2023年上海市新高二年级上册数学同步讲练(暑假预习)第10讲 平面与平面平行与二面角含详解

第10讲平面与平面平行与二面角

【知识梳理】

1、平面与平面位置关系

位置关系定义符号表示

平行平面与平面没有公共点

ac0=6=a"B

相交平面与平面有且仅有一

acp=a

条公共直线

2、平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

图形语言：

口

符号语言：aua、bua,acb=P,&a/l&b/l0,那么a〃夕

3、两个平面平行的性质定理

如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

图形语言；

符号语言：若a〃夕，==则。〃〃

4、几个重要结论

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行

（2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个

（4）夹在两个平行平面中的平行线段相等

（5）经过平面外•点有且仅有一个平面与已知直线平行

注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两

条”、“无数条”都不一定成立

②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行

5、半平面的定义

一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面

6、二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角

的面

7、画法

第一种是卧式法，也称为平卧式：

第二种是立式法，也称为直立式:

8、二面角的平面角:

(1)过二面角的棱上的一点。分别在两个半平面内作棱的两条垂线QA08,则NAO8叫做

二面角a—/一夕的平面角.

(2)一个平面垂直于二面角。-/-夕的棱/,且与两半平面交线分别为04。仇。为垂足,

则ZA0B也是a-/一尸的平面角.

I【说明】]

:(1)二面角的平面角范围是[0,180]：]

，(2)二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂宜；，

(3)二面角的求法：①几何定义法；②空间向量法；③射影面积法.

求解二面角的常用方法：

1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于楂的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面

角，继而在平面中求出其平面角的一种方法；

2、三垂线法：利用三垂线定理，根据“与射影垂直，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求

出平面用的方法：

3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为

二面角的平面角，继而再求出其平面兔的一种方法；

4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原米的面积等于一面

角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角；

5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，

求出二面角的一种方法。

9、平面与平面垂直定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.

表示方法：平面a与3垂直，记作

画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.

如图：

10、平面与平面垂直的判定定理

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

符号语言：,‘aJuanaJ.尸

特征：线面垂直=面面垂直

注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记

为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以

后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.

11、平面与平面垂直的性质

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

符号语言：二雁Ju力」,用n/_La

图形语言：

题型一：面面平行

例1在下列条件中，可判断平面。与夕平行的是（)

A.al/,pLy

B.m,是两条异面直线，且机〃夕，n//ptmHa,n//a

C.m,"是a内的两条直线，且〃z〃Q,n//p

D.a内存在不共线的三点到夕的距离相等

【变式1】设。，Z?是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则a"夕的一个充分条件是（）

A.存在一条直线a,alia>a〃。

B.存在一条直线。，aua,al1/3

C.存在两条平行直线。、b,aua,bu0,a///3,hlla

D.存在两条异面直线。、b,aua,bup,〃//〃，bHa

【变式2】如图，在正方体A8CO—44GD中，点E，F，G分别是A罔，B,C,,的中点，给出下列5

个推断：

①/G//平面②"〃平面8GR；

③/G//平面BCR:④平面瓦6//平面BCR；

⑤平面瓦‘G//平面AC/.

其中推断正确的序号是

题型二：证明面面平行

例2.如图，在正方体也中,S是区〃的中点，E,F,G分别是/DC,SC的中点，求证:

(1)直线比//平面腿U;

(2)平面夕石//平面加〃尻

【变式1】(上海复旦附中高二期中)如图，在长方体A8CO-A瓦G。中，BBi=BC=3,AB=4；

(1)求证：平面AB】。//平面BOR；

(2)求4方与平面AB。］。所成的角.

【变式2】如图，在正方体48。。一4万。")|中，尸、。分别是平面M。。、平面ABC。的中心，证明:

(1)。。〃平面GQ8；

(2)平面。/。〃平面CQ8.

题型三：面面平行的应用

例3.已知直线/与平面%B,r依次交于点4B,C,直线m与平面。，8,/依次交于点〃E,F,若。〃£

//y,AFEF=3,BC=4,则好.

【变式1］已知平面a〃平面B,P是a、B外一点，过P点的两条直线PAC、PBD分别交a于A、B,交B于C、

D,且PA=6,AC=9,AB=8,则CD的长为.

【变式2】(2021•上海・华师大二附中高二阶段练习)在120。的二面角a—/一。的两个面内分别有点A,B,A@a,

B邮，A,B到棱I的距离AC,BD分别是2,4,且线段AB=10.

(1)求GD间的距离;

⑵求直线AB与平面p所成角的正弦值.

【答案】(1)6a(2)普

题型四：二面角

例4如图，在正方体"GR中，二面角。一BC-O的大小为

K71

B.-D.—

A.i4a?2

【变式1】（上海市北虹高级中学高二期末）空间中二面角的大小为0,则。取值范围是

【变式2］（上海市控江中学高二期末）在正.方体ABCD-A\B1cB，二面角力-劭・4的大小为

【变式3】直二面角。一/一月的棱/上有一点4,在平面a,厂内各有一条射线A3,AC与/均成45°，则

NBAC=o

【变式4】如图，在长方体ABCO-A8cl0中，AB=BC=—CC，则二面角G-的大小为

3

例5.如图，正方体的棱长为1,B'CCBC=0,求:

（1）力。与"C所成角的度数；

（2）力。与平面力四所成角的正切值；

（3）平面力必与平面所成角的度数.

【变式】（2021•上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥P-ABC中，已知PAJ.平面A8C,

PA=3,PB=PC=BC=6.求二面角P—AC—A的正弦值

p

题型五：面面垂直

例6.在正方体人8c。一4耳GR中，给出以下四个结论：

(1)直线。C〃平面AA8⑸；(2)直线AR与平面8cA相交;

(3)直线AD_L平面2。8；(4)平面8cAJL平面

上述结论中，所有正确结论的序号为.

【变式1】设。，尸为两个不重合的平面，回〃为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若〃?_L〃，

〃?_La，则nlla；②若a【B、a「方二,〃ua,〃_L〃?，贝J〃_L尸；③若mlln,〃_La,cclip，则

mLp.④若〃ua,mu0,a与尸相交且不垂直，则〃与勿穴垂直，其中所有假命题的序号是()

A.①⑤B.②③@C.①④D.②③

例7.如图：已知平面。，尸，九满足a_L7,£_Ly,oc4=/

求证：/±y

【变式】如图所示，在长方体川阳”力山G〃中，AB=A［）=\,/14=2,也是棱CG的中点.证明：立面/侬J_平面

AM/.

B【过关检测】

一、单选题

1.2（021•上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面万和两条直线〃?，〃，下列命题中真命题是

A.若用1。,加1〃，则B.若加则

C.若则〃?_L〃D.若切_L_LP,。_夕，则〃zJ_〃

2.（2022•上海长宁•高二期末）在三棱锥。一A4C中，D4_UFjffiA5C.A5J_8C,D4=48=8C；记直线03与直线

4c所成的角为。，直线。。与平面/曲所成的角为夕，二面角。-4C-A的平面角为，，则（）

A.P<y<aB.y<p<a

C.p<a<yD.a<y<p

3.（2021•上海市宝山中学高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱

长的一半，在该正方体侧面CDDC上有一个小孔E,七点到CD的距离为3,若该正方体水槽绕CD倾斜（C力始

终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（）

7c•竽

4.（2022・上海宝山•二模）已知口,〃是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行

B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直

C.平面"不垂直平面夕，但平面〃内存在直线垂直于平面£

D.若直线/不垂直于平面则在平面。内不存在与/垂直的直线

二、填空题

5.（2021・上海南汇中学高一阶段练习）一面角a-/-£为60.异面直线4、6分别垂直于P，则。与。所成

角的大小是一

6.（2021•上海•高二专题练习）己知尸为锐二面角内一点，且P到两个半平面及棱的距离之比为1：五：2,则此二

面角的,度数为.

7.（2021•上海市金山中学高二期中）已知斜坡平面与水平面成30。的二面角，一条公路与坡脚成45。的角，沿公路

前进100米，则路基升高了米.

8.（2022•上海•复旦附中高二期中）在矩形488中，AB=2fBC=26,沿对角线4C将矩形折成直二面角。一

AC-B,则线段8。的长为.

9.（2021,上海市延安中学高二期中）在正方体ABC。-AAG。中，二面角的大小为.

10.（2020・上海师范大学第二附属中学高二期中）将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点4和。的

距离为1,则二面角4-AC-。的大小为.

11.（2022•上海•复旦附中高二期中）已知a,b是两条不重合的直线，a,4是两个不重合的平面，给出下列命

题：

①a〃a,blla^>allb；②a///?,Z?//a=a//a；③a/R,aua,bup=aHb.

其中假命呼的序号是.（写出所有假电壁的序号）

三、解答题

12.（2021,上海南汇中学高二阶段练习）已知正方体ABC。-A4GA中，P、Q分别为对角线8D、C"上的点，且

CQ_BP_2

~QDy~~PD~3'

⑴作出平面PQC和平面叫口。的交线(保留作图痕迹)，并求证：PQ〃平面ARZM；

(2)若R是48上的点，当工4/?的值为多少时，能使平面PQR〃平面ARQA?请给出证明.

AB

13.(2021•上海市甘泉外国语中学高二期中)如图,在三棱柱L8O48Q中,侧面8CG&,488Ml均为正方形,

AB=BC=1,M8C=90。，点。是楂的4G中点.

⑴求证：平面平面47a4；

(2)求证：BGI3平面48Q；

(3)求点4到平面ABiD的距离.

14.（2022・上海奉贤区致远高级中学高二期末）（1）如图，在正四棱锥尸-ABC。中，1PAi=|481=2忘，E、F

分别为/右、的中点，平面AEF与棱尸C交于点G,求平面AEG尸与平面A8CD所成二面角的大小；

15.（2021•上海市宝山中学高二阶段练习）如图，A8C。是正方形，SD0平面八88,50=40=2.

（1）求证：40358：

（2）求二面角GS4D的大小.

16.（2021•上海市大同中学高二阶段练习）如图，已知E、尸分别是正方形A8CO边8C、C。的中点，瓦'与AC

交于点O,PA.NC都垂直于平面ABCO,且E4=/W=4,NC=2,M是线段处上一•动点.

（1）求证：£〃_L平面PAC；

（2）若PC//平面MEV,试求。的值；

（3）当例是PA中点时，求二面角M-Q-N的余弦值.

17.（2021•上海•位育中学高二阶段练习）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖膈"，如图所

示，四面体P4AC中，24_1平面43。，AC=BC,。是棱A6的中点.

（1）记明：C力并判断四面体PAC。是否为鳖膈.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说

明理由；

（2）若四面体248c是鳖嚅，且AP=AB=2,求二面角A—必一。的大小.

18.（202。上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）如图正方体ABC。-AAGA，M是AB的中点，N是8c的

中点.

（1）求MN与平面8CG4所成角的大小;

（2）求二面角用一MC—8的大小.

19.（2022•上海交大附中高二阶段练习）在正三角形ABC中，£、F、P分别是A3、AC.BC边上的点,满足

AE:EB=CF:FA=CP:PB=k2（如下左图）.将二AE/沿所折起到.AE厂的位置，使二面角A-石尸―8成直二

面角，连结A3、AP（如下右图）.

⑴求证：4石，平面AEP；

（2）求二面角-尸的大小（用反一:角函数表示）.

第10讲平面与平面平行与二面角

【知识梳理】

1、平面与平面位置关系

位置关系定义符号表示

平行平面与平面没有公共点

ac0=6=a"B

相交平面与平面有且仅有一

acp=a

条公共直线

2、平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

图形语言：

口

符号语言：aua、bua,acb=P,&a/l&b/l0,那么a〃夕

3、两个平面平行的性质定理

如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

图形语言；

符号语言：若a〃夕，==则。〃〃

4、几个重要结论

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行

（2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个

（4）夹在两个平行平面中的平行线段相等

（5）经过平面外•点有且仅有一个平面与已知直线平行

注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两

条”、“无数条”都不一定成立

②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行

5、半平面的定义

一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面

6、二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角

的面

7、画法

第一种是卧式法，也称为平卧式：

第二种是立式法，也称为直立式:

8、二面角的平面角:

（1）过二面角的棱上的一点。分别在两个半平面内作棱的两条垂线QA08,则NAO8叫做

二面角a—/一夕的平面角.

（2）一个平面垂直于二面角。-/-夕的棱/,且与两半平面交线分别为04。仇。为垂足,

则ZA0B也是a-/一尸的平面角.

/-----------------------------------------------------A

（【说明】；

，（1）二面角的平面角范围是［0,180］；；

；（2）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直；，

（3）二面角的求法：①几何定义法：②空间向量法；⑤射影面积法.

求解二面角的常用方法：

1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于楂的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面

角，继而在平面中求出其平面角的一种方法；

2、三垂线法：利用三垂线定理，根据“与射影垂直，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求

出平面用的方法：

3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为

二面角的平面角，继而再求出其平面兔的一种方法；

4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原米的面积等于一面

角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角：

5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，

求出二面角的一种方法。

9、平面与平面垂直定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.

表示方法：平面a与3垂直，记作

画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.

如图：

10、平面与平面垂直的判定定理

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

符号语言：UaJuanaJ.尸

特征：线面垂直=面面垂直

注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记

为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以

后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.

11、平面与平面垂直的性质

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

符号语言：二所Ju力/，附n/_La

图形语言：

9【考点剖析】

题型一：面面平行

例1在下列条件中，可判断平面。与夕平行的是（）

A.al/,0工y

B.加是两条异面直线，且加n//ptmHa,n//a

C.m,"是a内的两条直线，且〃z〃Q,n//p

D.a内存在不共线的三点到夕的距离相等

【答案】B

【分析】根据面面的位置关系和面面平行的判定定理逐一判断选项即可.

【详解】对于A选项：若。，九B-y,则平面a与夕平行或相交，故A不正确；

时于B选项：在直线〃.上取一点。，过点0作直线勿的平行线勿'，所以/与〃是两条相交直线，

所以加u夕，〃u尸，旦〃?'//民〃〃。，根据面面平行的判定定理可得a//，所以B正确.

对于C选项：若斯〃是。内的两条直线，旦mH。，n〃B，则根据面面平行的判定定理可得，平面a与夕平行

或相交，所以C不正确.

对于D选项：若a内不共线的三点到的距离相等，则根据面面的位置关系可得：平面a与4平行或相交，故D不

正确.

故选:B.

【变式1】设。，匕是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则a〃4的一个充分条件是（）

A.存在一条直线。，alia,a!IP

B.存在一条直线〃，aua，a///3

C.存在两条平行直线。、b,aua,bu°,〃///?,b//a

D.存在两条异面直线。、b,aua,buR,。//〃，blla

【答案】D

【分析】考虑两平面相交时也可存在一条直线与它们平行，可判断A,平面相交时可有。//〃，可判断B,两平面

相交时存在两条平行直线满足条件可判断C,可根据条件证明来判断D.

【详解】对于A,一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故A不对；

对于8,一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故8不对：

对于C,两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；

对于。，在直线〃上取点8,过点8和直线。确定一个平面7,交平面夕于"，

b

B

因为R/月，所以a〃a'；乂a'zc,aua,所以a'〃a,

又因为ZV/a,bca'=B,bu0,/u〃，所以尸〃a；

故选：D

【变式2】如图，在正方体中，点£,F,G分别是A与，B.C,,的中点，给出下列5

个推断：

①尸G；/平面；②EFH平面BCR；

③/G//平面8GR；④平面EFG//平面8CQ；

⑤平面瓦G〃平面AGB.

其中推断正确的序号是—

【答案】①③⑤

【分析】根据线面平行和面面平行的判断方法依次判断即可.

【详解】对于①，可知在正方体ABCO-A4GA中，平面BBC。//平面44,。。，且bGu平面

户G//平面MA。，故①正确;

对于②，E,尸是44，MG的中点，・•.E/?//4G，与平面相交，故防与平面BGA不平

行，故②错误；

对于③，F,G是4C，B及的中点、，；.FG//BC「FG<Z平面8GR,BQu平面BQR,.二

EG//平面BCR,故③正确；

对于④，由②得匹与平面3GA不平行，则平面ER7与平面3cA不平行，故④错误;

对于⑤，由①得EF//4G，•••石产8平面4。/，AGu平面AG8,.•.瓦7/平面AG3,由③得FG//

8G，・・・FGz平面4c出，8Gu平面4GB,.•.f'G〃平面4G8，・・・&?n/?G=b,...平面“G//平面

AG8,故⑤正确.

故答案为；①③⑤.

【点睛】本题考查线面平行和面面平行的判断，解题的关键是正确理解线面平行和面面平行的判定定理，正确找

出图中的平行关系.

题型二：证明面面平行

例2.如图，在正方体例⑦■48G"中，S是区〃的中点，E,F,G分别是比；DC,SC的中点，求证:

(1)直线“G//平面微〃及

(2)平面砒7/平面尻

【分析】⑴连接S8,因为£,6分别是EC,S。的中点，则EG//SB,从而可证.

(2)连接M因为尸，G分别是ZT,SC的中点，所以尸67/必尸G//平面由(1)有直线环〃平面

BDDxB、；从而可证.

【详解】证明：(1)如图，连接防，因为£G分别是8C,SC的中点,

所以EG11SB.

又因为SBu平面8M0,EGU平面BMi8,

所以直线面//平面BDD^.

(2)连接S。.因为£。分别是〃USC的中点.

所以FG!/SD.

乂因为SDu平面BDDBi,FGU平面8DD出,

所以q//平面反见A,

由（1）有直线跖//平面初?&

又EGu平面EFG,长7U平面价GEGCFG^G,

所以平面所W/平面应以仇

【变式1】（上海复:旦附中高二期中）如图，在长方体A8CO—4耳GA中，BB】=BC=3,AB=4；

（1）求证：平面ABQJ/平面3。。；

（2）求A⑸与平面AqG。所成的角.

【答案】（1）证明见详解；（2）arclan-

4

【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；

（2）过点A作4。，4片于点。，证明AO_L平面ABC。，得到为AM与平面4B£。所成的角,

再由题中数据，即可求出结果.

【详解】（1）因为在长方体中，易知：BBJ/D/RBBI=DD「AB//CR且

AB=CR,

所以四边形BB.D为平行四边形，四边形A8GR也是平行四边形；

因此6。〃片。1,ADJ/BQ；

又BDu平面GBD,4。0平面68。；80（=平面。/。，/\〃二平面。了。：

所以42〃平面G5。；42//平面。/。；

又与。u平面A3[。],AD、u平面八片。1,AD]cBQ、=D],

所以平面平面BOQ；

（2）过点人作40,八用丁点。，

因为在长方体48。。一44。1。中，易知：AO_L平面耳8A4,

所以ADJ.4。，又平面ABC。，4）u平面AqG。，

所以A0_L平面AgG。，

因此，乙4由小为A,4与平面44CQ所成的角；

又在长方体43co—中，BBi=BC=3,AB=4,

4A_3

因此tanN4gA=M=4

所以NA〕B}A=arctan—：

【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平

面所成角的几何求法即可，属于常考即型.

【变式2】如图，在正方体A3CO-a片GR中，尸、Q分别是平面A4Q。、平面AMGA的中心，证明:

（1）RQ〃平面6。8；

（2）平面RPQ〃平面G。尻

【分析】（1）证明。。〃。3即可.

⑵根据（1）中的结论再证明D\P"C\B即可.

【详解】（1）由-是正方体,可知，RQ〃。9・.・。。•平面GO8,DBu平面CQB,工»Q〃

平面CQB.

(2)由ABC。-AgGR是正方体,可知，D\P"C\B,

•・,D/a平面GOB,GBu年平面GOB,

・・・。尸//平面1。3,由(1)知，AQ〃平面GOB,乂AQID[P=D],

・•・平面2R2〃平面CQ8.

【点睛】本题主要考查了线面平行与面面平行的证明，属于基础题

题型三：面面平行的应用

例3.已知直线/与平面%8,y依次交于点儿B,C,直线川与平面%B,/依次交于点〃，E,F,若。〃万

//y,AB=EF=&BC=4,则循.

9

【答案】一

4

【分析】连结CD,交△于G,从而利用两平行平面的性质定理得线线平行，再由平行直线分线段成比例定理即

可得解.

【详解】连结CO,交平面尸于点G,连结EG,BG,AD,CF,如图所示.

•.・/cCD=C,「./与CO确定一个平面，设为名,

;ar\a{=AD,0c%=BG,且。〃〃，

；.AD；/BG,

AB_DG

~BC='GC'

同理可证GE7/CV,

.DGDE

GC-EFJ

.AB_DE

~BC~~EF'

“ABxEF3x39

BC44

9

故答案为：一

4

【点睛】本题考查了面面平行的性质定理的应用，考查了平行直线分线段成比例定理，属于基本知识的考查.

【变式1】已知平面Q〃平面B,P是a、B外一点，过P点的两条直线PAC、PBD分别交a于A、B,交B于C、

D,且FA=6,AC=9,AB=8,则CD的长为.

【答案】20或4；

【分析】由面面平行，可得线线平行，AB//CD,在利用相似三隹形的相似比可得CO的长

【详解】解：如图所示，因为平面a//平面/，

所以AB〃CO,〜APCQ,

，卫二组==

当尸在平面a与平面£之间时,

,PA_AB

~PC~~CD

：.CD=—=4.

6

故答案为：20或4.

【点睛】面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定，线面平行的判定与性质的综合应用.解题

时，要注意三种平行关系之间的相互转化.

【变式2】（2021,上海・华师大二附中高二阶段练习）在120。的二面角a-/—9的两个面内分别有点A,B,A0a,

B0B，A,B到棱I的距离AC,BD分别是2,4,且线段AB=10.

⑴求CD间的距离；

⑵求直线AB与平面P所成角的正弦值.

【答案】（1）6夜（2）奈

【分析】（1）要求CD长，应将CD放在三角形中，过点C作8。的平行线，取CE=8D=4,根据余弦定理可求出

AE的长，最后在直角三角形AEB求出8E长，而四边形BECO为矩形，即可求出所求；

（2）在AACE所在的平面内，作4O0CE交CE的反向延长线于点。，利用面面垂直的性质即可证明八。_1_平面6,

从而得到N48。是直线AB和平面6所成的角.

【详解】（1）过点C作8。的平行线，取CE=6D=4,

蜘CW,而CEW,则N4C£=120°

根据余弦定理可知cos^ACE=-l（）-E-

2x2x4

解得:AE=2不

而三角形4E8为直角三角形，则BE=6叵

即CD=6及

（2）在△ACE所在的平面内，作4QKE交CE的反向延长线于点。.

;平面4CE_L平面0,MO_L平面依

在△AC。中，ZACO=60°,AC=2,M0=2s%60°=G.

连接。8，于是N48。是48和平面B所成的角，

在△48。为直角三角形，

【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难

找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系

较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.

题型四：二面角

例4如图，在正方体ABC。—中，二面角2-8。一。的大小为

Ji

D.

4~2

【答案】B

【分析】根据8C_L平面CORG，可知BCJ.CQ,同时3C_LCO,可知二面角R-BC-。的平面角为

ZDCD,,即可得结果.

【详解】由题可知：

在正方体ABCO-ASGA中，4。_1_平面。〃6

由C"u平面CDD|G，所以8c~LCD，又BC1CD

所以二面角〃—8C—。的平面角为/DCR,

因为CD=DR,则/。CQ|=?

故选：B

【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属

基础题.

【变式1】（上海市北虹高级中学高二期末）空间中二面角的大小为。，则。取值范围是。

【答案】［0,可

【分析】根据空间中二面角的定义即可求解.

【详解】二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两

个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，则两条射线所成的角的范围即为二面角的范围。

【点睛】本题考查一面角的定义，一面角的大小用一面角的平面角度量，平面角的范围即为一面角的范围。

【变式2]（上海市控江中学高二期末）在正方体ABCD-二面角力-8〃-4的大小为.

【答案】石

arccosT

【分析】连接AC,30,交于0,连A。，可得NAOA是二面角/-切-4的平面角，在直角三角形4。4中可

求得结果.

【详解】连接AC,80,交于。，连A。,

如图所示:

因为3。J.AC,且4。在底面ABC。内的射影是A。，

所以由三垂线定理可得3。_LA。，

所以NA]OA是二面角力-打〃-4的平面角，

设正方体的棱长为1,则AO=乎，40=+叔=&+净2=日,

也

所以cy。-黑涤邛,

2

7T

因为（）<NAOA<5,

所以Z.\OA=arccos

3

故答案为：arccos

3

【点睛】本题考查了三垂线定理，考查了求二面角，关键是作出二面角的平面角，属于基础题.

【变式3】直二面角。一/一月的棱/上有一点4,在平面a,尸内各有一条射线AB，AC与/均成45°，则

ZBAC=o

【答案】60°或120°

【详解】如图，在，上取D,设DB_LAD,DC1AD,

•••二面侑是直二面角，

ACD1DB,

设AD=1,则DC=DB=1,AB=AC=BC=J^,

/.△ABC是等边一角形

AZBAC=60°,

如果在乌位置,则N8|AC=180°-60°=120°,

故答案为:60°或120°

【变式4】如图，在长方体ABCO—agGA中，AB=BC=^CC.，则二面角G-C的大小为

3

D\

【答案】y

【分析】连接力C交劭十点£,连接弓七，证明NGEC为二面角G—O8—C的平面角，即"J利用三角函数求

ZC.EC,

【详解】连接/I。交物于点石，连接GE,

AB=BC,底面力〃口是正方形，则4C_L8O即CE_LBD,

又CC,1底面力面9,根据三垂线定理可知CE,1BD,

.•"GEC为二面角G-OB-C的平面角,

不妨设"用=1,则8等CE邛,

tanZC,EC=^=>/3,又NCgCHO,幻，/.ZC,£C=-.

，23

2

71

故答案为:

T

例5.如图，正方体的棱长为1,B'CCBC1=0,求:

(1)初与"C所成角的度数;

(2)力。与平面?!时所成角的正切值；

(3)平面力仍与平面力比'所成角的度数.

【答案】(1)30°.(2)正.(3)90"

5

【分析】(1)由4C'//AC,即可知所求异面直线夹角为NQ4C,在♦O4C中解三角形即可容易求得;

(2)过。作QE_LBC,通过证明OE_L平面ABC。，结合棱氏关系，即可求得S〃/Q4E即为所求；

(3)由题可证平面力仍，平面力宛，则二面角的平面角为90。.

【详解】(1)•・•©C//AC,：.AO与A'C所成的角就是NOIC

•・38_1_平面比'，贫七平面叱，：,OCLAB.

又0C1B0,ABCyBO=B.：,%_L平面ABO.

又6Wc平面ABO,/.OCA.OA.

在应△［如中，0C=—,AC=O,sjnZ0AC=-=-t

2AC2

：.ZOAC=30°,

即力。与"C所成角的度数为30°.

(2)如图，“OE1BC千E,连接力“

•・•平面8C_1平面力比刀，且其交线为3C,又OEu平面3C,

・•・/LL平面/I加9,

：・/OAE为OA与平面力时所成的角.

在位中，0E=~,止百,

2-2’

/.tanZ.(Mb1――=

AE5

(3).：OC1OA,OCLOB,OACO方0,・••纥1平面力就

又丁OCu平面AOC,:.平面AOBA,平面AOC.

即平面力如与平面力人所成角的度数为90°.

【点睛】本题考查异面直线的夹角、线面夹角、与二面角的求解.，属综合基础题.

【变式】(2021•卜海市行知中学高二阶段练习)如图.=棱锥尸-ABC中.已知PAJL平面A8C

PA=3,PB=PC=BC=6.求二面角P-8C-A的正弦值

p

B

【答案】B

【分析】取BC的中点D,连结PD,AD,根据线面垂直关系可知NPZM即为二面角P-肥-A的平面角，根据所给边

长关系可求得/PDA的正弦值.

取BC的中点D,连结PD,AD

⑦PB=PC

^PD1I3C

平面ABC,

团小_18。,且3。_1面尸4。

即BC_AD

0/PDA即为二面角P-A的平面角

田PB=PC=BC=6

0PD=-yx6=35/3

•/DMPA3x/3

sinZPDA=——=-f==—

PD3百3

即二面角Q-8C-A的正弦值是立

3

【点睛】本题考查了二面角的求法，关键是找到二面角的平面角,属于基础题.

题型五：面面垂直

例6.在正方体ABCD-AMGR中，给出以下四个结论:

(1)直线。c〃平面(2)直线A。与平面相交;

(3)直线4。，平面。。3；(4)平面3cA_L平面AABg.

上述结论中，所有正确结论的序号为_______.

【答案】①④

【分析】①面面平行的性质判断；②由直线AR在平面BCR内判断；③反证法，由直线AO不垂直于直线B。

判断；④可由面面垂直的判定定理判断.

【详解】因为平面平面"OCG，0c在平面"OCG内，所以直线平面4A84,①对；

因为直线AR在平面BCD,内，所以②错；

显然直线A。不垂直于直线80,所以直线AO不垂直于平面口。8,③错；

因为3C_L平面所以平面8CR_L.平面④对，故答案为①④.

【点睛】本题主要考查正方体的性质，考查了面面平行的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理的应

用，意在考查空间想象能力以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

【变式1】设。，4为两个不重合的平面，加，〃为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若

may则〃〃a；②若aJ■尸，ap=m,〃ua,〃_!_/〃，贝］〃_L/；③若/〃〃〃，〃_La，ccllp,则

m_LQ；④若〃ua,mu。，。与夕相交且不垂直，则〃与/〃不垂直，其中所有假命题的序号是()

A.①③B.②③④C.①④I).②③

【答案】C

【分析】①由线面关系判断；②由面面垂宜的性质定理判断；③由线面垂宜的判定定理判断；④举例判断.

【详解】①若相_1_〃，/刀_La，则〃或〃ua,故错误；

②由面面垂直的性质定理知：若。_1_夕，。「尸=〃?，〃ua,〃_1.6，则〃_L#,故正确；

③由线面垂直的判定定理知：若加〃〃，nla,㈤中,则〃，又〃?〃〃，则机，分,故正确：

④如图：ARu平面4?GA，CDu平面48c。，而AR_LC£>,故错误;

例7.如图：已知平面满足a_Ly,/7_Ly,ac/7=/

【分析】设。0/二。,尸ny二〃，在平面/内取一点A,过A作于8,过A作ACJ■力于G则可证得

ABLa，AC_L/,从而可证得AB_L/,ACA.I,进而可证得/■!■/

【详解】证明：设6]/=〃，

在平面/内取一点A,过A作/43_1_。于4,过A作ACJ■。于C

二.ABu/,ACu/且A3cAC=A,

又•.•a_Ly,ari7=a,ABJ.a,.•.A8J_a,

又•・,/ua,A5_L/,

同理可证AC_L/,

又•.ABuy,ACuy且A5cAe=A,

/±/

【变式】如图所示，在长方体川阳”4区G〃中，AB=AD=\,/14=2,也是棱CG的中点.证明：立面/侬J_平面

AML

【分析】通过长方体的几何性质证