材料力学（II） 课件 第5-7章 应变分析 电阻应变计法基础- 材料力学性能的进一步研究

1第5章应变分析·电阻应变计法基础§5-1概述§5-2平面应力状态下的应变分析§5-3电阻应变计法的基本原理§5-4应变的测量和应力的计算2§5-1概述

用电测法只能测定构件表面的线应变，应力是根据应变值由胡克定律求出的。所以我们首先研究平面应力状态下的应变分析，然后研究电阻应变片的原理及其应用。

对复杂结构进行应力分析时往往采用理论分析和实验应力分析相结合的方法。

实验应力分析的方法，主要有电阻应变计法（电测法）和光弹性法（光测法），本章仅研究电测法。3§5-2平面应力状态下的应变分析

本节研究平面应力状态下，一点处在该平面内的应变随方向而改变的规律。Ⅰ.任意方向的应变

设在平面应力状态下的平面内，过O点处有两组坐标系xOy和x

Oy

，a角以逆时针旋转为正，如图a所示。4

已知：O点处在xOy坐标系内的应变ex、

ey

、

gxy。求：O点处沿x'方向的线应变ea

及在坐标系x'Oy'内的切应变ga(即直角∠x

Oy

的改变量)例题5-15解:(1)

求ea在图b,c,d中，(a)例题5-1

在线弹性范围内，可用叠加法进行计算。61.

只有正值ex(图b)，设不动，矩形OAPB→OA'P'B,的伸长量为(b)O点沿x

方向的线应变为(c)例题5-172.只有正值ey(图c)，的伸长量为(d)沿x'方向的线应变为(e)例题5-183.只有正值gxy(图d)，的伸长量为(f)沿x'

方向的线应变为(g)例题5-19在ex、ey、

gxy

同时存在时，沿x'方向的线应变为或写成(5-1a)(5-1b)例题5-110(2)求ga

ga

为直角∠x'Oy'的改变量，并设第一象限的直角减小为正，设x'和y'的转角分别为ya和ja（图e）,则

由图b、c、d可见，在ex、

ey、gxy同时存在时x′()的转角为例题5-111(h)式中第二项为负，是因为仅由ey产生的转角为逆时针转(图c)。y'()的转角ja可用求x'的转角ya相同的方法，用几何作图求得，图(f)示出了仅有ex时()的转角

a1

。注意到y'和x轴的夹角(a

+p/2)，把(h)式中的a用(a

+p/2)来代替求出ja更为方便。其值为(i)例题5-112在x'Oy'坐标系内的切应变为或写作(i)(5-2)例题5-113(5-2)

当已知ex、

e

y、gxy时，由(5-1)式求任意方向上的线应变，由(5-2)式求切应变。例题5-114Ⅱ.应变圆材料力学(Ⅰ)的第七章曾得到(7-1)(7-2)该两式表示平面应力状态下，一点处的应力状态。也可以用应力圆表示平面应力状态下一点处的应力状态。15将式(7-1)、(7-2)和(5-1)(5-2)对比后可知，两组公式相似，对应关系为16只需以为e横坐标，以g/2为纵坐标（向下为正），即可作出应变圆。已知：作出应变圆如图所示。应变圆中半径为17III.主应变的数值和方向由应变圆可见，主应变为(5-3)(2)沿各主应力方向的线应变称为主应变，依次用e1、e2、e3

表示，且(1)主平面——

主应力——切应力等于零的平面。主平面上的正应力。18(5-4)

x轴和e1方向的夹角a0为(5-5)由于所以2a0为正()。借助应变圆，判断主应变方向更为直观。将(5-3)、(5-4)和(5-5)与材料力学(Ⅰ)中的(7-3)19(7-4)(7-5)比较后可知，若ex以代换sx，ey代换sy，－gxy/2代换tx，则由材料力学(Ⅰ)的(7-3)、(7-4)、(7-5)，可直接得(5-3)、(5-4)和(5-5)式。20

已知，ex=345×10－6，e45°=208×10－6,ey=−149×10－6。试用应变圆求主应变的数值和方向。0200100（×10－6）例题5-221解:(1)已知ex、e

y、gxy

，画应变圆

按选定的比例尺，由（ex、gxy/2），即（345×10-6，110×10-6）确定A点。例题5-222由（ey、-gxy/2）即（-149×10-6、-110×10-6）确定C点，连接C、A两点的直线，其交e

轴于O1

；以O1为圆心，

为半径画圆，此圆即为所求的应变圆。由逆时针转90°至B1点，B1(e

45°、-gxy/2),过B1作g

/2轴的平行线交应变圆与B点；可知：∠ABB1=45°,∠CBB1=45°，(同弧的圆周角等于其圆心角的一半)。O1点为和的垂直平分线之交点。90°90°45°45°A(345,110)×10–6O1O

(-149,-110)×10–6CBg/2eB1(b)例题5-22390°90°45°45°A(345,110)×10–6O1O

(-149,-110)×10–6CBg/2eB1(b)

这种方法画应变圆和已知sx、sy、tx画应力圆的方法类似，容易接受，在明确了应变圆的几何关系后，再由ex、ey

、e45°

画应变圆，就便于理解。例题5-224(2)已知ex、e

y、e45°用应变圆求主应变。1.按比例尺，由ex、e45°、ey之值分别作平行于g

/2轴的直线La、Lb、Lc。

因为gxy未知，无法直接确定A和C点，根据应变圆的几何关系，作图方法为2.在Lb上任取一点B，过B点分别作与Lb各成45°角的线段BA、BC，分别交La、Lc于A、C两点。(c)例题5-225(c)以O1为圆心，以为半径画圆。A、B、C点的横坐标，分别代表ex、e45°、

ey。分别代表主应变e1和e3，角a0为e1和x轴的夹角。在应变圆上用比例尺量得3.作，的垂直平分线，它们交于O1点，O1为应变圆的圆心，过O1点作g

/2轴的垂线，该线为e

轴。例题5-226§5-3电阻应变计法的基本原理I.电阻应变片

图a为丝绕式应变片，用j=0.02~0.05mm的康铜丝或镍铬丝绕成栅状，并把金属栅粘固于两层绝缘的薄纸（或塑料薄膜）之间，丝栅两端用直径为0.2mm左右的镀银铜丝作引线。l为基线长度（标距），a为宽度。图b为泊式应变片。图c为半导体式应变片。27

将应变片贴在被测构件的测点处，使其随同构件一起变形。应变片产生变形的同时，其电阻也要发生改变。当应变在一定范围内时，电阻的改变率DR/R与弹性线应变Dl/l之比为一常数，即(5-7)

以电阻应变片为转换器，把非电量线应变的测量转换成电阻改变率DR/R的测量。测出DR/R后，由算出线应变。

式中，e为标距范围内的平均线应变。常数K称为材料的灵敏因数。R为应变片的电阻，DR为电阻的改变量。28

由于DR很小，必须用由电桥和放大器等组成的电阻应变仪进行测量。(1)惠斯顿电桥原理II.测量原理及电阻应变仪图中输入电压为UAC，输出电压为UBD

。UBD=UAB-UAD=Ⅰ1R1-Ⅰ4R4由于得(5-8)29当UBD

=0，即电桥平衡时，得R1R3-R2R4

=0(5-9)(2)电阻应变仪

电阻应变仪主要由测量电桥和读数电桥组成，如图所示。读数电桥由精密的可变电阻组成，用旋钮来调节电阻。

设测量电桥的四个桥臂上的电阻均为贴于构件上的电阻应变片，且其初始电阻相等，即R1=R2=R3=R4=R30构件受力前，调节读数电桥的旋钮使输出总电压U=UBD+U'BD=0UBD,U'BD为测量电桥和读数电桥的输出电压。

构件受力后，各电阻变为R1＋DR1，R2＋DR2，R3＋DR3，

R4＋DR4。代入（5-8）式，并注意到(DR/R)<<1，可得测量电桥输出的不平衡电压为31把代入后，得该电压经放大后使指示仪的指针偏转。

调节读数电桥的旋钮，使其输出一个与UBD等值反向的不平衡电压U

BD

使输出的总电压U=0，指示仪的指针恢复到零位。设旋钮的旋量为eR，eR与读数电桥的输出电压成正比，即(5-10)U'BD

=AeR令32设计旋钮刻度，使，可得此即为旋钮读数与测量电桥4个应变片的线应变之间的关系。(5-11)III.应变测量中的一些问题1.半桥接线法：测量电桥的R1和R2两臂接上应变片，R3和R4为电阻应变仪内的标准电阻，该两电阻不随构件一起变形，即e3=e4＝0,(1)测量电桥的接线e

R=e1-e2则332.全桥接线法：测量电桥的四个桥臂上均接上应变片。两种接线法的应用见§5-4。(2)温度补偿

应变片的电阻值随温度而改变，另外，应变片和构件的线膨胀系数不同也要引起应变片电阻的改变。于是测量的应变值中包含温度变化的影响，导致测量误差。采用温度补偿，消除温度的影响。34则

图a中，R1为工作片，R2为温度补偿片，R2贴在与构件相同的材料上，并置于与构件相同的温度环境中，把R1，R2分别接在电桥相邻桥臂AB和BC上，设R1和R2由力F及温度产生的线应变分别为e1F，e1t，e2t。35图b中，(3)灵敏因数调整器的使用

式中，n为构件材料的泊松比。这种不单独设补偿片，而消除温度影响的方法，称为自动补偿。因为，从而提高了测量的灵敏度。36由于式中，K为应变片的灵敏因数值，e为实际应变值，eR

为应变仪的读数值。

在同次试验中，应选用K值相同的应变片，并把灵敏因数调整器的指针对准应变片的K值。这样才有eR=e1+e3-e2-e4。若应变片的K值超过灵敏因数调整器的可调范围，一般可将调整器的指针对准2.00，然后进行修正。(5-12)故37§5-4应变的测量和应力的计算Ⅰ.单轴应力状态试用半桥自动补偿方法，测定图示简支梁m-m截面上a的正应力sa。材料的弹性模量为E。38Ⅱ.主应力方向已知的平面应力状态

沿主应力方向贴应变片，测出主应变后，由广义胡克定律求主应力，即a、b两点均为单轴应力状态，且sb=-sa，eb=-ea。在a、b两点处沿梁的轴线方向分别贴上应变片Ra和Rb。把Ra、Rb分别接入电桥的AB、BC臂（半桥接线法），BC为温度补偿臂（自动补偿）。当Ra=Rb时，有由胡克定律39

用电阻法测量图示圆轴的最大切应力t及扭转力偶矩M。材料的E、n为已知。(b)tTyz例题5-340圆轴表面的ab线上各点的单元体如图c所示。主应力为：1.

半桥自动补偿

在ab线上任意一点c处，沿中和轴线方向成±45°方向分别贴上应变片R1和R2（图a,d）。将R1和R2分别接入电桥的AB、BC臂(图e)，BC臂为温度补偿。当R1=R2时，(d)(e)(f)d(g)例题5-3解:41由广义胡克定律得扭转力矩为把代入上式得例题5-3422.全桥自动补偿

在ab线上任意一点d处，沿与轴线方向成±45°方向分别贴上R1、R2、R3、R4四个应变片（图a、f）因为e3=e1,e2=e4,且e2=e4=-e1。将应变片R1、R2、R3、R4分别接入电桥的AB、BC、CD、DA桥臂上（全桥），BC、DA为温度补偿臂（图g）。当R1=R2＝R3=R4时(a)(f)d(g)例题5-343eR=e1+e3-e2-e4＝4e1,由广义胡克定律得扭转力矩为例题5-344(1)用半桥自动补偿测定Mz；(2)用全桥自动补偿测定Mx。

图示空心截面圆杆，其左端为固定端，右端受力偶矩M2和Mx作用。例题5-445

该题为弯扭组合变形，图a中a、b、c三点的单元体分别如图f、g、h所示。虽然a、b两点为平面应力状态，且主应力方向未知，但在小变形时，t不产生sa(sb)方向的线应变。所以sa=Eea，sb=Eeb，且sb=-sa，eb=-ea。c点为纯剪切应力状态s1=tc

，s2=-tc，e1=-e2。解:1.分析例题5-4462.用半桥自动补偿测定Mz在a、b两点沿x方向分别贴应变片Ra和Rb，将应变片Ra、Rb分别接在电桥的AB和BC臂上(图c)，BC臂为温度补偿。于是由胡克定律得弯矩力偶矩Mz为例题5-4473.用全桥自动补偿测Mx

在C点处贴四个应变片(图a)，并将它们分别接入电桥的四个桥臂上(图e)，BC、DA臂为温度补偿。由广义胡克定律得扭转力矩Mx为例题5-448III.主应力方向未知的平面应力状态(1)图a所示平面应力状态，当e

x、

e

y

、gxy已知时，可由公式（5-3）,（5-4）,（5-5）求出两个主应变值及其方向。因为gxy难以测量，一般分别测量O点处和x轴分别成aa、ab、ac的三个方向的线应变（图b）。49(a)(b)(c)由(5-1a)得联立求解以上三式，求出e

x、e

y

、gxy后，即可求出主应变。50代入(a)、(b)、(c)式中，可得(2)实际应用中，通常采用45°应变花(图c)，或60°应变花(图d、e)。1.45°应变花代入(5-3)、(5-4)、(5-5)可求出两个主应变值和方向。如教材(g)、(h)、(i)式所示。(d)(e)512.60°应变花代入(a)、

(b)、

(c)式中可得

代入(5-3)、(5-4)、(5-5)可得两个主应变值和方向。如教材(j)(k)(l)式所示。52

用应变圆求图a所示O点处的主应变值及方向。图a中，b与a及b与c的夹角均为60°，e

a

,eb,ec为已知。(a)例题5-553解:作图步骤为1.绘纵坐标轴g

/2，作三条与g

/2平行的平行线La、Lb、Lc，其横坐标分别为ea、e

b、ec（按选定的比例尺量取）。(b)例题5-5542.过Lb上任一点B，作BA线交La于A，使Lb与BA的夹角为60°，过B点作BC交Lc于C，使Lb与BC的夹角为60°。(b)例题5-5553.作BA、BC的垂直平分线，它们的交点为O1。过O1点作g

/2轴的垂线，该线为e

轴。(b)例题5-5564.以O1为圆心，以O1A(O1C)为半径画圆。该圆与e

轴分别交于D1、D2点，与Lb线交于B1点。D1和D2点的横坐标分别为主应变e1和e2。图中a0为方向b和e1夹角。(b)例题5-557

图b中，A、B、C三点的横坐标分别代表a、b、c三个方向的线应变。根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，不难验证以上作图方法正确。(b)例题5-558第五章结束59第6章动荷载·交变应力§6-5钢结构构件及其连接的疲劳计算§6-1概述§6-2构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算§6-3构件受冲击荷载作用时的动应力计算§6-4交变应力下材料的疲劳破坏·疲劳极限60§6-1概述

动荷载：荷载随时间作急剧的变化，或加载过程中构件内各质点有较大的加速度。本章研究以下几种动荷载问题：

前面各章中研究了在静荷载作用下，构件的强度，刚度和稳定性问题。本章研究动荷载问题。Ⅰ.构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力问题；Ⅱ.构件受冲击荷载作用时的动应力；Ⅲ.构件在交变应力作用下的疲劳破坏。61§6-2构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算Ⅰ.构件作加速运动时，构件内各质点将产生惯性力，惯性力的大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。Ⅱ.动静法：在任一瞬时，作用在构件上的荷载，惯性力和约束力，构成平衡力系。当构件的加速度已知时，可用动静法求解其动应力。动静法的应用62

一钢索起吊重物M（图a），以等加速度a提升。重物M的重量为P，钢索的横截面面积为A，不计钢索的重量。试求钢索横截面上的动应力sd。例题6-163设钢索的动轴力为FNd，重物M的惯性力为（↓）（图b），由重物M

的平衡方程可得(1)令（动荷因数）

(2)则(3)解:1.求钢索的动轴力例题6-164钢索横截面上的动应力为(4)式中，为静应力。

由(3)，(4)式可见，动荷载等于动荷载因数与静荷载的乘积；动应力等于动荷载因数与静应力的乘积。即用动荷因数反映动荷载的效应。2.求钢索横截面上的动应力例题6-16516号工字钢梁，以等加速度a=10m/s2上升，吊索横截面面积A＝108mm2，，不计钢索质量。求：(1)吊索的动应力sd

;(2)梁的最大动应力sd,max。例题6-266

解:1.

求吊索的sdqst=20.5×9.81=201.1N/m吊索的静轴力为16号工字钢单位长度的重量为例题6-267吊索的静应力动荷因数为

吊索的动应力为例题6-2682.求梁的sd,maxC截面上的静弯矩为例题6-269查表16号工字钢的弯曲截面系数为梁的最大静应力为梁的最大动应力为例题6-270

均质等截面杆AB，横截面面积为A，单位体积的质量为r，弹性模量为E。以等角速度w绕y轴旋转。求AB杆的最大动应力及杆的动伸长（不计AB杆由自重产生的弯曲）。例题6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B71惯性力的集度为AB杆的轴力为x=0时，解:1.求AB杆的动轴力例题6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B72AB杆的最大动应力为（与A无关）AB杆的伸长量为（与A无关）2.求AB杆的最大动轴力和动伸长例题6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B73

薄壁圆环以等角速度w转动，其横截面面积为A，材料的密度为r。求圆环横截面上的正应力。例题6-474

沿圆环轴线均匀分布的惯性力的集度（图b）为解:1.加惯性力例题6-475横截面上的正应力为由圆环上半部分（图c）的平衡方程得2.求sa例题6-476

直径d=100mm的圆轴，右端有重量

P=0.6kN,直径D=400mm的飞轮，以均匀转速n=1000r/min旋转（图a）。在轴的左端施加制动力偶Md（图b），使其在t＝0.01s内停车。不计轴的质量。求轴内的最大切应力tdmax。例题6-577由于轴在制动时产生角加速度a，使飞轮产生惯性力矩Md（图b）。设飞轮的转动惯量为I0

，则Md=I0a

，其转向与a相反。轴的扭矩Td=Md。解:1.分析例题6-578轴的角速度为角加速度为其转向与n的转向相反。2.求tdmax例题6-579飞轮的惯性力矩为飞轮的转动惯量为轴的最大动切应力为例题6-580§6-3构件受冲击荷载作用时的动应力计算

图a表示重量为P的重物，从高度h处自由落下，当重物与杆的B端接触的瞬间速度减少至零，同时产生很大的加速度，对AB杆施加很大的惯性力Fd，使AB杆受到冲击作用。重物称为冲击物，AB杆称为被冲击物，Fd称为冲击荷载。81Ⅱ.不计被冲击物的质量，被冲击物的变形在线弹性范围内；Ⅰ.不计冲击物的变形，且冲击物和被冲击物接触后不回弹；Ⅲ.不计冲击过程中的能量损失。

由于冲击时间极短，加速度很难确定，不能用动静法进行分析。通常在以下假设的基础上用能量法作近似计算。82

由机械能守恒定理可知：冲击过程中，冲击物所减少的动能Ek和势能Ep等于被冲击物所增加的应变能，即(a)重物减少的势能为(b)Dd为重物的速度降为零时，B端的最大位移，称为动位移。重物的动能无变化(c)AB杆增加的应变能为(d)83由，得(e)将(e)式代入(d)式，得(f)由于(图c)（B端的静位移），(g)式化为(h)将(b)、(c)和(f)式代入(a)式，得(g)84解得(i)其中(6-1)Kd为动位移和静位移的比值，称为动荷载因数。(6-1)式为自由落体冲击时的冲击动荷载因数。将(i)式代入(e)式，得(j)AB杆的动应力为(k)85小结：

凡是自由落体冲击问题，均可以用以上公式进行计算。Kd公式中，h为自由落体的高度，Dst为把冲击物作为静荷载置于被冲击物的冲击点处，被冲击物的冲击点沿冲击方向的静位移。h=0时，Kd=2（骤加荷载）

由于不考虑冲击过程中的能量损失，Kd值偏大，以上计算偏于安全。其它冲击问题的Kd表达式，将根据具体情况由机械能守恒定律求出。86

图a、b所示简支梁均由20b号工字钢制成。E=210×109Pa，P=2kN，h=20mm。图b中B支座弹簧的刚度系数k=300kN/m。试分别求图a、b所示梁的最大正应力。（不计梁和弹簧的自重）hP1.5m1.5mzACBzhP1.5m1.5mACB(a)(b)例题6-687解:1.求图a梁的最大静应力由型钢表查得20b号工字钢的Wz和Iz分别为Wz=250×103mm3，Iz=2500×104mm4梁的最大静应力为AzhP1.5m1.5mCB例题6-688C

截面的静位移为动荷因数为梁的最大动应力为2.求图a梁的最大动应力例题6-6893.求图b梁的动荷因数C

截面的静位移为动荷因数为hP1.5m1.5mzACB例题6-690梁的最大动应力为4.求图b梁的最大动应力

由于图b梁的B支座改用了弹簧，从而使梁的C截面的静位移增加，所以降低了动荷因数。例题6-6hP1.5m1.5mzACB91

重物G的重量为P，以水平速度v冲击AB的C截面。设AB梁的弯曲刚度为EI，弯曲截面系数为W。试求梁的最大动应力sd,max。例题6-792

这是水平冲击问题。冲击过程中，冲击物（重物G）的速度由v减小到零，冲击物减小的动能为解:1.分析冲击物的势能没有改变，即

当冲击物冲击到AB梁时，梁受到冲击荷载Fd，梁的C截面产生动位移Dd，梁增加的应变能为例题6-793由于从而有故例题6-794由机械能守恒定律，即解得2.求水平冲击时的动荷因数Kd，并求sd,max例题6-795水平冲击时的冲击动荷因数为（把P作为静荷载置于C

截面时，C处的静位移）。式中梁的最大动应力为例题6-796

轴的直径d=100mm，长度l=2m，切变模量G=80×109Pa，飞轮的重量P=0.6kN，直径D=400mm，轴的转速n=1000r/min，AB轴的A端被突然刹车卡紧。求轴的

td,max

（不计轴的质量）。例题6-897

由于突然刹车的时间极短，飞轮产生很大的角加速度，具有很大的惯性力矩，使轴受到扭转冲击。根据机械能守恒定律，飞轮的动能转变为轴的应变能。由得解:1.分析例题6-8982.求td,max

例题6-899

可见刹车时的td,max将增加很多。对于轴的强度非常不利，应尽量避免突然刹车。当轴在0.01s内停车时，由例题6-5知例题6-8100

钢吊索AC的A端悬挂一重量为P=20kN的重物，并以等速v=1m/s下降。当吊索长度l=20m时，滑轮D被卡住。试求吊索受到的冲击荷载Fd及冲击应力sd。吊索的横截面面积A=414mm

2，材料的弹性模量E=170GPa，不计滑轮的重量。若在上例题6-9述情况下，在吊索与重物之间安置一个刚度系数k=300kN/m的弹簧，吊索受到的冲击荷载又为多少？101

由于滑轮突然被卡住，使重物的速度在极短的时间内降为零，重物产生很大的惯性力Fd

，使吊索受到冲击。

该题和以上各题不同的是，在滑轮被卡住前的瞬时，吊索在P力作用下已产生静位移和应变能解:1.分析例题6-9102重物减少的势能为重物减少的动能为其中，为冲击过程中重物下降的距离。吊索增加的应变能为利用机械能守恒定律可以求出动荷载因数2.求动荷载因数Kd例题6-9103在吊索和重物之间安置一弹簧时，

，Dst增加，Kd减小。冲击荷载为Fd=KdP。冲击应力为

将已知数据代入相关公式，可求出最后结果，建议由读者完成。例题6-9104§6-4交变应力下材料的疲劳破坏·疲劳极限I.交变应力的概念交变应力——随时间作交替变化的应力。火车轮轴的受力图和弯矩分别如图a、b所示。(a)FFwdaaFFFaMxO(b)105可见sk随时间t是按正弦规律变化的(图c)。

力F和弯矩不随时间变化，但因轴以速度w旋转，使其横截面上任一点k到z轴的距离为t的函数，k点的正应力为1234zydk106

s-t曲线称为应力谱。应力重复变化一次的过程，称为一个应力循环。应力重复变化的次数，称为应力循环次数。1234zydk107

图a中，P为电动机的重量，电动机以等角速度w旋转，F0为因电动机的偏心而产生的惯性力。作用在梁上的铅垂荷载为，F称为交变荷载。最小位移（wt=p/2）最大位移（wt=3p/2）

静位移（wt=0）zyk(a)108最小位移（wt=p/2）最大位移（wt=3p/2）

静位移（wt=0）zyk(a)

C

截面的弯矩为。C截面上k点的正应力为即109sk随时间t的变化规律如图b所示。1102.应力幅（有时称为应力幅，为应力范围）注意：最大应力和最小应力均带正负号。(1)为了表示交变应力中应力变化的情况，引入几个基本参量。（拉,压,弯曲）或（扭转）1.循环特征（应力比）111smax=smin

(b)

stO

r=0脉动循环(smin=0)(图a)特例：r=1静应力(smax=smin)(图b)(a)对称循环：r=−1(例1)（smax=-smin）非对称循环：112II.金属材料的疲劳破坏

疲劳破坏——金属构件在长期交变应力作用下所发生的断裂破坏。(1)交变应力中的最大应力达到一定值，但最大应力小于静荷载下材料的强度极限甚至屈服极限，经过一定的循环次数后突然断裂;(2)塑性材料在断裂前也无明显的塑性变形;(3)断口分为光滑区和粗糙区。疲劳破坏的主要特征：113(1)疲劳裂纹的形成(2)疲劳裂纹的扩展疲劳破坏的过程:(3)脆性断裂

构件中的最大工作应力达到一定值时，经过一定的循环次数后，在高应力区形成微观裂纹——裂纹源。

由于裂纹的尖端有高度的应力集中，在交变应力作用下，微观裂纹逐渐发展成宏观裂纹，并不断扩展。裂纹两侧的材料时而张开,时而压紧，形成光滑区。裂纹源光滑区粗糙区114III.材料的疲劳极限

试验表明：在同一循环特征下，交变应力中的smax越大,发生疲劳破坏所经历的循环次数N越小，即疲劳寿命越短。反之smax越小，N越大，疲劳寿命越长。经过无限次循环不发生疲劳破坏时的最大应力称为材料的疲劳极限。用sr表示，r代表循环特征。

sr与材料变形形式，循环特征有关，用疲劳试验测定。(1)材料的疲劳极限

疲劳裂纹不断扩展，有效面积逐渐减小，当裂纹长度达到临界尺寸时，由于裂纹尖端处于三向拉伸应力状态，裂纹以极快的速度扩展从而发生突然的脆性断裂，形成粗糙区。115

弯曲疲劳试验机一台，标准（规定的尺寸和加工质量）试样一组。记录每根试样发生疲劳破坏的最大应力smax和循环次数N。绘出smax-N曲线（疲劳寿(2)弯曲对称循环时，s-1的测定命曲线），又称为S-N曲线（S代表正应力s

或切应力t）。40cr钢的smax-N曲线如图所示。可见smax降至某值后，

smax-N曲线趋于水平。该应力即为s-1

。图中s-1=590MPa。116低碳钢：sb=400－500MPa(3)条件疲劳极限N0=5×106~107

sNO

弯曲（s-1）b

=170－220MPa

拉压（s-1）t

=120－160MPa

铝合金等有色金属，其s-N曲线如图所示，它没有明显的水平部分，规定疲劳寿命N0＝5×106~107时的最大应力值为条件疲劳极限，用表示。117(4)构件的疲劳强度校核

材料的疲劳极限是由标准试样测定的。构件的外形,尺寸,表面质量均可能与标准试样不同。一般采用有效应力集中系数Ks,尺寸系数es和表面加工系数b（均由图表可查）,对材料的疲劳极限进行修正得到构件的疲劳极限。即再把构件的疲劳极限除以安全因数得到疲劳许用应力。交变应力的强度条件为最大工作应力≤疲劳许用应力118§6-5钢结构构件及其连接的疲劳计算

由于钢结构构件的焊缝附近存在残余应力，交变应力中的最大工作应力（名义应力）和残余应力叠加后，得到的实际应力往往达到材料的屈服极限ss，不能再按交变应力中的最大工作应力建立疲劳强度条件。试验结果表明，焊接钢结构构件及其连接的疲劳寿命由应力幅控制。119I.常幅疲劳（应力幅为常量）

在常温,无腐蚀环境下常幅疲劳破坏试验表明：发生疲劳破坏时的应力幅Ds

与循环次数N（疲劳寿命）在双对数坐标中的关系是斜率为−1/b，在lgDs轴上的截距为lg(a/b)的直线，如图所示。其表达式为(6-5a)或写成(6-5b)式中，b、

a为有关的参数。lg

Δs

lg

Δs1

lg

Δs2

lg

N1

lg

N2

lg

N

1

b120引入安全因数后，得许用应力幅为(6-6)式中，C,b是与材料、构件和连接的种类及受力情况有关的参数。钢结构设计规范中，将不同的受力情况的构件与连接分为8类(见书P155表6-2)。表6-1中给出了Q235钢8个类别的C，b

值。疲劳强度条件为(6-7)121

一焊接箱形钢梁，在跨中截面受到Fmin=10kN和Fmax=100kN的常幅交变荷载作用，跨中截面对其水平形心轴z的惯性矩

Iz=68.5×10-6m4。该梁由手工焊接而成，属四类构件，若欲使构件在服役期限内，能承受2×106次交变荷载作用。试校核其疲劳强度。例题6-10122解:1.计算跨中截面危险点（a点）的应力幅例题6-101232.确定[Ds

]，并校核疲劳强度

显然从表中查得C=2.18×1012，b

=3，例题6-10124II.变幅疲劳（应力幅不是常量，如图）

若以最大应力幅按常幅疲劳计算，过于保守。当应力谱已知时，可用线性累积损伤法则，将变幅疲劳折算成常幅疲劳。

每个应力幅水平都形成疲劳损伤，同一应力幅水平，每次循环的损伤相同（线性损伤），将所有损伤累积，当其到达临界值时发生疲劳破坏。(1)线性累积损伤法则125DsDs1DskDsiNkNiN1N

将Ds

划分为Ds1

…Dsi

…Dsk。根据应力谱统计在服役期内每个应力幅水平的实际循环次数，记为n1…ni…nk。并测定每个应力幅水平的疲劳寿命，记为N1…Ni…Nk。

每一应力循环的损伤为，1/N1…1/Ni…1/Nk，服役期内总的损伤为126疲劳破坏条件为(1)

若变幅疲劳与常幅疲劳在双对数坐标中有相同的曲线。则变幅疲劳中任一级应力幅水平均有(2)设想有常幅Dse作用Sni次，使构件产生疲劳破坏，有(3)式中，Dse为等效应力幅。(2)将变幅疲劳折算成等效的常幅疲劳127(6-8)式中，分子中的ni为应力水平为Dsi时的实际循环次数，分母中的Sni为预期使用寿命。疲劳强度条件为(6-9)(4)得将(4)式代入(3)式，得把(2)式代入(1)式，128第六章结束129

第7章材料力学性能的进一步研究§7-1概述§7-2应变速率及应力速率对材料力学性能的影响§7-3温度对材料力学性能的影响·蠕变与松弛§7-4温度与时间对材料力学性能的影响·蠕变与松弛§7-5冲击荷载作用下材料的力学性能·冲击韧度§7-6低应力脆断·断裂韧度130§7-1概述

在材料力学(I)中研究了材料在常温,静载拉伸,压缩时的力学性能。本章研究构件在比较复杂的工作条件下，材料的力学性能。131§7-2应变速率及应力速率对材料力学性能的影响

应变e对时间的变化率称为应变速率。应力s对时间t的变化率称为应力速率，它也是加载速率。本节研究在常温下和对材料力学性能的影响。132I.de

/dt

对材料力学性能的影响

图a为常温下低碳钢由拉伸试验得到的s-e曲线。其中的曲线1为静载，曲线2为动载（）。

较小时，对材料的力学性能影响较小。当时，屈服阶段不明显，强度极限提高。133Ⅱ.ds/dt

对材料力学性能的影响

图b为常温下低碳钢的曲线。当（加速率）超过塑性变形的传播速率后，ss提高。在作静载拉伸实验时，对有相关的规定。上述现象是塑性材料普遍存在的。134§7-3温度对材料力学性能的影响

加载时间和温度对材料的力学性能均有影响。本节研究短期加载拉伸时，温度对材料力学性能的影响。

图a为低碳钢在拉伸试验时，其力学性能随温度升高而变化的情况。(1)总的趋势为，随温度的升高，材料的ss、sb、E均降低，而d、y却增加。I.高温135(2)t≤260oC时，随温度的升高，sb增加，d和y均减小。但这一现象仅为低碳钢和某些低合金钢所特有，并非普遍规律，例如图b所示的铬锰合金钢在拉伸时的力学性能随温度而改变的规律就无这些特征。II.低温

图a,b分别为纯铁和中碳钢，在温度为20oC、-196oC、

-253oC的条件下，拉伸时的F-Dl曲线。1361.当温度由20oC→－196oC

时，拉力F（与sb有关）均增加一倍以上，Dl（与d有关）不同程度下降。2.当温度由20oC→－253oC时，两种材料均为完全脆性，在断裂前服从胡克定律，sb进一步提高。塑性指标：（低温变脆）。综上所述，在室温下为塑性材料的钢强度指标：137§7-4温度与时间对材料力学性能的影响·蠕变与松弛

当温度高于一定值，材料在恒定荷载作用下，其塑性变形随时间的增加而缓慢增加的现象，称为蠕变。

本节研究在高温恒定荷载作用下，加载时间及温度对材料力学性能的影响。I.

蠕变1381.不稳定阶段（AB）：e

增加较快，（即图中曲线的斜率）逐渐降低，且不稳定。2.稳定阶段（BC）：降为最低，并保持为常数（BC近似为直线）。3.加速阶段（CD）：逐渐增加，但变化不大。(1)金属材料蠕变的四个阶段

图示为某金属材料的蠕变（变形随时间t变化）曲线。由图可见139(2)影响蠕变速率的主要因素——应力水平和温度

由图a可见，当温度不变时，应力水平越高，蠕变速率越大。冷拔预应力钢丝在很高的拉应力水平下，即使在常温下也发生明显蠕变。

由图b可见，当应力水平不变时，温度越高，蠕变速率越大。总之，降低应力水平或降低温度均可降低蠕变速率。4.破坏阶段（DE）：迅速增加，在较短时间内断裂。构件正常工作限定在稳定阶段。140

在高温条件下，当构件的总变形不随时间变化时，由于蠕变使塑性变形不断增加，而弹性变形不断减小，造成应力随时间的增长而逐渐下降的现象，称为应力松弛。

影响应力松弛的主要因素——初始弹性应变和温度II.应力松弛141

由图b可见，当初始弹性应变水平不变时，温度越高，应力下降的初始速率越大。经过一定时间后，应力降低至较低水平时，曲线趋于水平。

由图a可见，当温度不变时，初弹性应变e越大（即初始应力越大），应力下降的初始速率也越大。经过一定时间后，应力降低至较低水平后，应力下降的速度逐渐趋于零。142§7-5冲击荷载作用下材料的力学性能·冲击韧度

低碳钢等塑性材料，在低温下受到冲击荷载也会发生脆断，为了弄清材料发生低温脆断的原因，必须研究材料在冲击荷载作用下的力学性能及其随温度降低而改变的规律。143

材料在冲击荷载作用下的力学性能（抗断裂能力），是通过冲击试验测定的。图a为带V形和U

形缺口的标准试样，图b为摆锤式试验机和试样放置位置的示意图，试样的缺口位于试样弯曲时的受拉侧。I.

冲击韧度的测定144当摆锤从一定高度落下，将试样冲断时，可测出冲断试样所消耗的功W（冲击吸收功）。将W除以断口截面的净面积A，即(7-1)

ak称为冲击韧度，它表示材料抵抗冲击能力的大小，ak越大，材料抵抗冲击的能力越强。对于V

形缺口试样也可用冲击功W表示材料抗冲击能力的大小，也称为冲击韧度。但两种缺口试样得到的冲击韧度值是不同的，且两者不能简单换算。145(1)缺口处有高度的应力集中，处于三轴拉伸应力状态，使缺口附近区域不易发生塑性变形，利于测定材料的抗断裂性能。(2)V

形比U

形缺口的应力集中程度高，缺口不易发生塑性变形，而U

形缺口易发生塑性变形，但便于检查