暑期新初二数学讲义第六讲多边形及其内角和

同学们，我们已经学习了三角形这种最基本的平面图形。在我们的生活中，还有许多由更多线段围成的图形，比如教室的地面、黑板、我们用的课本封面等等，它们都给我们以多边形的形象。今天，我们就来深入研究多边形，特别是它的内角和规律。一、多边形的基本概念首先，我们来明确什么是多边形。在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。比如，三角形是由3条线段组成的，叫做三边形（通常我们更习惯叫三角形）；由4条线段组成的叫做四边形，依此类推。构成多边形的元素：*边：组成多边形的每一条线段叫做多边形的边。*顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。*内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。*外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。我们今后研究的多边形，除非特别说明，一般都是指凸多边形。那么什么是凸多边形呢？把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就叫做凸多边形。简单来说，凸多边形的每个内角都小于180度，整个图形看起来是“凸”出来的，没有“凹陷”的部分。二、多边形的内角和我们知道，三角形的内角和是180度，这是我们已经掌握的基础知识。那么，四边形、五边形、六边形……它们的内角和又是多少呢？我们能不能找到一个通用的规律来计算任意n边形的内角和呢？（一）探究四边形的内角和我们已经知道三角形内角和是180度。那么四边形呢？我们能不能想办法把四边形和三角形联系起来？方法一：分割法在四边形内部任取一点，然后将这个点与四边形的各个顶点连接起来。这样，四边形就被分成了4个三角形。这4个三角形的内角和总和是4×180°。但是，我们注意到，在这个点处，4个三角形的内角组成了一个周角，也就是360°，这部分并不是四边形的内角。所以，四边形的内角和应该是4×180°-360°=360°。方法二：顶点连线法（对角线）我们也可以在四边形的一个顶点出发，连接不相邻的另一个顶点，这样就得到了一条对角线。这条对角线把四边形分成了2个三角形。这两个三角形的内角和之和就是四边形的内角和，即2×180°=360°。显然，第二种方法更为简便。通过两种方法，我们都得到了四边形的内角和是360度。（二）探究五边形、六边形的内角和我们用第二种方法（顶点连线法）来继续探究。*五边形：从一个顶点出发，可以引出几条对角线呢？我们发现，可以引出2条对角线，它们将五边形分成了3个三角形。因此，五边形的内角和就是3×180°=540°。*六边形：从一个顶点出发，可以引出3条对角线，它们将六边形分成了4个三角形。因此，六边形的内角和就是4×180°=720°。（三）归纳n边形的内角和公式我们来列表总结一下：多边形的边数从一个顶点出发引对角线的条数分成三角形的个数内角和:-----------:---------------------------:---------------:-----3（三角形）011×180°4（四边形）122×180°5（五边形）233×180°6（六边形）344×180°............n？？？同学们，仔细观察表格，你们能发现规律吗？*从一个顶点出发引对角线的条数：对于n边形，除了这个顶点本身以及与它相邻的两个顶点，剩下的顶点有(n-3)个，所以可以引出(n-3)条对角线。*分成三角形的个数：这些对角线将n边形分成了多少个三角形呢？我们看到，三角形是1个，四边形是2个，五边形是3个，六边形是4个……所以，n边形就是(n-2)个三角形。因此，n边形的内角和就等于这(n-2)个三角形的内角和之和。结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°。(n为大于或等于3的整数)这个公式非常重要，它是我们解决多边形内角和问题的基础。我们一定要理解它的推导过程，而不是死记硬背。三、多边形的外角和除了内角，多边形还有外角。什么是多边形的外角呢？我们把多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。在多边形的每个顶点处，有两个外角，它们是对顶角，大小相等。我们通常所说的多边形的外角和，是指在每个顶点处取一个外角，然后把这些外角的度数相加。那么，多边形的外角和是多少呢？是不是也像内角和一样，与边数n有关呢？我们先来看几个特殊的多边形：*三角形：我们知道，三角形的外角和是360°。这是我们之前学过的知识，三角形的每个外角等于与它不相邻的两个内角之和，三个外角加起来，正好是两个内角和，即2×180°=360°。*四边形：我们来推导一下。四边形的内角和是(4-2)×180°=360°。在每个顶点处，内角与外角互为邻补角，即它们的和是180°。所以，四边形四个内角与四个外角的总和是4×180°=720°。因此，四边形的外角和=720°-内角和=720°-360°=360°。咦，也是360°！我们再试试五边形。*五边形：内角和是(5-2)×180°=540°。五个内角与五个外角的总和是5×180°=900°。所以，五边形的外角和=900°-540°=360°。还是360°！这太神奇了！难道任意多边形的外角和都是360°吗？推导：对于n边形，每个顶点处的内角与外角之和为180°，因此n个顶点处的内角与外角总和为n×180°。n边形的内角和为(n-2)×180°。所以，n边形的外角和=n×180°-(n-2)×180°=[n-(n-2)]×180°=2×180°=360°。结论：任意多边形的外角和都等于360°。这个结论非常简洁，也非常重要，它与多边形的边数无关！四、例题精讲与应用掌握了多边形的内角和与外角和公式，我们就可以解决很多相关的问题了。例1：求十边形的内角和。分析：直接应用n边形内角和公式(n-2)×180°。解：十边形的内角和为(10-2)×180°=8×180°=1440°。答：十边形的内角和是1440°。例2：一个多边形的内角和是1080°，它是几边形？分析：这是内角和公式的逆应用。我们可以设这个多边形是n边形，然后根据内角和公式列出方程求解。解：设这个多边形是n边形，根据题意得：(n-2)×180°=1080°n-2=1080°÷180°n-2=6n=8答：这个多边形是八边形。例3：已知一个多边形，它的每个内角都等于135°，求它的边数。分析：方法一：可以利用内角和公式。每个内角135°，n个内角就是135°n，等于(n-2)×180°。方法二：也可以利用外角和。每个内角135°，那么每个外角就是180°-135°=45°。因为外角和是360°，所以边数n=360°÷45°=8。显然方法二更简便。解：因为多边形的每个内角是135°，所以每个外角是180°-135°=45°。又因为多边形外角和为360°，所以边数n=360°÷45°=8。答：这个多边形是八边形。例4：在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？分析：我们知道，锐角是小于90°的角。如果一个内角是锐角，那么与它相邻的外角就是钝角（大于90°）。因为多边形的外角和是360°，如果有太多的钝角外角，它们的和就会超过360°。解：假设多边形有k个内角是锐角，则这k个内角对应的外角都是钝角（大于90°）。剩下的(n-k)个外角是直角或锐角（因为对应的内角是钝角或直角）。由于多边形外角和为360°，那么k个钝角外角之和一定小于360°。因为每个钝角都大于90°，如果k=4，那么4个钝角之和就会大于4×90°=360°，这与外角和360°矛盾。所以k最大只能是3。答：一个多边形的内角最多可以有3个是锐角。五、课堂小结与思考这一讲我们学习了多边形的基本概念，重点探究了多边形的内角和与外角和公式。*n边形内角和公式：(n-2)×180°(n≥3)*多边形外角和公式：360°(任意多边形)这些公式的推导过程运用了“转化”的数学思想，特别是将多边形转化为我们熟悉的三角形来研究，这种思想方法在数学学习中非常重要。我们不仅要记住公式，更要理解公式的来源，并能灵活运用它们解决实际问题。比如已知边数求内角和，已知内角和求边数，或者结合内角与外角的关系解决问题。思考：1.一个多边形的边数增加1，它的内角和增加多少度？外角和呢？2.你能利用多边形外角和为360°这个结论，推导正n边形的每个外角的度数吗？进而推导出每个内角的度数？希望同学们课后能多做练习，巩固所学知识，真正做到学以