高中二年级物理“电磁感应”专题巩固培优与思维拓展导学案

高中二年级物理“电磁感应”专题巩固培优与思维拓展导学案

一、教材与学情分析

（一）教材地位与内容重构

本专题承接静磁场与恒定电流，是电磁学核心规律“电生磁”与“磁生电”的辩证统一，也是后续学习交变电流、电磁振荡、电磁波以及现代科技应用（如无线充电、电磁驱动）的基础。在高中物理知识体系中，它处于承上启下的枢纽位置，且与实际生产生活、前沿科技联系紧密，是历年高考的【重中之重】。教材通常从法拉第电磁感应现象出发，依次探究感应电流的产生条件、楞次定律、法拉第电磁感应定律，再到电磁感应规律的综合应用。本次导学案设计打破教材原有章节界限，以“回路”与“切割”为双主线，整合楞次定律与法拉第电磁感应定律，构建“因变而感、因动而感”的整体认知模型，重在思维进阶与模型建构。

（二）学情精准画像

授课对象为高二年级理科倾向学生，已完成电磁感应基础知识的第一轮学习。学生现状呈现以下特点：

1.【基础】层面：绝大多数学生能准确复述楞次定律的内容和法拉第电磁感应定律的表达式，能判断简单情景下感应电流的方向和计算感应电动势的大小。

2.【能力】层面：面对含有复杂情景（如非匀强磁场、立体空间、多杆模型、含容电路）的综合问题时，部分学生存在“思维断点”，主要表现为：对“阻碍”含义的理解停留在表面，无法灵活应用于能量转化与守恒的分析；对于动生电动势和感生电动势并存的问题，缺乏有效的分析路径；在电磁感应与电路、力学、能量的综合题中，模型识别和规律选择的准确性有待提升。

3.【素养】层面：学生的科学推理和模型建构能力正处于关键成长期，对物理规律的本质理解需要进一步深化。本专题旨在通过高强度的思维训练和模型拓展，帮助学生跨越“懂而不会、会而不对、对而不全”的障碍，实现从知识记忆向素养生成的跨越。

二、教学目标与核心素养进阶

依据《普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）》，本专题教学目标设定如下：

1.物理观念：深化“运动与相互作用”及“能量”观念，能从电磁感应现象中理解电与磁的内在统一性，树立“阻碍变化”的辩证思想。

2.科学思维：【核心素养进阶点】能够通过比较、概括，将不同类型的电磁感应问题归纳为“感生”与“动生”两种基本模型；能够运用楞次定律的推广表述（增反减同、来拒去留、增缩减扩）快速判断电磁感应中的力学效应；能够构建双杆、含容等复杂模型，并运用微元法与动量定理、能量守恒等规律进行综合分析，提升科学推理与模型建构能力。

3.科学探究：通过典型例题的变式探究，经历从定性判断到定量计算的完整分析过程，体会控制变量、等效替代等科学方法在解决复杂问题中的应用。

4.科学态度与责任：通过对电磁驱动、电磁阻尼等实际应用的分析，感受物理学的技术价值，激发探索自然、服务社会的责任感。

三、教学重难点

1.教学重点：

（1）楞次定律的深层理解与拓展应用（来拒去留、增缩减扩等）。

（2）法拉第电磁感应定律在动生和感生两类问题中的准确应用。

（3）电磁感应现象中的电路分析与图像问题。

2.教学难点：

（1）电磁感应与力学平衡、动力学的综合问题（特别是单杆、双杆模型的动态分析）。

（2）涉及含容电路、含源电路的电磁感应问题。【高频考点】与【难点】。

（3）电磁感应中能量转化与守恒、动量定理的综合应用，尤其是微元法的思想。【非常重要】

四、教学实施过程（核心环节）

（一）温故知新，构建知识网络【基础回顾与整合】

师：同学们，我们已经学习了电磁感应的基本规律。现在请大家闭上眼睛，在大脑中构建一幅“电磁感应全景图”。请思考：产生感应电流的条件是什么？本质原因有哪些？判断方向的“法官”是谁？计算大小的“尺子”又是什么？

（预留30秒静思时间）

生：（回顾，思考）

师：好，我们一起来梳理。感应电流的产生，源于磁通量的变化。这个变化，可以是因为磁场随时间变化（感生），也可以是因为导体切割磁感线导致回路面积或有效夹角变化（动生）。判断方向，我们用法拉第最初发现的“法律”——楞次定律：感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。这个“阻碍”二字，内涵极其丰富，它不仅是判断方向的准则，更是理解电磁感应中力学效应（如安培力总是阻碍相对运动）和能量转化（克服安培力做功，其他形式能转化为电能）的钥匙。而计算大小，无论是感生电动势E=n·ΔΦ/Δt，还是动生电动势E=BLv，都统一于法拉第电磁感应定律，E=n·ΔΦ/Δt是根本公式，而E=BLv是导体平动切割时的一种特例，当B、L、v三者相互垂直时成立。今天，我们就在这个网络上，添砖加瓦，构建起能够解决复杂问题的思维大厦。

（二）模型突破，深化楞次定律的理解【思维拓展1】

1.楞次定律的推广与灵活运用

师：楞次定律中的“阻碍”二字，可以从不同维度进行解读。我们通过几个经典情景来体会。

情景一：“来拒去留”。如图，一个条形磁铁靠近或远离一个闭合铝环。请分析环中感应电流的方向，以及环的运动趋势。

生：（分析）磁铁靠近时，穿过环的磁通量增加，环中产生的感应电流的磁场阻碍其增加，因此环与磁铁相对的磁极同性，表现为相互排斥，即“来拒”；远离时，磁通量减少，环中感应电流的磁场阻碍其减少，表现为相互吸引，即“去留”。

师：非常准确。【重要】这个结论推广到一般情况：只要是由于相对运动导致磁通量变化，导体受到的安培力（或由它产生的效果）总是“阻碍”这个相对运动。这为我们快速分析受力提供了捷径，避免了每次都去判断电流方向再判断受力。

情景二：“增缩减扩”。如图，一个闭合导体圆环，放置在光滑水平面上，一条形磁铁沿圆环的轴线穿过。请分析圆环面积的变化趋势。

生：（讨论）当磁铁靠近时，穿过圆环的磁通量增加，为了“阻碍”增加，圆环有收缩的趋势以减小面积，从而减小磁通量的增加；当磁铁远离时，磁通量减少，圆环有扩张的趋势以增大面积，阻碍磁通量的减少。

师：精彩！“增缩减扩”是针对面积变化的“阻碍”效果。这个结论在分析线框在非均匀磁场中的运动等问题时非常有用。【基础】请大家牢记，楞次定律的本质是能量守恒的体现，“阻碍”的过程，就是其他形式能转化为电能的过程。

2.安培定则、左手定则、右手定则与楞次定律的辨析【高频考点】

师：电磁学中，我们学习了多个“手”的定则，容易混淆。现在我们以“因动而电”和“因电而动”为线索，进行对比。右手定则（发电机定则）用于判断“因动而电”中的感应电流方向，左手定则（电动机定则）用于判断“因电而动”中的安培力方向。它们的根本联系在于楞次定律：无论是“动生电”还是“电动生力”，感应电流（或安培力）的效果总是阻碍产生它的那个原因。我们可以这样归纳：【非常重要】“因动而电，用右手；因电而动，用左手；安培定则，判磁场；楞次定律，统全局，既判方向又析力，能量守恒是根基。”

（三）规律精析，攻克“感生”与“动生”【巩固培优核心】

1.感生电动势问题：变化的磁场产生电场

师：感生电动势对应着变化的磁场产生涡旋电场，这是一个非保守场。其大小E=n·ΔΦ/Δt=n·S·ΔB/Δt（当S不变时）。这里需注意，S为回路在磁场中的有效面积，且ΔB/Δt是磁感应强度的变化率，不是变化量，也不是磁场本身的大小。方向判断依然遵循楞次定律。

【典型例题1】（感生电动势与电路综合）【高频考点】

如图，一个固定在水平面上的光滑金属导轨，间距为L，左端接一电阻R。导轨所在区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B随时间均匀增加，变化率为k（k>0）。一质量为m、电阻不计的导体棒垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，且处于锁定状态。求：

（1）回路中的感应电动势大小和感应电流的方向。

（2）某时刻突然解除锁定，分析导体棒的运动情况，并求最终的速度。

师：第一问是基础，请同学们快速完成。

生：（计算）感应电动势E=n·ΔΦ/Δt=1·S·ΔB/Δt=(L·x)·k，其中x为棒到左侧导轨端部的距离？等等，这里S是变化的吗？题目中导轨无限长吗？我们需要仔细。实际上，这里要明确回路面积。若棒锁定在某一位置，设棒到左侧定端距离为d，则回路面积S=L·d，是定值。所以E=kLd。方向根据楞次定律，B增加，磁通量增加，感应电流的磁场向上，由右手螺旋定则，感应电流为逆时针方向（俯视），流经R的电流方向向下。

师：分析得非常严谨，注意到了有效面积S的确定。这是很多同学容易忽略的【易错点】。好，第二问，解除锁定后，情况变得复杂了。大家思考，棒会如何运动？最终状态是什么？

生：（小组讨论）解除锁定后，由于回路中仍有感应电动势（因为B仍在变化），棒中会有电流，立即受到安培力。安培力方向？由左手定则，电流方向已知，磁场方向向下，可判断安培力向左？但棒一旦运动，就会切割磁感线，产生一个动生电动势。这个动生电动势的方向如何？与原感生电动势是串联还是抵消？这需要列式分析。

师：非常好！你们已经抓住了问题的关键——两种电动势并存。我们将这种问题称为“感生+动生”综合问题。设棒速度为v，向右为正。则棒产生的动生电动势E动=BLv，方向由右手定则判断，向上（即从棒流向R）。而此时感生电动势E感=kLd（注意，此时回路面积在变，但磁通量Φ=B·S，S=L·(d+x)，x是棒的位移，但d是常数吗？实际上初始时我们定义d是棒到左侧固定端的距离，这个距离随着棒运动而改变。严谨地，我们重新设定坐标系：设棒初始位置为坐标原点，导轨左端在x=-d处。则t时刻，棒位置为x（向右为正），则回路面积S=L·(d+x)。磁通量Φ=B·S=(B0+kt)·L·(d+x)。那么，回路总感应电动势E总=dΦ/dt。这个导数包含两项：一项是磁场变化引起的，E感=(dB/dt)·S=kL(d+x)；另一项是面积变化（即棒运动）引起的，E动=B·(dS/dt)=(B0+kt)·L·v。并且，根据楞次定律，这两个电动势在回路中方向是相同的（因为磁通量增加，两者都试图产生逆时针电流）。所以回路总电动势E总=kL(d+x)+(B0+kt)Lv。回路中的电流I=E总/R。棒受到的安培力F安=BIL，方向向左，与运动方向相反。棒的运动方程为：m·dv/dt=-F安=-(B0+kt)L·[kL(d+x)+(B0+kt)Lv]/R。这是一个含x和t的复杂微分方程。

师：这位同学的分析非常深入，已经触及了问题的本质。这个方程确实不易直接求解。但我们关心的是最终稳定状态。大家想象一下，随着时间推移，棒的速度v会如何变化？当棒的速度增大到某一值时，有没有可能使总电动势为零，从而使电流为零，安培力为零，棒匀速？

生：如果总电动势E总=0，即kL(d+x)+(B0+kt)Lv=0，则v=-k(d+x)/(B0+kt)。由于v>0，x>0，右边为负值，不可能。所以总电动势不可能为零，安培力始终存在，但安培力与速度反向，会阻碍加速。然而，B在增加，电动势也在变化，这是一个动态过程。最终棒可能会趋于一个什么样的状态？

师：这个问题非常深刻，已经超出了我们目前的要求，但体现了极佳的思维深度。【拓展延伸】对于这类问题，当时间足够长，磁场B很大时，动生电动势项(B0+kt)Lv会占主导，但感生电动势项也在增大。实际上，对于线性变化的磁场，棒最终会做一个加速度逐渐减小的加速运动，但不会匀速。其精确解需要用到高等数学。我们的重点是掌握分析此类问题的基本方法：写出磁通量表达式Φ(t,x(t))，然后对时间求全导数得到总电动势，这是最根本、最不易出错的方法。大家务必掌握这个“通法”。

2.动生电动势问题：导体切割磁感线

师：动生电动势的本质是洛伦兹力充当非静电力。其基本公式E=BLv，要求B、L、v两两垂直。若不垂直，需取有效分量。我们重点分析几种经典模型，特别是单杆模型和双杆模型，这是力学、电学、能量的综合演练场。

【模型一：单杆模型（水平导轨，无外力）】【基础模型】

如图，光滑水平导轨，间距L，一端接电阻R，不计其他电阻。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面。一质量为m的导体棒以初速度v0向右运动。分析其运动规律。

生：棒运动产生动生电动势E=BLv，方向由右手定则，a端高，b端低。回路电流I=E/R=BLv/R，方向顺时针。棒受安培力F安=BIL=B²L²v/R，方向向左。由牛顿第二定律：a=-F安/m=-(B²L²/(mR))v。由于a与v成正比，方向相反，棒做加速度减小的减速运动，直至静止。

师：非常好。这是一个典型的“阻尼运动”。能否求出棒从开始运动到静止的位移或通过的电量？

生：可以用动量定理。对棒应用动量定理：-∑F安·Δt=0-mv0，即-∑(B²L²v/R)·Δt=-mv0。而∑v·Δt=x（位移），所以(B²L²/R)x=mv0，解得x=mv0R/(B²L²)。通过的电量q=I平均·t=(ΔΦ/Δt/R)·t=ΔΦ/R=BLx/R=mv0/(BL)。

师：完美！这正是【非常重要】的微元法与动量定理的结合。通过这道题，我们再次看到，电磁感应问题可以巧妙地避开复杂的运动学细节，利用动量、能量的观点直接求解核心物理量。

【模型二：单杆模型（恒力牵引）】【高频考点】【非常重要】

如图，光滑水平导轨，间距L，一端接电阻R，不计其他电阻。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面。一质量为m的导体棒在恒定外力F作用下由静止开始运动。分析其运动情况，并求最大速度。

生：棒加速→速度v增大→E=BLv增大→I增大→F安=BIL增大→合力F合=F-F安减小→加速度a减小。因此棒做加速度减小的加速运动。当加速度减为零时，速度最大。此时F=F安=B²L²v_m/R，解得最大速度v_m=FR/(B²L²)。

师：这个最大速度也称为“收尾速度”。请大家思考，若导轨粗糙，有恒定摩擦力f，最大速度是多少？若将电阻R换成电容器或电源，情况又如何？这为我们后续的拓展埋下伏笔。

【模型三：双杆模型（无外力，不等长）】【难点】

师：双杆模型是电磁感应综合能力的试金石。我们看一个经典情景：如图，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，间距为L。导轨左端接有电阻R。两根完全相同的导体棒a、b垂直跨放在导轨上，质量均为m，电阻均为r，导轨电阻不计。整个装置处于竖直向上的匀强磁场B中。初始时，两棒均静止。现给a棒一个水平向右的初速度v0。求：

（1）整个运动过程中，回路中产生的总焦耳热。

（2）最终两棒的速度。

师：请大家分组讨论，尝试分析。这个过程中，a棒运动产生感应电流，b棒受安培力而运动。两棒的运动相互影响，最终会达到什么状态？

生：（热烈讨论）a棒动→产生E→有I→a受向左安培力减速，b受向右安培力加速→当两棒速度相等时，回路磁通量不再变化，电流为零，安培力为零。所以最终两棒以相同速度v共向右匀速运动。

师：这个分析正确吗？当两棒速度相等时，确实没有相对切割，但注意，两棒都在切割，各自产生的动生电动势大小分别为BLv_a和BLv_b，方向如何？在回路中，如果v_a=v_b，则两电动势大小相等，但根据右手定则，a棒产生的电动势方向是a端高（电源内部电流从低电势到高电势），在回路中，这个电动势是让电流逆时针方向；b棒产生的电动势方向也是b端高，在回路中，它产生的电流方向也是逆时针？仔细画图，如果a、b都向右运动，磁场向上，用右手定则判断，a棒中感应电动势方向是a→？（电源内部电流从低电势到高电势，即电势升高的方向）。具体来说，a棒作为电源，电流在棒内是从下向上流，即a端电势高于a端？我们统一规定：电动势方向为从低电势指向高电势。对a棒，v向右，B向上，用右手定则，掌心迎B，拇指v，四指方向即为感应电流方向，也是高电势端。若磁场向上，导体棒向右运动，则四指指向自己，即电流从纸面外流向纸面内？这容易混淆。我们换一种方式：洛伦兹力分力。正电荷受洛伦兹力方向由(v×B)决定。v向右，B向上，v×B方向垂直纸面向外（即指向读者）。所以正电荷聚集在靠近读者的一侧，即a棒的上侧。因此，a棒的上端电势高，下端电势低。同样，b棒也是上端电势高，下端电势低。那么，在回路中，a棒和b棒是并联还是串联？看电路拓扑，两棒与导轨和电阻R构成一个回路。如果两棒都产生电动势，且方向相同，它们在回路中的连接方式是“同向串联”吗？实际上，从a棒下端出发，沿导轨向右到b棒下端，再沿b棒向上到b棒上端，再沿导轨向左到a棒上端，再沿a棒向下回到a棒下端，形成一个闭合回路。在这个回路中，a棒的电动势方向是向上，b棒的电动势方向也是向上，两者在回路中确实起到了“串联”加强的效果，共同推动电流沿逆时针方向流动。因此，即使v_a=v_b，回路中仍然有总电动势E总=2BLv_共，电流I=2BLv_共/(R+2r)。这显然与“电流为零”矛盾。

师：（关键点拨）这位同学的质疑非常深刻！这正是双杆问题中极易犯的【严重错误】。我们必须回到磁通量变化的本质。对于由两杆和导轨构成的回路，其磁通量Φ=B·S，其中S是回路所围的面积。当两杆以不同速度运动时，回路面积在变化，变化率ΔS/Δt=L(v_a-v_b)。因此，回路的总感应电动势E=dΦ/dt=BL(v_a-v_b)。这才是根本公式。如果v_a=v_b，则面积不变，总电动势为0，电流为0，安培力为0。之前的“同向串联”分析错在哪里？错在忽略了电动势的方向与回路绕行方向的关系。当我们说“电动势方向”时，是相对于某一回路而言的。如果我们规定回路的正方向为顺时针，那么当正电荷受到非静电力沿顺时针方向运动时，该电动势为正。我们需要统一规定一个回路的绕行方向，再来判断每个电动势在该绕行方向下的代数值。严谨的分析表明，当两棒同向运动时，它们在回路中产生的电动势是相互抵消的，总电动势正比于速度差。所以，【非常重要】在处理多杆问题，尤其是两杆都动的情况时，务必回到法拉第电磁感应定律的本源：E=dΦ/dt，用磁通量的变化率来求总电动势，这是最可靠、最安全的方法。

师：回到原题。明确了E总=BL(v_a-v_b)后，电流I=E总/R总=BL(v_a-v_b)/(R+2r)。a棒受安培力F_a=-BIL，b棒受安培力F_b=BIL（方向相反）。由动量定理，对a：-∑BIL·Δt=mΔv_a，即-BL·q=m(v_a-v0)。对b：BL·q=m(v_b-0)。其中q是某段时间内通过的电量。同时，我们还知道q=ΔΦ/R总，而ΔΦ=B·ΔS=BL·(x_a-x_b)，x_a和x_b是两棒的位移。当最终稳定时，v_a=v_b=v_共，代入动量定理的两个方程，-BL·q=m(v_共-v0)和BL·q=mv_共，两式相加得0=m(2v_共-v0)，所以v_共=v0/2。进而求得q=mv0/(2BL)。总焦耳热由能量守恒：Q=1/2mv0²-1/2·2m·(v0/2)²=1/4mv0²。完美解答。

师：通过这个模型，我们深刻体会到：双杆问题的核心是速度差，解决问题的利器是动量定理（或动量守恒，此处系统受外力吗？安培力是内力，但两杆受安培力等大反向，系统动量守恒！）和能量守恒。从v_共=v0/2，也可直接由系统动量守恒得出（因为系统不受外力）。所以，思路要开阔，方法要灵活。

（四）情境创新，挑战思维极限【高阶思维拓展】

1.含容单棒模型【热点】【难点】

师：将电阻换成电容器，情景会发生质变。如图，光滑水平导轨，间距L，一端接一电容为C的电容器，初始不带电。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面。一质量为m的导体棒以初速度v0向右运动，不计所有电阻。分析棒的运动情况。

生：棒运动产生电动势，给电容器充电，棒中有充电电流，棒受向左安培力减速。随着速度减小，电动势减小，但电容器电压在升高。当棒产生的电动势等于电容器两端电压时，电流为零，棒受力为零，此后棒将如何运动？

师：这是一个动态平衡过程。我们来定量分析。设某时刻棒速度为v，电容器电压为U。则回路电流i=(BLv-U)/R？但R=0，所以必须满足BLv=U，否则电流会无穷大（理想模型）。这意味着在任意时刻，电路都必须满足BLv=U。也就是说，电容器的电压始终等于棒的动生电动势。电容器的带电量q=C·U=C·BLv。而流过棒的电流i=dq/dt=CBL·dv/dt=CBL·a。对棒应用牛顿第二定律：-F安=-BiL=-B·(CBL·a)·L=-B²L²Ca=ma。整理得a(m+B²L²C)=0，所以a=0。这竟然得出加速度为零的结论！这意味着棒一开始就以v0匀速运动？这与我们的直觉矛盾。

师：这里的问题出在哪里？在于我们假设了初始时刻U=0，但v=v0，此时BLv0≠U，会产生无穷大电流，这是理想模型下的“初始冲击”。实际上，在R=0的极限情况下，这个初始时刻是无法用牛顿第二定律简单描述的。正确的分析思路是：棒确实会减速，但同时电容器电压迅速升高，这个调节过程极为迅速。我们可以从能量角度或微元法得到精确解。通过动量定理和电量关系：-∑BiLΔt=mΔv，即-BL·Δq=mΔv。而Δq=C·ΔU=C·Δ(BLv)=CBL·Δv。代入得-B²L²C·Δv=mΔv。对于微小的变化量，整理得(m+B²L²C)Δv=0。这只能推出Δv=0，说明在“无电阻”且考虑微元时，任何速度变化都会导致矛盾。这意味着，在理想无电阻、且初始时BLv0与U不匹配的情况下，系统会经历一个无限大电流的瞬时过程，使电容器电压瞬间跳变到BLv0，同时棒的速度瞬间减为某一值。这个过程实际上伴随着能量损失（以电磁波形式辐射）。但在高中阶段，我们通常处理的是“有初速且电容器初始电压为零”的情况，结论是棒最终做匀速运动，但初速会减小。更常见的模型是，给棒一个恒力，分析其运动。结论是：棒做匀加速运动！加速度a=F/(m+B²L²C)。这个结论请大家课后自行推导，它是含容单棒的经典结论。【非常重要】

2.含源单棒模型

师：将电阻R换成电源，如图，导轨一端接电动势为E0、内阻不计的电源，开关S先断开。光滑导轨，间距L，磁场B垂直纸面向里。一质量为m的导体棒静止在导轨上。闭合开关S，分析棒的运动。

生：闭合S，电源给棒供电，棒中有从b到a的电流，棒受向右安培力，开始加速。棒一动，就产生反电动势（动生电动势），方向与电源电动势相反。随着速度增大，反电动势增大，回路电流I=(E0-BLv)/R减小，安培力F=BIL减小，加速度减小。当BLv=E0时，电流为零，安培力为零，加速度为零，速度达到最大v_m=E0/(BL)。

师：精彩！这就像一个“电磁炮”的模型，安培力驱动，反电动势起抑制作用。整个过程依然是加速度减小的加速运动。

（五）融合贯通，解决真实问题【综合应用与检测】

【综合例题】（电磁感应与力学、能量、图像综合）【压轴题模拟】

如图甲，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L=0.5m，导轨平面与水平面夹角θ=30°，导轨电阻不计。导轨上端连接一个阻值R=1.0Ω的电阻，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1.0T。一根质量m=0.2kg、电阻r=0.5Ω的金属棒ab垂直于导轨放置，从距离导轨底端足够高处由静止释放。g取10m/s²。

（1）求金属棒沿导轨下滑的最大速度v_m。

（2）当金属棒下滑速度达到v_m/2时，求此时棒的加速度a。

（3）若金属棒从静止开始下滑至最大速度的过程中，流过电阻R的电荷量为q=2C，求此过程中电阻R上产生的焦耳热Q_R。

（4）若将电阻R换成一电容C=0.5F的电容器，如图乙所示，其他条件不变，求金属棒下滑的加速度a'。

师：这是一道覆盖了本节所有核心考点的综合性题目，请大家独立完成，限时20分钟。

（学生独立解题，教师巡视，个别指导）

师：我们一起来核对思路和答案。

（1）求最大速度v_m。当加速度a=0时，速度最大。此时棒受力平衡：mgsinθ=F安=BIL，其中I=BLv_m/(R+r)。联立得：mgsinθ=B²L²v_m/(R+r)。代入数据：0.2*10*0.5=(1²*0.5²*v_m)/(1.5)，解得v_m=6m/s。

（2）当v=v_m/2=3m/s时，感应电动势E=BLv=1*0.5*3=1.5V，电流I=E/(R+r)=1.5/1.5=1A。安培力F安=BIL=1*1*0.5=0.5N。沿斜面方向，由牛顿第二定律：mgsinθ-F安=ma，即1-0.5=0.2a，解得a=2.5m/s²，方向沿斜面向下。

（3）求焦耳热Q_R。流过电阻R的电荷量q=ΔΦ/(R+r)=(B·L·x)/(R+r)，其中x为下滑位移。代入q=2C，得2=(1*