工程基础及控制 14

第五章频率响应法Lecture13

对数幅值相位图Nyquist稳定性判据对数频率特性上的稳态性能分析动态性能分析频率特性的测试和传递函数的求取2026/8/4Contents2of562026/8/4对数幅值相位图－Nicols将伯德图中的对数幅频曲线和相频曲线合并，画在以对数幅值为纵坐标，以相角为横坐标的图上。这种图形就称为对数幅-相图——Nichocls图3of562026/8/4对数幅值相位图－Nicols4of562026/8/4Nyquist稳定性判据基本思想：根据系统的开环频率特性判别闭环系统的稳定性。5of562026/8/4开环与闭环零极点间的关系令则系统闭环传递函数为6of56开环稳定性取决于G(s)H(s)的极点，即多项式Q(s)的根闭环稳定性取决于M(s)的极点，即F(s)的零点闭环稳定性与开环稳定性之间没有必然的联系2026/8/4开环与闭环零极点间的关系7of562026/8/4幅角原理F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径ΓS包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线ΓF顺时针绕原点（Z–P）圈。即

N=Z-P其中：N为圈数，逆时针为负，顺时针为正。8of562026/8/4SomeExamples9of562026/8/4SomeExamples10of562026/8/4奈氏路径

Γs

顺时针方向包围整个s右半平面。当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。

11of56F(s)平面上的奈氏判据假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面上绘制的F(s)曲线ΓF

顺时针方向绕原点的圈数N则为F(s)在s右半开平面内零点个数Z与极点个数P之差：

N=Z-P当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。2026/8/4奈氏判据12of56G(s)H(s)平面上的奈氏判据假如s沿着奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线顺时针方向绕(-1,j0)点的圈数N-1为F(s)在s右半开平面内零点个数Z-1与极点个数P-1之差：

N-1=Z-1–P-1

当Z-1=0时，闭环系统是稳定的,否则是不稳定的。2026/8/4奈氏判据13of56S=0是开环极点时的奈氏曲线

从s=-j0→+j0的奈氏路径是一个以原点为圆心，半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过原点。2026/8/414of56结论:当s从-j0转到+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过2026/8/4S=0是开环极点时的奈氏曲线15of562026/8/4s→∞的奈氏曲线令则结论：当s沿奈氏路线从+j∞到-j∞时，对n>m的系统，G(s)H(s)的奈氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过(n–m)π。16of56Example2026/8/417of562026/8/4一种简易的判别N-1的方法18of562026/8/4Examples19of56某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。2026/8/4系统稳定Examples20of56试分析下列系统的稳定性2026/8/4系统不稳定Examples21of56试分析下列系统的稳定性2026/8/4闭环系统稳定Examples22of56试分析下列系统的稳定性2026/8/4闭环系统不稳定Examples23of56试分析下列系统的稳定性2026/8/4K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。Examples24of56已知某系统开环传递函数的零点都在左半s平面，其开环频率特性曲线如下图所示，则该系统位于右半s平面的极点数为多少？2026/8/4思考题25of562026/8/4伯德图上的奈氏判据

极坐标图

伯德图单位圆 0db线（幅频特性图）单位圆以内区域 0db线以下区域单位圆以外区域 0db线以上区域负实轴 -1800线（相频特性图）

因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。26of562026/8/4伯德图上的奈氏判据27of56Example某系统有两个开环极点在S右半平面2026/8/4系统不稳定28of56定义：一系统如对某一范围的开环增益K是稳定的，而当K增大到足够大，或减少到足够小后，则成为不稳定的，我们则称该系统为条件稳定系统。2026/8/4条件稳定系统29of562026/8/4Example某K值下G(jω)H(jω)曲线，N=0，且P=0，所以系统稳定。K增大，使（-1，j0）位于c、d间，曲线顺时针包围（-1，j0）两圈，系统不稳定。K减小，使（-1，j0）位于a、b之间，曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，系统仍不稳定。K再减小，使（-1，j0）点位于a点左边，那么闭环系统又稳定了。30of56系统类型的确定低频段的斜率

系统类型0dB/dec 0型-20dB/dec Ⅰ型-40dB/dec Ⅱ型2026/8/4对数频率特性上的稳态性能分析31of56位置误差系数Kp的确定2026/8/40型系统对数频率特性上的稳态性能分析32of56速度误差系数Kv的确定2026/8/4Ⅰ型系统对数频率特性上的稳态性能分析33of56加速度误差系数Ka的确定2026/8/4Ⅱ型系统对数频率特性上的稳态性能分析34of562026/8/4动态性能分析人们常用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面上与(-1，j0)点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说，G(jω)H(jω)离开(-1，j0)点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。35of56增益裕量GM.(Kg)2026/8/4Kg大于1，系统稳定。Kg小于1，系统不稳定。Kg等于1，系统临界稳定36of56增益裕量GM.(Kg)2026/8/4用分贝作单位时Kg大于0dB,系统稳定Kg小于0dB,系统不稳定Kg等于0dB,系统临界稳定37of562026/8/4增益裕量的物理意义：为了保持系统稳定，系统开环增益所允许增加的最大分贝数。增益裕量GM.(Kg)38of562026/8/4相位裕量当γ>0时，系统稳定当γ<0时，系统不稳定当γ=0时，系统临界稳定39of562026/8/4相位裕量的物理意义为了保持系统稳定，系统开环频率特性在ω=ωc点所允许增加的最大相位滞后。相位裕量40of56Bode图上的稳定裕量2026/8/441of56利用相位裕量或增益裕量判别系统稳定性或动态性能指标时，条件为系统开环传递函数在右半s开平面无极点。条件稳定系统不用增益裕量判断它的动态性能。2026/8/4增益裕量与相位裕量42of56结论：一般而言，当L(ω)在ωc处的斜率处于-20dB/dec时，系统是稳定的；当L(ω)在ωc处的斜率处于-40dB/dec时，系统可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕量也是较小的；当L(ω)在ωc处的斜率处于-60dB/dec时，系统则肯定是不稳定的。2026/8/4相对稳定性与ωc处斜率的关系43of562026/8/4闭环频率特性品质指标谐振峰值MpM(ω)的最大值。Mp一般给出了系统的相对稳定性，它往往与系统阶跃响应的最大超调量相对应。Mp越大，最大超调量也越大。对大多数控制系统，Mp应取在1.1到1.5之间。44of562026/8/4谐振频率ωp：产生谐振峰值处的频率值。闭环频率特性品质指标45of562026/8/4带宽ωb：在M(ω)下降至零频率时的幅值M(0)值的70.7%或-3dB处的频率值。带宽越宽，系统阶跃响应的上升速度越快，但是系统对高频噪声的滤波能力越差。闭环频率特性品质指标46of562026/8/4剪切率：指M(ω)在ωb处的斜率。它反映了系统的抗高频干扰能力。一系统在ωb处的M(ω)越陡，抗高频干扰能力越强。闭环频率特性品质指标47of562026/8/4二阶系统的Mp、ωp和ωb48of562026/8/4二阶系统的Mp、ωp和ωb49of562026/8/4二阶系统的Mp、ωp和ωb50of562026/8/4二阶系统的Mp、ωp和ωb51of56对系统开环施加不同幅值和角频率的正弦信号，测量输入端与反馈环节输出端的幅值及输出端的相移。画出实验得到的对数幅频曲线及相频曲线用折线近似实验所得到的对数幅频曲线。渐近线的斜率必须是±20dB/dec的倍数由低频段决定系统类型及静态增益决定最小相位系统零、极点，求出各个角频率。2026/8/4频率特性的测试和传递函数的求取52of56判断系统是否最小相位系统。高频末端对数幅频曲线的斜率应是-20(n-m)dB/dec,由此求出(n-m)。如实验相位曲线在高频末端的相位量为-(n-m)90◦

，系统则为最小相位系统，否则，便为非最小相位系统。2026/8/4频率特性的测试和传递函数的求取53of56决定非最小相位系统的传递函数。如果高频末端实验得到的相角比计算所得小180◦

，那么传递函数