初中数学七年级上册《有理数的乘法》教案 276517

初中数学七年级上册《有理数的乘法》教案

一、教学内容分析

  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视角审视，本课处于“数与代数”领域从算术思维向代数思维跨越的关键节点。在知识技能图谱上，其核心是建构“有理数乘法法则”，尤其是符号规则。学生需在理解“负负得正”合理性基础上，从“识记”法则升维至“理解”其算理，并能“应用”于各类运算情境。该内容在单元知识链中承上启下：既是对小学正数乘法及有理数加减法的巩固与质变性拓展，又是后续学习除法、乘方及整个有理数乃至实数混合运算的逻辑基石。在过程方法路径上，课标强调通过具体情境抽象数学模型，并运用归纳、类比等思维方法。这启示我们，本课应将“法则发现”过程转化为一次学生主导的、基于现实模型（如水位变化、行程问题）的数学探究活动，经历“具体情境→抽象模型→归纳规律→符号表达→解释验证”的完整数学化过程。在素养价值渗透层面，法则探索过程是发展“数学抽象”、“逻辑推理”与“数学运算”核心素养的绝佳载体。“负负得正”的认知突破，更能潜移默化地培育学生敢于质疑、严谨求证的理性精神，体会数学规则并非凭空规定，而是源于现实逻辑的自洽与和谐之美。

  基于“以学定教”原则进行学情研判，学生已具备非负有理数（正数与零）的乘法运算技能及有理数加减法的符号处理经验，这构成了新知学习的“最近发展区”。然而，从“正正得正”的经验跨越到“负负得正”的规则，是学生普遍存在的认知障碍和思维难点。常见误区包括：符号判断依赖死记硬背，算理模糊；在复杂情境中无法准确将实际问题转化为乘法算式。因此，教学调适策略必须指向搭建认知阶梯。在过程评估中，将通过前置性提问（如“-3×4可能表示什么实际意义？”）、小组探究中的观察与倾听、随堂练习的即时反馈，动态诊断学生的理解层次。针对不同层次学生：对基础薄弱者，提供更多直观模型（如数轴、温度变化）支持其理解；对思维较快者，引导其尝试解释法则的合理性或设计新的现实模型，实现差异化进阶。

二、教学目标

  知识目标：学生能准确叙述有理数乘法的运算法则，重点阐明符号的确定规则；能辨析“同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”这一核心程序，并理解零与任何有理数相乘结果为零的特殊规定；最终能运用该法则熟练、准确地进行两个有理数的乘法运算。

  能力目标：学生能够从给定的现实情境（如方向与时间、水位升降）中，抽象出有理数乘法的数学模型，并用数学算式进行表达；在小组合作探究中，通过观察多个具体算例，归纳、概括出普遍性的符号规律，发展从特殊到一般的归纳推理能力。

  情感态度与价值观目标：在探索“负负得正”这一看似反直觉的规则时，学生能保持好奇心和探究欲，体验数学逻辑的自洽与严谨之美；在小组讨论与分享中，能认真倾听同伴观点，勇于表达自己的思考，感受合作学习的价值。

  科学（学科）思维目标：重点发展数学建模与归纳推理思维。学生将实际问题中的“正”、“负”量及其变化关系，抽象为乘数的“正”、“负”符号与运算关系；通过系统性地排列、对比具体算例的输入与输出，发现并确信符号运算的确定性规律。

  评价与元认知目标：学生能在完成例题后，依据“先定符号，再算绝对值”的步骤进行自我检查；能在课堂小结环节，反思探索法则过程中所使用的方法（如举例、归纳），并评估这种方法对理解抽象规则的有效性。

三、教学重点与难点

  教学重点：有理数乘法的运算法则，特别是积的符号确定规则。其确立依据在于，该法则是整个有理数乘法运算的“大概念”和核心操作程序，直接决定了运算结果的正确性。从学业评价角度看，它是后续所有含乘法运算的基础，无论是纯计算题还是解决实际问题，都必然涉及符号的准确判断，是体现数学运算素养的关键考点。

  教学难点：理解“负数乘以负数得正”的合理性，并能在脱离具体模型后，在抽象的数字运算中自如应用符号法则。难点成因在于：第一，抽象性，学生需要超越具体情境，将符号规则内化为一种纯粹的数学运算逻辑；第二，认知冲突，“负负得正”与学生的生活直觉（如“两次亏损怎么会得到盈利？”）存在张力。突破方向在于，设计逻辑连贯的探究链，让学生亲历从具体模型归纳出规则，再用规则解释模型的自洽过程，从而完成认知建构。

四、教学准备清单

1.1.教师准备

1.2.1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态数轴演示、情境动画）、板书设计规划（左侧用于呈现探究过程与核心问题，右侧用于生成法则与例题）。

2.3.1.2学习材料：分层学习任务单（含探究记录表、分层练习）、实物投影仪。

4.2.学生准备

1.5.复习有理数的概念及加减法法则；预习课本相关引言，思考“负数乘法在生活中的可能实例”。

6.3.环境布置

1.7.学生按4人异质小组就座，便于开展合作探究。

五、教学过程

第一、导入环节

  1.情境创设，激活旧知：“同学们，我们都熟悉水库的水位变化。如果规定水位上升为正，下降为负；时间以后为正，以前为负。现在请思考：若水位每天下降3厘米，那么2天后水位变化了多少？”（学生易答：下降6厘米，即-6）。“很好，这可以用(-3)×2=-6来表示。那么，如果水位每天下降3厘米，那么2天前

的水位比现在高还是低？高（或低）多少呢？”创设认知冲突。

  1.1提出问题，明确方向：“2天前，时间方向是‘以前’，记为-2；水位变化是‘下降’，每天-3厘米。那么‘2天前的水位情况’是否可以用乘法(-3)×(-2)来表示？它的结果应该是正还是负？又该如何计算？这就是我们今天要破解的核心谜题——有理数的乘法。”

  1.2勾勒路径：“我们将像数学家一样，先为这类问题寻找几个‘现实模型’，从模型中算一算、找一找规律，然后大胆归纳，最后用我们发现的规律去解决更多问题，包括解释一开始的水库难题。”

第二、新授环节

  本环节采用支架式教学，通过五个递进任务，引导学生主动建构法则。

任务一：基于情境，建立初步感知

  教师活动：教师利用课件呈现三个连贯的现实模型：①水位变化模型（同导入）；②匀速运动模型（规定向东为正，向西为负；后为正，前为负。如：以每秒5米速度向西走，3秒后的位置？3秒前的位置？）；③温度变化模型（每小时升温/降温）。教师引导学生逐一分析，将每个情境中的两个“量”及其“正负”含义说清楚，并共同列出包含正数、负数、零的乘法算式。例如，从运动模型得出：(-5)×3=-15；(-5)×(-3)=？先存疑。

  学生活动：学生观察情境，在教师引导下口述情境含义，理解每个数字的“现实身份”。小组合作，尝试填写学习任务单上的表格，记录从不同模型中列出的算式及其基于实际意义得出的结果。对含有“负×负”的算式结果进行预测和讨论。

  即时评价标准：1.能否清晰说明情境中“正”、“负”号的具体含义。2.能否正确将情境转化为乘法算式。3.小组讨论时，成员是否都能参与对结果预测的交流。

  形成知识、思维、方法清单：①数学建模意识：实际问题中的相反意义量，可以用正负号来量化表示。②乘法意义的扩展：有理数乘法可以表示“匀速变化”的累积结果。③认知冲突点：“负×负”的实际结果与我们已有经验可能存在差距，这是探究的起点。

任务二：归纳特例，聚焦符号规律

  教师活动：教师将各小组得到的算式（如3×2=6，(-3)×2=-6，3×(-2)=-6，(-3)×(-2)=?，0×a=0等）集中展示在黑板或屏幕上。组织学生观察算式的共同特征。“大家看，这些算式就像一堆密码。我们先不看‘负×负’的，请大家聚焦前几组，看看因数符号和积的符号之间，有没有什么‘悄悄话’？”引导学生先忽略绝对值，只关注符号的变化。

  学生活动：学生观察、对比所列算式。小组内讨论：“正数乘正数，积为正；正数乘负数，积为负；负数乘正数，积为负……”。尝试用语言描述初步发现的符号规律。提出猜想：是不是“符号不同时，积为负”？

  即时评价标准：1.观察是否全面，是否涵盖了不同符号组合的案例。2.归纳出的符号规律表述是否清晰、准确。3.能否基于已有算式验证自己的猜想。

  形成知识、思维、方法清单：★符号规律猜想：同号两数相乘，积为正；异号两数相乘，积为负。（这是核心发现）▲归纳推理方法：通过观察多个具体算例的共同特征，提出一般性猜想。④零的乘法：零乘任何数都得零，这是一个特例，也符合规律（符号可视为中性）。

任务三：挑战核心，合理解释“负负得正”

  教师活动：教师回到悬念(-3)×(-2)=？。“根据刚才的符号猜想，(-3)和(-2)同号，积应该为正。但为什么是正？得数是多少？我们回到水库模型来验证一下。”动画演示：现在水位是0，每天下降3厘米（-3），那么2天前（-2）的水位，比现在应该是“高”了6厘米（因为每天下降，以前的水位更高）。所以(-3)×(-2)=+6。“哪位同学能用温度变化或运动模型，再给大家解释一遍？”邀请学生分享。

  学生活动：学生观看验证动画，理解“负负得正”在模型中的现实意义。尝试用自己小组讨论过的其他模型，向组员解释“负负得正”。部分学生可能会思考：“是不是因为‘倒退着看下降，就变成了上升’？”这种朴素的直觉正是理解的开始。

  即时评价标准：1.能否理解教师演示的验证过程。2.能否用自己的话，借助一个模型解释“负负得正”。3.在倾听同伴解释时，是否表现出理解或提出疑问。

  形成知识、思维、方法清单：★“负负得正”的合理性：基于现实模型的一致性，验证了符号猜想的正确性，完成了认知闭环。⑤模型验证的价值：数学规则需要逻辑自洽，现实模型是验证猜想合理性的有力工具。▲演绎思维萌芽：将普遍猜想应用于特定情境进行验证。

任务四：抽象概括，形成完整法则

  教师活动：“经过以上探索，我们已经找到了有理数乘法的‘密码本’。现在，谁能完整地告诉大家，如何进行两个有理数的乘法运算？”引导学生从“符号”和“绝对值”两个维度进行总结。教师板书学生的表述，并精炼成标准法则：“有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。”“这个发现太重要了，我们给它起个名字叫‘有理数乘法符号法则’，它是我们今天最大的收获！”

  学生活动：学生尝试用精炼的数学语言概括法则。齐声朗读法则，加深印象。对照之前列举的所有算式，用法则重新计算一遍，确认其普适性。

  即时评价标准：1.概括的法则是否完整、准确，涵盖符号和绝对值两方面。2.能否意识到法则是前面所有探索活动的结晶。3.朗读与复述的准确性。

  形成知识、思维、方法清单：★有理数乘法法则（最终版）：明确“先定符号，后算绝对值”的操作步骤。⑥数学语言的精确性：用简洁、无歧义的语言概括数学规律是数学交流的关键能力。★核心操作程序：“定号→绝对值相乘”→得出结果。

任务五：初步应用，巩固运算程序

  教师活动：教师出示首批例题：①(-4)×7；②6×(-3)；③(-5)×(-9)；④(-0.5)×0.25；⑤0×(-100)。“现在，请运用我们的法则，像一位严谨的工程师一样，按步骤计算。特别提醒：负分数、小数也一样，先看它们整体的符号。”巡视指导，关注学生是否遵循步骤。

  学生活动：学生独立计算。每完成一题，在心中或口头默念步骤：“第一步，符号是…，所以积的符号是…；第二步，绝对值相乘是…；所以结果是…”。完成后与同桌交换检查。

  即时评价标准：1.计算过程是否体现清晰的“两步走”步骤。2.结果的符号和数值是否正确。3.在检查同伴作业时，能否指出其步骤或计算上的错误。

  形成知识、思维、方法清单：⑦程序化操作训练：通过例题将法则具体化为可执行的操作步骤。▲易错点预警：计算绝对值时，勿与加减法混淆；带分数应先化为假分数。⑧法则的普适性：法则对整数、分数、小数均适用。

第三、当堂巩固训练

  设计分层、变式训练体系，并提供即时反馈。

  基础层（全员通关）：计算题组：(-7)×8，5×(-12)，(-0.25)×(-4)，(-2/3)×(9/4)。“这组题是法则的直接应用，请大家确保一步不错，全对的同学给自己点个赞！”

  综合层（情境应用）：1.某气象站观测到，山顶气温随高度变化规律为：每升高100米，气温下降0.6℃。已知山脚气温为2℃，那么比山脚低500米的山谷处气温是多少？（引导学生用负数表示“低”）。“这道题需要你把文字‘翻译’成带符号的算式，试试看！”

  挑战层（思维拓展）：1.已知|a|=3，|b|=5，且ab<0，求a+b的值。2.（开放题）请你自己创设一个生活情境，用(-2)×(-3)=6这个算式来描述。

  反馈机制：基础层练习采用同桌互批，教师投影正确答案快速核对。综合层和挑战层，邀请不同学生上台板书或讲解思路。教师重点讲评综合层问题的“建模”过程，分析挑战层题目中如何运用绝对值和非负数的知识。对开放题答案进行展示分享，肯定学生的创造性。

第四、课堂小结

  引导学生进行结构化总结与元认知反思。

  知识整合：“请同学们用1分钟时间，在笔记本上画一个简单的思维导图，中心是‘有理数的乘法’，延伸出‘法则内容’、‘探索过程’、‘注意事项’、‘典型例题’几个分支。”随后请一位学生分享。

  方法提炼：“回顾今天这节课，我们是如何发现并确信这个乘法法则的？（生：举例子、找规律、用模型验证）对，这就是从特殊到一般，再从一般回到特殊的数学研究方法。‘大胆猜想，小心求证’，这八个字送给大家。”

  作业布置与延伸：【必做】1.课本对应节次练习题（巩固法则）。2.整理课堂笔记，用颜色笔标出法则和易错点。【选做】1.查阅数学史资料，了解“负负得正”法则在历史上是如何被确立的。2.思考：三个有理数相乘，积的符号如何确定？试着举例子找规律。“今天的探索告一段落，但有理数的运算世界才刚打开大门。下节课，我们将看看这些法则在连乘和混合运算中如何大显身手。”

六、作业设计

1.基础性作业（必做）：

1.2.计算下列各题：(1)(-9)×6；(2)4×(-7.5)；(3)(-2/5)×(-5/8)；(4)0×(-13.2)；(5)(-1)×(-1)。

2.3.填空：（1）两数相乘，同号得____，异号得____，并把____相乘。（2）一个数与-1相乘，等于它的____。

4.拓展性作业（建议大多数学生完成）：

1.5.某冷冻厂的一个冷库温度为-2℃，现有一批食品需要在-18℃下冷藏。如果此冷库每小时能降温4℃，几小时后能达到所需温度？请列出算式并计算。

2.6.写出一个与“在东西向的马路上，以每秒2米的速度向西走，5秒前的位置在现在位置的东边10米”相符的有理数乘法算式。

7.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

1.8.“法则推广员”：仿照课本或课堂上的模型，设计一个新的、有创意的现实情境或故事，用来解释“（-4）×（-3）=12”这个算式。可以绘图或文字描述。

2.9.“小小研究员”：不通过具体计算，仅根据有理数乘法法则，判断下列各式的积是正数、负数还是0？并说明理由。(-2)×(-3)×(-4)；(-1)×(-2)×(-3)×(-4)；(-5)×0×(+100)。你发现了什么规律？能试着总结一下多个非零有理数相乘的符号法则吗？

七、本节知识清单、考点及拓展

1.★有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。这是本课最核心的规则，所有运算的基石。

2.★运算步骤：先确定积的符号，再计算绝对值的积。这是避免符号错误的关键操作程序。口诀：“先看符号，再算大小”。

3.“负负得正”的理解：这是本课认知难点。需结合匀速运动、水位变化等模型，理解其逻辑合理性，而非机械记忆。关键在于理解“负号”表示相反的方向或变化趋势。

4.▲乘数为-1的特性：一个数同-1相乘，得到这个数的相反数。即a×(-1)=-a。这是乘法法则的一个直接推论，也是快速计算和变换的工具。

5.★倒数的预备：乘积是1的两个数互为倒数。在学习乘法后，自然引出倒数的概念，如2和1/2，-3和-1/3。注意：0没有倒数。

6.带分数的运算：进行乘法运算前，通常将带分数化为假分数，以便于约分和计算。如(-1又1/2)×(2/3)应先化为(-3/2)×(2/3)。

7.小数与分数的混合运算：可根据情况统一化为分数或小数进行计算。化为分数时，注意小数部分的位数，如0.25=1/4，0.125=1/8。

8.▲多个有理数连乘的符号规律（拓展）：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

9.易错点：符号与绝对值分离：常见错误如(-2)×(-3)=-6，错误地将符号规则（同号得正）与绝对值计算（2×3=6）的结果简单拼接，却忽略了符号规则本身已决定了结果符号。

10.易错点：与加法混淆：如计算(-2)+(-3)误用乘法法则得+6。需时刻区分运算种类，加法是“同号相加，符号不变，绝对值相加”。

11.考点：直接计算：给出两个有理数进行乘法运算，考察法则的直接应用，是基础且高频的考点。

12.考点：在简单实际问题中列式计算：如温度变化、行程问题、利润盈亏等，考察将实际问题抽象为有理数乘法算式的能力。

13.考点：与绝对值、相反数等概念结合：如已知|a|=3,b是-2的相反数，求ab的值。考察知识的综合运用。

14.考点：规律探究题：如观察一系列乘积的符号变化规律，或结合数轴上的点运动进行判断。

15.学科方法：数学建模：将现实世界中的相反意义量和累积关系，用正负数及乘法运算符号化、公式化。

16.学科方法：从特殊到一般的归纳：通过有限个具体算例，观察、比较、归纳出具有普遍性的数学规律。

17.学科思维：符号意识：理解运算符号（×）和性质符号（+、-）的双重身份及相互作用，是代数思维的核心。

18.素养指向：数学运算：准确、熟练地依据法则进行运算，并理解运算的算理。

19.素养指向：逻辑推理：在探索和验证法则的过程中，进行合情推理和初步的演绎推理。

20.数学文化链接（拓展）：“负负得正”在数学史上并非天然成立，经历了长期的争论与验证。可鼓励学生了解刘徽、笛卡尔等数学家的工作，体会数学规则的严谨性。

八、教学反思

  （一）目标达成度评估：本课预设的知识与能力目标达成度较高。通过课堂观察和随堂练习反馈，绝大多数学生能准确复述法则并按步骤正确计算基础题型。在“解释‘负负得正’”环节，部分学生虽能复述模型，但眼神中仍透露出些许困惑，这表明“理解合理性”这一深层目标仅对部分学生完全实现，需在后续练习和应用中持续深化。情感与思维目标方面，学生在小组探究中表现积极，能进行有效讨论，初步体验了归纳推理的过程，基本达成预期。

  （二）环节有效性分析：

  1.导入环节：水库情境成功地制造了认知冲突，激发了学生的探究欲。“2天前的水位”问题迅速将学生拉入核心思考，效率较高。

  2.新授环节（任务链）：五个任务构成的支架总体有效。“任务一（建模）”奠定了理解的现实基础，但时间稍显紧张，少数小组未能充分消化所有模型。“任务二（归纳）”是课堂气氛的活跃点，学生自己“发现”规律，成就感强。“任务三（解释）”是关键转折，动画演示直观有力，但若能让更多学生上台用自己语言操作演示，参与感会更强。“任务四（概括）”和“任务五（应用）”水到渠成，巩固了学习成果。

  3.巩固与小结环节：分层练习满足了不同需求，挑战题吸引了学有余力学生的兴趣。小结时的思维导图尝试，有助于知识结构化，但初次使用，学生绘制水平参差，需在日后常态化训练。

  （三）学生表现深度剖析：课堂中明显呈现出层次差异。约70%的学生（主流群体）能紧跟任务链，顺利完成建构与应用。约20%的学优生不满足于法则本身，在任务三中主动寻求更多模型解释，在挑战题中表现出色。另有约10%的学生（基础薄弱者）在符号规律的归纳和“负负得正”的理解上存在滞后，他们更多依赖于模仿和记忆步骤。“在巡视时，我发现小A同学一直对着‘(-3)×(-2)’皱眉，我蹲下来问他：‘是不是觉得两次‘不好’的东西乘起来变成‘好’的，有点奇怪？’他点了点头。这正是教学需要着力突破的地方。”针对后者，除了课堂个别指导，需要在课后作业反馈和下一课时前给予更多关注。

  （四）教学策略得失与改进：

  得：1.坚持了“再创造”的教学理念，将法则发现权还给学生，探究主线清晰。2.差异化体现在任务设计的开放度（如模型解释）和练习的分层上，照顾了多样性。3.多媒体与传统板书结合得当，板书形成