2025-2026学年四川省南充市高坪中学高二上册第一次月考数学试卷（含解析）

/四川省南充市高坪中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．为了解某地参加计算机水平测试的500名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的200名学生的成绩是（

）A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量2．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.63．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（

）A． B． C． D．4．总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（

）（第一行）1712

1340

3320

3826

1389

5103

7417

7637（第二行）1304

0774

2119

3056

6218

3735

9683

5087A．20 B．26 C．17 D．035．已知点关于x轴的对称点为，则（

）A． B． C． D．6．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（

）A． B． C． D．7．已知，若不能构成空间的一个基底，则（

）A．3 B．1 C．5 D．78．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列说法不正确的是（

）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为10．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．的最小值为 D．的最大值为411．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（

）A． B．C． D．的长为三、填空题12．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，．若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码被成功破译的概率为_________．13．一组数据的方差为2，则的方差为________．14．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则_________．四、解答题15．在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点．(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值．16．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

(1)求直方图中的值；(2)估计月平均用电量的第50百分位数；(3)已知该城市一共有36万户居民，试估计该市月平均用电量在的用户有多少户？17．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求“星队”在两轮活动中全都猜对的概率；(2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率；(3)求“星队”在两轮活动中至少猜对1个成语的概率．18．4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）男生一周阅读时间频数分布表小时频数92533

(1)从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率；(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数，；(3)估计总样本的平均数和方差.参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和.，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中.19．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为．①求证：平面平面；②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由．参考答案1．B【详解】在总体中，被抽取的对象为样本.2．C【详解】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个；则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，，，共个；所以这两个数都是奇数的概率是.故选：C.3．C【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则，所以.故选：C4．D【详解】从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，选出的编号依次为：12，13，40，33，20，38，26，13，89，51，03，…，剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，则选出来的个体的编号依次为：12，13，20，26，03，…，所以选出来的第5个个体的编号为03.故选：.5．A【详解】由点关于x轴的对称点为，所以．6．D【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：甲连胜2局，概率为，前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为，则甲战胜乙的概率为．故选：D．7．B【详解】若不能构成空间的一个基底，共面，存在，使，即，解得，故选：.8．C【详解】根据题意，不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从中任意取两个不同的素数、，有种取法，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故C正确，B错误；则有，，选项A，D错误．9．ABC【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确.故选：ABC.10．AC【详解】对于A，若，且，则存在唯一实数使得，即，则，解得，故A正确；对于B，若，则，即，化简得，因为，所以无实数解，故B错误；对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误.故选：AC.11．AC【详解】∵，故A正确.∵.故B错误.又∵，.，；，..∴.故C正确.∵，∴.故D错误.故选：AC.12．【详解】解：根据题意，甲乙两人能破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有破译密码的概率，所以密码被成功破译的概率．13．8【详解】记的方差为，由方差的性质知的方差为．14．【详解】已知，是空间单位向量，，.因为对于任意，都有，则当时，取得最小值.记，当时，有最小值，且.，.15．(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，所以，所以，故；(2)【详解】（1）略；（2），，所以，，，所以，因为异面直线所成角范围，故异面直线与所成角的余弦值为16．(1)(2)第50百分位数是224(3)147600（户）【详解】（1）由题意知，解得，（2）因为所以月均用电量的第50百分位数在内，设第50百分位数为由解得，故月均用电量的第50百分位数是224；（3）因为月均用电量在的频率为所以月均用电量在的用户为（户）．17．(1)(2)(3)【详解】（1）分别用表示甲在第一轮、第二轮活动中猜对；用表示乙在第一轮、第二轮活动中猜对，则，​；​，​，所有事件相互独立.“全都猜对”即两轮共4个成语全部猜对，概率为​，（2）猜对3个即恰好1个猜错，分两类：甲猜错1个，乙全对：概率为​乙猜错1个，甲全对：概率为总概率为：（3）至少猜对1个成语的概率“至少猜对1个”的对立事件是“全部0个猜对（全猜错）”，全猜错的概率为：因此至少猜对1个的概率为：.18．(1)(2)，；(3)，.【详解】（1）一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，女生有人，若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为，，，，，从这6人中任意抽取2人，则样本空间.记事件“恰好一男一女”，则，所以，所以从这6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率为；（2）估计男生一周课外阅读时间平均数；估计女生一周课外阅读时间的平均数；（3）估计总样本的平均数，∵，，∴，，，，∴，所以估计总样本的平均数和方差分别是3.6和3.19．(1)取的中点F，连接，，又为的中点，则，且，又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，，则，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．(2)①由题意知，