2026新教材七上数学第一章有理数知识点总结+练习

【新七年级】上册数学知识点总结第一章有理数一、有理数：1.定义：凡能写成（p，q为整数且p≠0）形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；2.有理数的分类:3.注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；4.自然数↔0和正整数；a≥0↔a是正数或0↔a是非负数；a≤0↔a是负数或0↔a是非正数。二、数轴数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。三、相反数1.只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。3.相反数的和为0Ûa+b=0Ûa、b互为相反数。4.相反数的商为-1。5.相反数的绝对值相等。四、绝对值注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；2.绝对值可表示为：3.4.|a|是重要的非负数，即|a|≥0；五、有理数比大小1.正数永远比0大，负数永远比0小；2.正数大于一切负数；3.两个负数比较，绝对值大的反而小；4.数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；5.-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。六、倒数1.定义:乘积为1的两个数互为倒数；(3)若ab=-1a、b互为负倒数.3.等于本身的数汇总:(1)相反数等于本身的数:0(2)倒数等于本身的数:1，-1(3)绝对值等于本身的数:正数和0(4)平方等于本身的数:0,1(5)立方等于本身的数:0,1，-1.七、有理数加法法则1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.一个数与0相加，仍得这个数.八、有理数加法的运算律1.加法的交换律：a+b=b+a；2.加法的结合律a+b）+c=a+（b+c）.九、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.十、有理数乘法法则1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2.任何数同零相乘都得零；3.几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。十一、有理数乘法的运算律1.乘法的交换律：ab=ba；2.乘法的结合律ab）c=a（bc3.乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.（简便运算）十二、有理数除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即无意义。十三、有理数乘方的法则1.正数的任何次幂都是正数；2.负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；十四、乘方的定义1.求相同因式积的运算，叫做乘方；2.乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；3.a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0Ûa=0,b=0；0.12=0.014、据规律12=1底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动两位。102=100十五、科学记数法把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。十六、近似数的精确位一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。十七、混合运算法则1.先乘方，后乘除，最后加减；2.注意：不省过程，不跳步骤。十八、特殊值法是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。常用于填空，选择。【第一章有理数——课后八大题型突破】题型一相反意义的量零下3℃记作℃.巩固训练1.(2023·江苏·七年级假期作业）如果生产成本增加5%记作+5%，那么生产成本降低10%记作.若将加20分记为+20分，则扣15分记为分.相反，则分别叫做正数和负数．”如果收入100元记作+100元．题型二有理数的分类2，-3.14，-5-0.121221222......，巩固训练0.618，-3.14，260，-2009-0.010010001…，-π,0，-1.正有理数集{}；非负数集{}；非负整数集{}；分数集{}.0.34，-2，20，-1，0.正数集合{……}；负整数集合{……}；整数集合{……}；分数集合{……}；非正数集合{……}；非负整数集合{……}.题型三求一个数的相反数、绝对值、倒数巩固训练题型四用数轴上的点表示有理数2-(-2)在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来.巩固训练12023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）补全数轴．表示下列各数，并用“>”连接起来.-(-1.5)，0，--，-4，+3.22023秋·七年级单元测试）用数轴上的点表示下列各数，并用“<”号把各数从小到大连起来.-5，3，-，--3，-(-5)，3.32023秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知6个有理数，0，-4，-，按要求完成下列各小题.(2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上；题型五数轴上两点间的距离12023·江苏·七年级假期作业）数轴上数-5和-14的两点间的距离是，与-5相距9个单位的点1，若BC=2，则AC等于.32023秋·山东枣庄·七年级校考期末）点A在数轴上表示数-3，点B在数轴上距离点A有5个单位题型六有理数的加减乘除乘方混合运算(2)-(-3-5)+3×(1-3)；2.（2022秋·广东深圳·七年级校考阶段32023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）计算下列各题：-32+5×100+16÷-100题型七有理数的加减乘除混合运算的应用-2-1.5-10231322241星期一+26-16+42-30-25-9表中星期五的进出数被墨水涂污了.-3，+14，-11，+10，-18，+14约2500亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据2500亿用科学记数法表示为.32023春·上海闵行·六年级校联考期末）4月28日，铁路上海站迎来今年以来单日最高客流，共计发送旅客55.8万人次，这个数据用科学记数法表示为人.【答案】-3【详解】解：:零上5℃记作+5℃,:零下3℃记作-3℃,故答案为：-3.【点睛】本题考查了正数和负数的表示方法，解题的关键是能根据题意正确表示出具有相反意12023·江苏·七年级假期作业）如果生产成本增加5%记作+5%，那么生产成本降低10%记作.【答案】-10%【详解】解：:成本增加5%记作+5%，:生产成本降低10%记作-10%；故答案为：-10%.的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.22023秋·陕西渭南·七年级统考期末）在“生活中的数学”【答案】-15【分析】根据相反意义的量进行解答即可.【详解】解：在“生活中的数学”知识竞赛中，若将加20分记为+20分，则扣15分记为-15分.故答案为：-15.【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解题意，熟练掌握正、负数的意义.32023·江苏·七年级假期作业）我国古代著名的数学专著《九章算术》中有注：“今两算得失相反，+100元．那么-80元表示.【答案】支出80元【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，即可得.【详解】解：根据题意得，-80元表示支出80元，故答案为：支出80元.【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是理解题意，掌握正负数的意义.【例2】（2023·全国·七年级假期作业）把下列各数-0.1212212221…，(2)-3.14，-5，-0.1212212221…(3)2，-5（2）解：负数有：-3.14，-5，-0.1212212221…；故答案为：-3.14，-5，-0.1212212221…；故答案为：2，-5；（4）解：分数有：-3.14故答案为：-3.14，.【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键.12023秋·全国·七年级专题练习）把下列各数填入相应的大括号内上：“非”字的有理数是解答此题的关键.【答案】+260.6；+26，0，τ,,0.6；+26，0；-4.80.6，-【分析】根据有理数的分类进行判断即可.，，非负整数集{+26，0}；分数集{-4.80.6，.故答案为：+260.6；+26，0，τ,,0.6；+26，0；-【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数定义与特点，解题的关键是注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数.32023·江苏·七年级假期作业）请把下列各数填在相应的集合内-5，0.34，-2，20，-1，0.【答案】，0.34，20；-5，-1；-5，0，20，-10.34，-2；-5，-2，0，-1；0，20.【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解.【详解】正数集合{，0.34，20，…}；负整数集合{-5，-1，…}；整数集合{-5，0，20，-1，…}；分数集合{，0.34，-2，…}；非正数集合{-5，-2，0，-1，…}；故答案为：，0.34，20；-5，-1；-5，0，20，-1；，0.34，-2；-5，-2，0，-1；0，20.【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.题型三求一个数的相反数、绝对值、倒数【答案】-3【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝知识即可求解.【详解】解：-相反数是，绝对值是，倒数是-3.故答案为-3.【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，以及绝对值的意义，解题的关键是熟记定义.【详解】解：-3的绝对值为3，相反数为3.【点睛】本题考查绝对值和相反数，解题的关键是掌握绝对值和相反数的概念.【答案】- 解：-4的相反数是，倒数是-，故答案为：，-.【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数和求一个数的相反数，熟知倒数和相反数的定义那么这两个数互为倒数.32023·江苏·七年级假期作业）-的相反数是，-是的倒数是.【答案】/0.5-2【详解】解：-的相反数是，∴-是的倒数是-2，故答案为：，-2.【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，理解相反数和倒数的定义是解题的关键.42023秋·湖北武汉·七年级统考期末）-9相反数是，绝对值是【答案】99--9相反数是9，绝对值是9，倒数是-，故答案为：9，9，-.【点睛】本题考查了相反数、绝对值、倒数的定义，熟练掌握相反数、绝对值、倒数的定关键.【答案】-个数互为倒数进行求解即可.【详解】-=，的相反数是-，倒数是，故答案为：-2【点睛】本题考查了化简绝对值，相反数和倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键.【答案】-【分析】①先计算-的值，再根据相反数的定义求解即可.②先计算-的值，再根据倒数的定义求解即可.【详解】①∵-=，的相反数是-∴-的相反数是-.故答案为：-【点睛】本题主要考查了绝对值、相反数和倒数，掌握绝对值、相反数和倒数的定义是解题的关键.题型四用数轴上的点表示有理数【例4】（2023秋·山西朔州·七年级统考期末）把下列各数-22，-|-3|，+在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来.-22<-|-3|<+详见解析【分析】先通过计算乘方、化简绝对值、化简多重符号对给出的4个数进行化简，来，进而排序.解：-22=-4，-|-3|=-3，+.观察数轴可知：-22<-|-3|<+【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小，计算乘方，化简绝对值符号等知识点，解题的关键是能够利用数轴比较有理数的大小.12023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）补全数轴．表示下列各数，并用“>”连接起来.-(-1.5)，0，--，-4，+3.【答案】见解析，+3>->0>-【分析】先将各数化简，然后在数轴上表示，用“>”连接起来即可.22=-33【详解】解：-(-1.5)=22=-33,用“>”连接如下：+3>->0>->-4.【点睛】题目主要考查绝对值的化简及有理数在数轴上的表示、大小的比较，熟练掌握有22023秋·七年级单元测试）用数轴上的点表示下列各数，并用“<”号把各数从小到大连起来.-5，3，-，--3，【答案】数轴见解析，-5<-<3<3【分析】将各点标记在数轴上，根据“右边的数总比左边的数大”即可得出结论.【详解】解：--3=-3，-(-5)=5，,【点睛】本题考查了有理数的大小比较以及数轴，牢记“右边的数总比左边的数大”是解题的关键.32023秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知6个有理数0，-4，--),|，-，-4，按要求完成下列各小题.(2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上；【答案】(1)-4和-4(3)2，-4由-，-4=4，可知-4和-4互为相反数.故答案为：-4和-4；（3）负数有-4，-，共2个；由-4＜-＜0-4，故答案为：2，-4.【点睛】本题主要考查了在数轴上表示点，相反数，有理数大小的比较等，掌握定义是解题的关键.题型五数轴上两点间的距离【答案】8【分析】根据数轴上两点距离公式进行求解即可.【详解】解：由题意得，数轴上表示有理数-4.5与3.5两点的距离是3.5-(-4.5)=8，两个数的距离为a-b.12023·江苏·七年级假期作业）数轴上数-5和-14的两点间的距离是，与-5相距9个单位的点【答案】94和-14【分析】直接根据数轴作答即可.【详解】数轴上数-5和-14的两点间的距离是-5-(-14)=9，与-5相距9个单位的点是-5+9=4和-5-9=-14，故答案为：9；4和-14.【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值.1，若BC=2，则AC等于.【详解】∵点A、B表示的数分别为-4、1，第一种情况：点C在AB外，如图，AC=5+2=7；第二种情况：点C在AB内，如图，AC=5-2=3；【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间题的关键.32023秋·山东枣庄·七年级校考期末）点A在数轴上表示数-3，点B在数轴上距离点A有5个单位【答案】-8或2/2或-8x+3解得：x=-8或x=2.故答案为：-8或2.【点睛】本题主要考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.题型六有理数的加减乘除乘方混合运算(2)-(-3-5)+3×(1-3)；（2）先算小括号里面的，然后进行乘法计算，再进行减法运算即可.（3）根据平方、立方，绝对值的意义，进行计算即可.（2）-(-3-5)+3×(1-3)=8+3×(-2)=8-6=2【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序是解题的关键.【答案】(1)-20(2)-2（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可.解：=-8×1.25×6×=-10×2=-20；2.（2022秋·广东深圳·七年级校考阶段要先做绝对值内的运算.解：-22×2013=-4×-1=-1+9-1=7；解：-14+=-1+=-1+7-再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如算，注意乘法运算定律的应用.32023春·上海宝山·六年级校考阶段练习）计算下列各题：(2)-1(7)-374---100.（78）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可.33(33,33(33,(66,(2,(66,(2,2(5,(9,52(5,(9,5（7）解：原式=-9+(-30)-16÷(-8)=-9-30-(-2)=-9-30+2【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.题型七有理数的加减乘除混合运算的应用21.510231322241(2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克.（2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克.答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键.星期一1630259表中星期五的进出数被墨水涂污了.【详解】（1）解：周五的进出数为+6-(+26)-(-16)-(+42)-(-30)-(-25)-(-9)答：星期五的进出数为+18吨.【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点.-3，+14，-11，+10，-18，+14（3）耗油量=每千米的耗油量×总路程，总路程为所走路程的绝对值的和.答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点（2）解：当行程为+15千米时离开下午出发点15