工程基础及控制 12

第四章根轨迹法主讲:翁正新

根轨迹的基本概念根轨迹的绘制方法基于根轨迹的性能分析开环零极点的增加及移动对根轨迹的影响04August20262of61本章要点闭环系统的相对稳定性和动态性能与闭环系统的极点分布有直接的关系，因此可以根据闭环系统的极点分布来研究控制系统的性能。04August20263of61根轨迹的基本概念问题：系统参数变化时，闭环系统的极点是如何变化的？Evans提出的根轨迹法能够反映闭环系统的极点随系统参数变化的情况。04August20264of61根轨迹的基本概念考虑当时，上述方程的根的轨迹称为常规根轨迹，简称根轨迹当时，上述方程的根的轨迹称为补根轨迹或余根轨迹04August20265of61根轨迹的基本概念考虑当时，上述方程的根的轨迹称为完全根轨迹简称全根轨迹当方程有一个以上的参数变化时，方程的根轨迹形成簇，称为广义根轨迹或根轨迹簇04August20266of61根轨迹的基本概念考虑本课程中，要求掌握常规根轨迹的绘制方法04August20267of61根轨迹的基本概念04August20268of61根轨迹的幅值条件和相角条件如果它是闭环系统的特征方程，则用不含Kr的项去除方程两侧，可得：04August20269of61因此，系统的开环传递函数为：令根轨迹的幅值条件和相角条件04August202610of61则称为根轨迹方程。根轨迹的幅值条件和相角条件04August202611of61由根轨迹方程可得幅值条件和相角条件幅值条件相角条件根轨迹的幅值条件和相角条件例一04August202612of61即：K幅值条件：

相角条件：

04August202613of61特征根：例一04August202614of61ReIm-20-1K=0K=0K=1例一04August202615of61ReIm-20-1K=0K=0K=1s1

例一根轨迹法是利用开环零点、极点在s平面上的分布，通过图解的方法求取闭环极点的位置。凡是根轨迹上的点必定满足幅值条件和相角条件。满足相角条件的点必定在根轨迹或补根轨迹上。04August202616of61RemarksRule1:

根轨迹的分支数＝max{m,n}，式中，m和n分别为系统开环传递函数分子和分母的阶次。04August202617of61根轨迹的绘制方法ReIm-20K=0K=0Rule2:

根轨迹对称于s平面的实轴。Rule3:

根轨迹起始于开环传递函数的极点。当n>=m时，起点都是开环传递函数的有限值极点。当n<m时，有(m-n)个起点位于无穷远处，其余n个起点在开环传递函数的有限值极点处。04August202618of61ReIm-20K=0K=0根轨迹的绘制方法Rule4:

根轨迹终止于开环传递函数G(s)H(s)的零点。当m>=n时，终点都在G(s)H(s)的有限值零点处

当m<n时，有m个终点在G(s)H(s)的有限值零点处，其余(n-m)个终点在无穷远处。04August202619of61ReIm-20K=0K=0根轨迹的绘制方法Rule5:

实轴上根轨迹右边的开环实极点与实零点的个数和为奇数。04August202620of61ReIm-20根轨迹的绘制方法Rule6:

如果根轨迹趋于无穷远，则必沿着一组渐近线趋向于无穷远。根轨迹渐近线与实轴的夹角为：渐近线与实轴的交点坐标为：04August202621of61ReIm-20根轨迹的绘制方法Rule7:

根轨迹在开环复极点与开环复零点处的出射角和入射角。根轨迹的出射角：根轨迹的入射角：和为需求出射（入射）角的复数极（零）点到其他极点和零点的幅角。04August202622of61根轨迹的绘制方法Rule8:

根轨迹与虚轴的交点和交点处的Kr值。利用劳斯判据确定用jω替代特征方程中s,令方程中的实部和虚部分别为零，形成方程组。然后求解此方程组，可得全根轨迹与虚轴相交时的ω和Kr.04August202623of61jω?-jω根轨迹的绘制方法Rule9:

根轨迹的分离点是特征方程的重根点规则：根轨迹的分支进入和离开分离点的角度为根轨迹上的分离点必须满足04August202624of61根轨迹的绘制方法由于根轨迹的对称性，复分离点必共轭出现。因为分离点为特征方程的重根点，所以三阶及低于三阶的系统不可能具有复分离点。04August202625of61根轨迹的绘制方法Rule10:

根轨迹上Kr值的确定04August202626of61根轨迹的绘制方法Rule11:

若n-m>=2,系统所有闭环特征根之和等于常数，即等于开环极点之和；对n>=m的系统，所有闭环特征根之积乘以(-1)n等于闭环特征方程常数项。04August202627of61根轨迹的绘制方法系统的特征方程如下，试绘制其根轨迹系统的零极点形式04August202628of61例二分支数：4起点：0，-4，-4±4j；

终点：∞实轴上的根轨迹：(-4,0)分离点：04August202629of61例二渐近线04August202630of61例二与虚轴的交点

系统的特征方程

列写劳斯表04August202631of61例二复极点处的出射角04August202632of61例二04August202633of61例二MatlabFunction04August202634of6104August202635of61MatlabFunction已知某单位负反馈系统的开环传递函数为(1)试绘制该系统根轨迹的大致图形(2)在图中分别标出临界阻尼点和临界稳定点(3)基于根轨迹分析系统的稳定性基于根轨迹的性能分析04August202636of6104August202637of611-2-3-4/3-0.131，Kr=10

基于根轨迹的性能分析增加极点问题1：附加一个极点或两个极点，根轨迹如何变化？04August202638of61开环零极点的增加及移动对根轨迹的影响04August202639of61结论：给开环传递函数G(s)H(s)增加极点的作用是使根轨迹向右半s平面推移，使系统稳定性变差。开环零极点的增加及移动对根轨迹的影响增加零点问题2：增加一个零点，根轨迹如何变化？04August202640of61开环零极点的增加及移动对根轨迹的影响04August202641of61结论：对开环传递函数G(s)H(s)增加零点的作用是使根轨迹向左半s平面移动，使系统稳定性变好。开环零极点的增加及移动对根轨迹的影响移动极点问题：a的不同取值如何影响根轨迹？04August202642of61开环零极点的增加及移动对根轨迹的影响04August202643of61a=10a=9开环零极点的增加及移动对根轨迹的影响04August202644of61a=8a=3开环零极点的增加及移动对根轨迹的影响04August202645of61a=0.5开环零极点的增加及移动对根轨迹的影响结论：极点向右移动相当于某些惯性或振荡环节的时间常数增大，使系统稳定性变