初中七年级数学三角形高线、中线、角平分线知识清单

初中七年级数学三角形高线、中线、角平分线知识清单▲【核心素养定位】本章节属于“图形与几何”领域的基石内容，是后续学习三角形全等、相似、以及四边形性质的基础。学段目标要求学生不仅要掌握“三线”的文字语言定义，更要能熟练进行图形语言（会画图）和符号语言（会表示）的转换，发展空间观念和几何直观。【重要】【基础】一、三角形的核心元素与“三线”概览（一）三角形的再认识由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。【基础】△ABC的三边有时也用a,b,c表示。顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。顶点A处的内角为∠A，顶点B处的内角为∠B，顶点C处的内角为∠C。三角形的三条重要线段：高线、中线、角平分线，统称“三角形三线”。【重要】（二）“三线”基本概念辨析【核心】【基础】1、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。2、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。3、三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。★【易错警示】三角形的角平分线、中线、高线都是“线段”，而不是射线或直线。这是初学者最容易与角平分线（射线）和垂线（直线）混淆的地方。【高频考点】二、三角形的中线：等分面积的“杠杆”（一）中线的定义与符号语言【重要】如图，在△ABC中，若点D是BC边的中点，则线段AD是△ABC的中线。符号语言表达：因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC=BC，或BC=2BD=2DC，或D为BC的中点。几何推理：∵AD是△ABC的中线（已知），∴BD=DC（三角形中线定义）。（二）中线的唯一性一个三角形有三条中线，每条边上各有一条中线。三条中线所在的直线相交于一点，该点位于三角形内部，这个点叫做三角形的重心。【重要】（三）中线的核心性质——等积性【高频考点】【难点】这是三角形中线最重要的性质，也是考试中计算面积的核心工具。性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。推理：如图，AD是△ABC的中线，则S△ABD=S△ADC。证明依据：△ABD和△ADC是等底同高的两个三角形。底BD=DC，高都是从点A向BC边作垂线，高相等。（四）与中线相关的考点与题型分析1、考点：利用中线求线段长度。解题步骤：（1）识别图形中的中点或中线；（2）根据中线定义得出线段相等的关系；（3）结合已知边长，计算未知线段。2、考点：利用中线求面积。【非常高频】【典型例题剖析】题目：在△ABC中，AD是中线，若△ABD的面积为5，则△ABC的面积为多少？解析：（1）第一步：因为AD是中线，所以S△ABD=S△ADC。（2）第二步：S△ABC=S△ABD+S△ADC=5+5=10。解答要点：遇到中线，立刻联想到面积相等。3、考点：中线与周长差问题。【典型例题剖析】题目：在△ABC中，AC=5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，求BA的长度。解析：（1）第一步：写出两个三角形的周长表达式。C△ABD=AB+BD+ADC△ADC=AC+DC+AD（2）第二步：根据中线定义，BD=DC。两式相减：C△ABD—C△ADC=(AB+BD+AD)—(AC+DC+AD)=AB—AC（3）第三步：代入已知条件。AB—5=2∴AB=7(cm)解答要点：利用中线产生的公共边和中点性质，将周长差转化为边长差。三、三角形的角平分线：平分内角的“截线”（一）角平分线的定义与符号语言【基础】如图，在△ABC中，若∠1=∠2，则线段AD是△ABC的角平分线。符号语言表达：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2=∠BAC，或∠BAC=2∠1=2∠2。几何推理：∵AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAD=∠CAD（三角形角平分线定义）。（二）角平分线的唯一性一个三角形有三条角平分线，分别位于三个内角。三条角平分线相交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心。【重要】★【易错辨析】三角形的角平分线与角的平分线的区别：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段（射线上截取的在三角形内部的部分）。（三）与角平分线相关的考点与题型分析1、考点：利用角平分线求角度。【典型例题剖析】题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求∠ADB的度数。解析：（1）第一步：利用三角形内角和定理求出∠BAC。∠BAC=180°—∠B—∠C=180°—50°—70°=60°。（2）第二步：利用角平分线定义求出∠BAD。∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°。（3）第三步：在△ABD中，利用内角和定理求∠ADB。∠ADB=180°—∠B—∠BAD=180°—50°—30°=100°。2、考点：角平分线与其他线段的综合。考查方式：常与高线、中线结合，在复杂图形中识别角平分线，并利用其性质进行等量代换。3、考点：利用角平分线的性质定理（后续学习，此处仅作拓展感知）。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。这一性质虽在七年级下册不作为重点证明，但在一些填空选择题中可用于分析线段关系。四、三角形的高线：垂直带来的“直角”（一）高的定义与符号语言【基础】如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高。符号语言表达：因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC于点D，即∠ADB=∠ADC=90°。几何推理：∵AD是△ABC的高（已知），∴AD⊥BC于D（三角形高线定义）。∴∠ADB=90°（垂直定义）。（二）高的位置分类——重难点【高频考点】【难点】这是三角形三线中最复杂、考察频率最高的部分。由于三角形的形状不同，高的位置会发生变化。1、锐角三角形：三条高都在三角形的内部。三条高交于三角形内部一点。【重要】2、直角三角形：（1）两条高恰好是两条直角边。（2）斜边上的高在三角形内部。（3）三条高的交点位于直角顶点处。【重要】3、钝角三角形：（1）只有一条高（从钝角顶点所作的高）在三角形内部。（2）另外两条高（从两个锐角顶点所作的高）在三角形的外部，即垂足落在对边的延长线上。（3）三条高所在的直线交于三角形外部一点。【重要】★【必背口诀】“高线性质要记牢，锐角内部三高交；直角高在边上跑，交点就在直角腰；钝角高线两边眺，延长线外才相交。”（三）与高线相关的考点与题型分析1、考点：判断高的位置与三角形的形状。考查方式：给出三条高交点的位置，判断三角形类型。如“若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则该三角形是直角三角形”。2、考点：利用高线求角度。【典型例题剖析】题目：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=60°，∠C=40°，求∠DAE的度数。解析：（这是三线综合的经典题）（1）第一步：求∠BAC。∠BAC=180°—∠B—∠C=180°—60°—40°=80°。（2）第二步：利用角平分线求∠BAE。∠BAE=∠BAC=40°。（3）第三步：在Rt△ABD中，利用高线（垂直）求∠BAD。∵AD是高，∴AD⊥BC，∠ADB=90°。在Rt△ABD中，∠BAD=90°—∠B=90°—60°=30°。（4）第四步：求∠DAE。∠DAE=∠BAE—∠BAD=40°—30°=10°。解答要点：高线提供了直角三角形，是计算角度的关键桥梁。3、考点：利用高线求线段长度——面积法。【非常高频】性质：同一个三角形面积的不同表示方法相等。公式：S△ABC=×底×高例如：在△ABC中，AD是BC边上的高，则S=BC·AD。同时，S也可以表示为AB·CE（若CE是AB边上的高）。解题步骤（面积法求高）：（1）先用一种底和高计算出三角形面积。（2）再设所求高为h，用另一种底和h表达面积。（3）利用面积相等列方程，解出h。【典型例题剖析】题目：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，AD=4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值。解析：（1）第一步：分析“BP最小”的含义。根据“垂线段最短”，当BP⊥AC时，BP最短。（2）第二步：利用面积法构建等式。S△ABC=×BC×AD=×6×4=12。同时，S△ABC=×AC×BP=×5×BP。（3）第三步：列方程求解。×5×BP=12BP==4.8解答要点：面积法是解决此类问题的“通法”，将动态问题转化为静态计算。五、三角形“三线”的综合应用与对比（一）三线的对比一览表【核心归纳】【重要】（二）三线综合题的解题策略1、识别角色：在复杂图形中，首先要准确判断题目给出的线段是哪一种“线”，是高（垂直）、中线（中点）还是角平分线（等角）。2、标记已知：在图上用符号标出相等的角、相等的线段、垂直符号。3、寻找桥梁：综合题中，常通过三角形内角和定理、外角定理、邻补角等作为计算的桥梁。4、面积法的妙用：当题目中出现多条高或需要求垂线段长度时，首选面积法。（三）常见的考查方式与题型1、选择题：辨析概念（如“三角形的角平分线是一条射线”这种错误说法）；判断高的交点位置；计算角度。2、填空题：利用中线求面积差、周长差；利用高和角平分线求角度。3、解答题：（1）作图题：要求用尺规或三角板画出指定三角形的高、中线或角平分线（特别注意钝角三角形的高在形外）。（2）计算证明题：综合运用内角和定理及三线定义进行多步推理计算。六、解题技巧与易错点专项突破（一）关于高的易错点1、错误认为所有三角形的高都在三角形内部。对策：一定要养成画图分类讨论的习惯。看到“高线”二字，首先考虑三角形的形状。尤其是钝角三角形，其两条高在三角形外。2、画钝角三角形的高时，垂足位置找不准。对策：延长底边，过顶点作对边所在直线的垂线，垂足在延长线上。（二）关于中线的易错点1、混淆重心和中线的性质。对策：中线是一条线段，重心是一个点，重心是三条中线的交点。任何一条中线都把三角形分成面积相等的两部分，但重心把中线分成的两条线段之比为2:1（七年级暂不要求）。2、中线等积模型的应用不灵活。对策：记住“遇中点，想等积”。在复杂图形中，如果遇到多个中点，可以逐步转化面积。（三）关于角平分线的易错点1、符号语言书写不规范。对策：严格区分“∠BAD=∠DAC”和“∠BAD=∠DAC=∠BAC”。后者只有当角平分线恰好将角平分时才成立。2、忽视三角形角平分线的线段属性，错误地用到了角平分线的性质定理（距离相等）去解决现阶段无法证明的问题。对策：七年级阶段，角平分线只能用来提供角的相等关系，不能用来证明线段相等（除等腰三角形三线合一外，但那是后续内容）。（四）分类讨论思想的应用1、在未明确三角形形状时，讨论高的位置。例如：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求顶角的度数。此时必须分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论。七、章末检测与达标训练（模拟题型）（一）基础巩固题1、【概念辨析】下列说法正确的是（）A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高线总是在三角形内部C.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形D.过三角形的顶点画一条直线，就是三角形的高2、【基础计算】如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高。填空：（1）若BD=3cm，则BC=cm。（2）若∠BAC=80°，则∠CAE=°。（3）若∠B=55°，则∠BAD（指高线产生的角）=______°。（二）能力提升题