B⫋A.(3)A={x|-1≤x<3},B={x|x-2≤1};解:(3)因为A={x|-1≤x<3},B={x|x-2≤1}={x|x≤3},所以A⫋B.(4)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}.解:(4)因为等边三角形必是等腰三角形,腰与底边不等的等腰三角形不是等边三角形,所以A⫋B.判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系,然后根据以下方法判断:(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是,则A⊆B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系.(2)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系.(3)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.(4)对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.集合相等[例3]已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},若A⊆B,且B⊆A,求实数a,b的值.根据集合相等求参数,首先分析一个集合中的元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.根据集合间的关系求参数值或取值范围探究角度1求参数值[例4]集合A={x|x2=4,x∈R},集合B={x|kx=4,x∈R},若B⊆A,则实数k=

.

解析:A={x|x2=4,x∈R}={-2,2}.因为B⊆A,所以B=⌀,B={2},B={-2},B={-2,2}.因为方程kx=4最多有一个实数根或无根,因此分类讨论如下:当B=⌀时,方程kx=4无实根,所以k=0;0,2,-2当B={2}时,则2是方程kx=4的实根,故2k=4⇒k=2;当B={-2}时,则-2是方程kx=4的实根,故-2k=4⇒k=-2.综上可知实数k=0,2,-2.B对于两个集合是用列举法或描述法(元素个数有限)表示的集合间的关系,常转化为方程(组)求解,注意所求参数要满足集合中元素的互异性,若含参数的集合是一个给定集合的子集时,还要注意空集是任何集合子集的特殊情况,如本例中k=0,若忽视,则漏解.探究角度2求参数范围[例5](1)已知集合A={x|x2-7x+12=0},集合B={x|3kx+4=0},B⫋A,求k的取值集合;(2)已知M={x|2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a-1},若N⊆M,求实数a的取值范围.即时训练5-1:已知集合A={x|-1<x<2},B={x|2m-5<x<-m+3}.(1)若A⊆B,求m的取值范围;(2)若B⫋A,求m的取值范围.由含参数的连续数集之间的子集、真子集关系求参数取值范围时常利用数轴法求解,若含参数的集合是确定集合的子集或真子集时,应考虑该集合为空集的特殊情况,并且要注意验证参数的端点值是否满足题意.1.已知全集U=R,则能表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0