2026年秋新九年级数学上册暑期预习：一元二次方程(知识点回顾+题型练习)(北师大版)

1一元二次方程（12知识点回顾+27题型练习）题型汇聚题型一一元二次方程的定义题型二化成一元二次方程的一般式题型三判断是否是一元二次方程题型五判断是否是一元二次方程的解题型七一元二次方程的解的估算题型八解一元二次方程——直接开平方法题型九解一元二次方程——配方法传播问题(一元二次方程的应用)增长率问题(一元二次方程的应用)与图形有关的问题(一元二次方程的应用)数字问题(一元二次方程的应用)动态几何问题(一元二次方程的应用)工程问题(一元二次方程的应用)行程问题(一元二次方程的应用)其他问题(一元二次方程的应用)握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）根据判别式判断一元二次方程根的情况根据一元二次方程根的情况求参数知识清单2（2）概念解析：（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理）．二次方程的一般形式.（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.），如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x=±;如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m=±.3注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.③方法是根据平方根的意义开平方.1、用配方法解一元二次方程.配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值.关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方.（1）把xb2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.4）；）；利用一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况.一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；上面的结论反过来也成立.因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.次方程的问题了（数学转化思想）.①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.5=,反过来也成立，即=﹣（x1+x2），＝x1x2.确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程.1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答.）；项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.角三角形的性质列方程求解.【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未6题型练习题型一一元二次方程的定义1．下列一元二次方程中，一次项系数为3的是()【答案】【答案】B【知识点】一元二次方程的定义 次项，b是一次项系数；c是常数项”，熟练C、x2-3x=0中的一次项系数为-3，则此项不符合题意；【答案】1【答案】1【知识点】一元二次方程的定义【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得7题型二化成一元二次方程的一般式3．方程x2-3x=2的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()【答案】【答案】B【知识点】化成一元二次方程的一般式【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键.【详解】解：方程整理成一般式为x2-3x-2=0，故选：B.题型三判断是否是一元二次方程4．下列方程中，属于一元二次方程的是()2【答案】【答案】B【知识点】判断是否是一元二次方程【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只程解答即可，掌握定义也是解题关键.285．方程(x+1)2=-2x+3化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A．1，-2，3B．1，4，-2【答案】【答案】B【知识点】由一元二次方程的定义求参数【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及其相关定义，掌握一元二次方程的有关概念是解题的关键；先把:x2+2x+1=-2x+3，:x2+4x-2=0，:方程(x+1)2=-2x+3化为一元二次方程的故选：B.6．若关于x的一元二次方程3x2+x【答案】5【答案】5【知识点】由一元二次方程的定义求参数【详解】解：3x2+x-2=ax(x-2)，3x2+x-2=ax2-2ax，9题型五判断是否是一元二次方程的解7．已知a是方程x2-2x-8=0的一个根，则代数式2a2-4a-8的值为.【答案】【答案】8【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解根据一元二次方程的解的定义可得a2-2a-8=0，即a2-2a=8，然后将2a2-4a-8变形为2(a2-2a)-8，再将a2-2a=8代入求值即可.【详解】解：Qa是方程x2-2x-8=0的一个根，:a2-2a-8=0，:a2-2a=8，:2a2-4a-8(a2-2a)-8故答案为：8.=-2是关于x的一元二次方程x2-2x-4n=0的一个根，则n的值为()A．-4B．-2C．2D．4【答案】【答案】C【知识点】由一元二次方程的解求参数【知识点】由一元二次方程的解求参数将x=-2代入一元二次方程即可求得答案.∴把x=-2代入得(-2)2-2×(-2)-4n=09．若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m-2的值.【答案】【答案】1【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数代入法求出代数式的值即可.∴2m2-3m题型七一元二次方程的解的估算高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求(x-10)(x-20)=140时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是()x(x-10)(x-20)0A．20<x<22.5B．26.25<x<27.5C．27.5<x<28.75D．28.75<x<30【答案】【答案】C【知识点】一元二次方程的解的估算即在求(x-10)(x-20)=140时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是27.5<x<28.75，题型八解一元二次方程——直接开平方法11．方程x2-9=0的根为.【知识点】解一元二次方程——直接开平方法【分析】此题考查了解一元二次方程，移项，然后利用直接开平方法求解即可.【详解】x2-9=0x2=912．用适当的方法解方程：x2-6x+9=(3【知识点】解一元二次方程——直接开平方法【分析】本题考查了解一元二次方程．先把方程的左边利用完全平方公式变形为(x-3)2，再直接开平方得到两个一元一次方程，进而求解.【详解】解：原方程可变形为：【详解】解：原方程可变形为：(x-3)2=(3-2x)2，直接开平方得：x-3=3-2x或x-3=-(3-2x)，题型九解一元二次方程——配方法13．一元二次方程x2-4x-5=0配方可变形为()【答案】A【知识点】解一元二次方程——配方法【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法进行求解.【详解】解：x2-4x-5=0【答案】【答案】x1=4+，x2=4-.【知识点】解一元二次方程【知识点】解一元二次方程——配方法【分析】本题考查了解一元二次方程．利用配方法解一元二次方【分析】本题考查了解一元二次方程．利用配方法解一元二次方程即可.移项得移项得x2-8x=-6，解得x解得x1=4+，x2=4-.题型十配方法的应用15．把x2-4x+1化成(x-h)2+k（其中h，k是常数）形式的结果为()A．(x-2)2-3B．(x-4)2-15【答案】【答案】A【详解】解：x2-4x+12-4x+4-3解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此ílx-1ì3x+lx-1②解①得：无解，解②得：-2<x<1所以原不等式的解集是-2<x<1【答案】-【答案】-1≤x≤3【知识点】因式分解的应用、配方法的应用、x2-2x-3≤0，再转化为一元一次不等式组，进一步计算即可求解.2整理得：x2-2x-3≤0，ìx+1≤0ìx+1≥0lx-3≥0lx-3≤0题型十一根据判别式判断一元二次方程根的情况17．一元二次方程x2+4x+1=0中，该方程的根的情况是()【答案】【答案】B【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况x*(x-2)=0，则此方程（填“有两个不相等”“有两个相等【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况程没有实数根．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根求解.:此方程没有实数根，故答案为：没有.题型十二根据一元二次方程根的情况求参数19．已知关于x的一元二次方程x2+2x-m+3=0有实数根，则m的取值范围是()【答案】【答案】C【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一元二次方程根的情况求参数根据题意得到22-4(-m+3)≥0，解得m≥2，即可得到答案.:22-4(-m+3)≥0，:m≥2，20．已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-3=0(2)若x=-1是方程的根，求k的值.【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数解得：k≥-2，解得：k=0或k=-2.题型十三公式法解一元二次方程【答案】-b±b24ac2a【答案】【知识点】公式法解一元二次方程【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．根据求根公式求解即可.故答案为：-b±b24ac.2a(1)x2(2)3x2-x-1=0（公式法）【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次.2（2）解：3x2-x-1=0题型十四因式分解法解一元二次方程23．方程x2=2x的根是()【答案】【答案】D【知识点】因式分解法解一元二次方程【详解】解：x2=2x，移项得：x2-2x=0，(1)x(x-1)=2x-2；2【知识点】因式分解法解一元二次方程（1）将原方程整理为(x-1)(x-2)=0，然后利用因式【详解】（1）解：x(x-1)=2x-2，x(x-1)-2(x-1)=0，∴(x-1)(x-2)=0，2题型十五换元法解一元二次方程为()【答案】【答案】B【知识点】换元法解一元二次方程【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到a(x-2)2+bx-2b=1必有一根为x-2=2021，进而求出x的值即可.:方程a(x-2)2+b(x-2)-1=0必有一根为x-2=2021，即：x=2023，26．如果让你去解方程y2-5y+4=0，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们应该如何去解呢？我们不防将x2-1看成一个整体，设x2-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0.①【答案】【答案】(1)换元，转化【知识点】换元法解一元二次方程【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程.（2）利用换元法解决问题.（2）解：设x+x=y，那么原方程可化为y(y-2)=-1，∴x2题型十六一元二次方程的根与系数的关系x1x2【答案】D【答案】D【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.x1x2x1x2281）解方程：x2-3x-10=0（2）已知一元二次方程2x2-2x-3=0的两根分别为x1，x2，2②x1.x2的值.33【答案】（1）x1=5，x2=-22）①1；②-【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系.（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】解：（1）x2-3x-10=0，（2）∵一元二次方程2x2-2x-3=0的两根分别为x1，x2，题型十七传播问题(一元二次方程的应用)【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x（2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论.列式计算.题型十八增长率问题(一元二次方程的应用)30．竹溪梅子贡茶是一种著名的中国绿茶．某茶园从2022年到2024年茶叶产量从1500kg增长到1815kg，则茶叶产量从2022年到2024年平均每年增长率为.【答案】【答案】10%【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系.先设平均每年增长率为x，再根据“某茶园从2022年到2024年茶叶产量从1500kg增长到1815kg”列出方程求解.解得x=10%，负值舍去.故答案为：10%.题型十九与图形有关的问题(一元二次方程的应用)剩余停车场的面积为8400平方米，求AB和AD减少的长度是多少？【答案】【答案】AB边和AD边减少的长度是20米【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设AB边和AD边减少的长度均为x米，则剩余停车场是长为(140-x)米，宽为(90-x)米的矩形，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解.【详解】解：设AB边和AD边减少的长度均为x米，则剩余停车场是长为(140-x)米，宽为(90-x)米的矩形，根据题意，得(140-x)(90-x)=8400，答：AB边和AD减少的长度是20米.题型二十数字问题(一元二次方程的应用)），大的数的乘积为112，求这个最大的数()【答案】【答案】D【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最大的数为x，则最小的数为(x-9)，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可.【详解】解：设这个最大的数为x，则最小的数为(x-9)，题型二十一营销问题(一元二次方程的应用)【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)销售量为(600-10x)件，再根据总利润为单价利润乘以销售量建立方程求解即可.解得x=10或x=40（由于销售单价不得低于40元且不得超过60答：销售单价应定为50元.题型二十二动态几何问题(一元二次方程的应用)34．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动的时间为t．求：(1)当t为多少时，△PQD的面积等于8cm2？【答案】(1)不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2秒或秒或6秒时，△PQD是以PD为斜(2)当t为2【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.（1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案.（2）用含t的代数式分别表示图中各线段，在Rt△ADP中，利用勾股定理可求出DP2，同理，在Rt△DPQ中利用勾股定理也可以求出DP2，联合起来，得到关于t的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定t的值.【详解】（1）解：不存在.QS矩形ABCD-S△APD-S△BPQ-S△CDQ=S△DPQ，:x2-6x+28=0，:原方程无实数根，即不存在某一时刻使得△PQD的面积等于8cm2.:PD2=t2+122，PQ2=(6-t即当t为秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形.题型二十三工程问题(一元二次方程的应用)设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务.小时，求m的值.【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、工程问题