工程基础及控制 15

第二章控制系统的数学模型Lecture3物理系统的线性逼近Laplace变换线性系统的传递函数04August20262of50Whatwewilllearntoday物理系统的线性逼近叠加性齐次性线性系统：同时满足叠加性和齐次性的系统04August20263of50y=x2是线性还是非线性？

非线性，因为不满足叠加性和齐次性。04August20264of50物理系统的线性逼近y=mx+b

是线性还是非线性?

非线性，因为不满足叠加性和齐次性。

然而，在工作点x0、y0附近，对于微小变化Δx和Δy，可视为线性关系04August20265of50物理系统的线性逼近04August20266of50物理系统的线性逼近若x=x0+Δx时，y=y0+Δy，则y=mx+b或y0+Δy=mx0+mΔx+b考虑到y0=mx0+b，有Δy=mΔx满足叠加性和齐次性线性逼近:

用线性模型近似输出和输入之间的关系。Taylorseries（泰勒级数）04August20267of50物理系统的线性逼近04August20268of50ThedisplacementofmassMfromthepositionofzerospringforce工作点是弹簧的弹力与重力平衡时的平衡位置，即：小偏差线性模型是：物理系统的线性逼近04August20269of50质量块M产生的力矩平衡位置为：线性化模型为：物理系统的线性逼近用传递函数建模线性时不变系统将微分方程转变成代数方程操作计算方便04August202610of50Laplace变换IsLaplaceTransformUseful?函数f(t)的Laplace变换定义为：反Laplace变换定义为：联系04August202611of50Laplace变换Laplace变换的特性线性特性时延04August202612of50时间缩放频率偏移04August202613of50Laplace变换的特性微分积分04August202614of50Laplace变换的特性卷积04August202615of50Laplace变换的特性初值定理终值定理04August202616of50Laplace变换的特性时间函数乘积时间函数与时间乘积04August202617of50Laplace变换的特性示例求函数f(t)=5u(t)+3e-2t的拉氏变换解:04August202618of5004August202619of50求F(s)=5/(s2+3s+2)的反拉氏变换解:04August202620of50示例求F(s)=(2s+3)/(s3+2s2+s)的反拉氏变换解:04August202621of50示例在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为系统的传递函数。04August202622of50传递函数传递函数的时间常数表达式K为稳态增益04August202623of50传递函数传递函数的零极点表达式04August202624of50Kr为增益因子，若为开环传递函数，则称为根轨迹增益传递函数传递函数的性质传递函数只与系统或元件本身内部结构参数有关，与输入量、初始条件等外部因素无关常规系统的传递函数分母的阶次大于等于分子的阶次传递函数不能反映系统或元件的物理组成，物理性质截然不同的系统或元件，可以由相同的传递函数04August202625of50传递函数传递函数的拉氏反变换就是系统的单位脉冲响应。反之，系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的传递函数。传递函数仅适用于线性定常系统或元件04August202626of50传递函数方法一列写元件或系统的微分方程在零初始条件下对方程进行拉氏变换取输出与输入的拉氏变换之比方法二利用频率特性法，以实验进行测定04August202627of50传递函数的求取方法方法三

利用系统的单位脉冲响应求系统的传递函数测量系统的单位脉冲响应对单位脉冲响应作拉氏变换，即得系统传递函数04August202628of50传递函数的求取方法04August202629of50Spring-mass-dampersystem微分方程：Laplace变换传递函数传递函数的求取方法04August202630of50RCnetwork基尔霍夫电压方程：传递函数为:传递函数的求取方法微分方程的一般形式

传递函数为特征方程为04August202631of50传递函数的求取方法求解微分方程

，初始条件04August202632of50解:方程两边取Laplace变换，得：部分分式分解，得：由反拉氏变换得：传递函数的求取方法04August202633of50Operationalamplifiercircuit由基尔霍夫电流定律可得：传递函数为：传递函数的求取方法04August202634of50Input:r(t)output:v1(t)由牛顿第二定律可得：传递函数的求取方法04August202635of50DCmotor传递函数的求取方法电磁力矩为：

这里Ia

为电枢电流，Km

为电磁力矩常数。.由基尔霍夫电压定律可得：负载力矩方程由牛顿第二定律可得：04August202636of50Fieldcurrentcontrolledmotor传递函数的求取方法Td(s)=0时，传递函数为：方块图为：04August202637of50传递函数的求取方法电磁力矩为：

由基尔霍夫电压定律可得：反电势为：由牛顿第二定律可得：04August202638of50Armature-controlledmotor传递函数的求取方法Td(s)=0时，传递函数为：方块图04August202639of50传递函数的求取方法比例环节特点：输出量与输入量成比例，无失真和时间延迟实例：电子放大器、齿轮、电位计、杠杠机构04August202640of50典型环节传递函数惯性环节特点：含有一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。实例：04August202641of50典型环节传递函数微分环节特点：输出量正比于输入量变化的速度，能预示输入信号变化的趋势实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数关系04August202642of50典型环节传递函数积分环节输出量与输入量的积分成比例，当输入消失后输出仍具有记忆能力实例：电动机角速度与角度04August202643of50典型环节传递函数振荡环节特点：有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡实例：RLC网络04August202644of50典型环节传递函数纯时间延迟环节特点：输出量能准确复现输入，但需延迟一个固定的时间实例：管道的温度、流量等04August202645of50典型环节传递函数检测元件

电位计：用于把角位移或线位移转换成电压。采用两个完全相同的电位计可以检测位移差。04August202646of50

自整角机：由一个发送器和一个接收