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初升高《完美衔接》数学学科第四篇数学思想与方法12衔接目标3知识梳理典例探究4第18讲配方法与换元法自主训练衔接目标返回目录知识梳理返回目录1.配方法配方法是将一个数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而达到解决数学问题的目的.何时配方,需要我们具体分析,并且合理地运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧完成配方.有时也将其称为“配凑法”.最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于在已知或者未知条件中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:

2.换元法换元法又称变量替换法,即根据所要求解的问题的结构特征,巧妙地设置新的变量来替代原问题中的某些式子或变量,对新的变量求出结果后,再返回去求解原问题.换元法的实质是转化,关键是构造元和设元.目的是通过换元来变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,最终使原问题得以解决.通过换元,可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式.换元法在研究方程、不等式、函数以及我们将要学习的高中数学的其他问题(如数列、解析几何、导数等)中都有广泛应用.典例探究返回目录探究一配方法在求最值中的应用例1求函数y=-2x2-4x+5(-2≤x≤3)的最大值与最小值.【解析】配方得y=-2(x+1)2+7,该函数的图象是一条开口向下,对称轴为直线x=-1的抛物线.因为-2≤x≤3,所以当x=-1时,函数取得最大值,最大值为7;当x=3时,函数取得最小值,最小值为-25.【总结】本题是求二次函数的最值问题,在高中还有进一步的深入学习,如求含参数的二次函数的最值问题.

探究二配方法在证明题中的应用例2已知a,b,c,d为正数,且a4+b4+c4+d4=4abcd,求证:a=b=c=d.【解析】因为a4+b4+c4+d4-4abcd=0,所以(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0,所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.又因为(a2-b2)2≥0,(c2-d2)2≥0,(ab-cd)2≥0,所以a2-b2=0,c2-d2=0,ab-cd=0.又因为a,b,c,d为正数,所以a=b=c=d.【总结】本题与高中数学中重要的均值不等式有关.已知实数a,b满足a2-ab+b2=2,求证ab≤2.【解析】因为a2-ab+b2=2,所以2-ab=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,所以ab≤2.探究三换元法在解方程中的应用

∴原方程的根是x1=-1,x2=1.【总结】用换元法解分式方程是常用的方法之一,它能够使方程化繁

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