2025-2026学年云南省红河州高二下册期末学业水平质量检测数学试卷（含解析）

/数学本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.设集合，，则的元素个数是（）A. B. C. D.3.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.4.已知，，则（）A. B. C. D.5.已知圆台的下底面半径是上底面半径的倍，侧面积为，母线长为，则圆台的体积为（）A. B. C. D.6.某学校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖.现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有（）A.种 B.种 C.种 D.种7.若是定义在上的奇函数，且，则的值为（）A.1 B.2 C.0 D.-18.曲线：的对称中心是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分.9.已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.是与的等差中项10.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（）A.圆的圆心坐标为B.当时，抛物线的焦点在圆上C.当时，圆和圆相交的公共弦所在直线方程为D.当时，若动圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹为双曲线的一支11.正方体中，分别为棱的中点，为平面上一点，且平面，则下列说法正确的是（）A.平面截此正方体所得的截面为五边形B.的轨迹为线段C.三棱锥的体积为定值D.线段取最小值时，是线段的一个五等分点三、填空题：本题共小题，每小题分，共分.12.已知向量，，且，则实数的值是________.13.已知公差为的等差数列满足，则数列的前项和是________.14.对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点.已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在，使得是的不动点，则整数的值是________.四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某中学教师对该校高二年级学生期中考试的数学成绩（总分分）进行统计分析.在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将数学成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀.（1）求这名学生中数学成绩为优秀的人数；（2）求这名学生的数学成绩的上四分位数；（3）在样本中，采取分层抽样的方法从数学成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取名，记这名学生中数学成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望.16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，.（1）求证：；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.17.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求；（2）若，（i）求的外接圆的面积；（ii）设，且为的中点，求的长.18.已知函数.（1）若，求在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若在上恒成立，求的取值范围.19.已知双曲线：经过点，.（1）求的方程；（2）过点且斜率为的直线与的右支相交于两点，（i）求斜率的取值范围；（ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.

数学本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：．2.设集合，，则的元素个数是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：联立，解得或，即，故的元素个数为．3.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：在的展开式中，通项，令，得，所以的系数为．4.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用余弦和角公式展开，结合已知的​求出的值，再将变形为代入数值计算得到结果.解答过程：因为，又，解得，所以．5.已知圆台的下底面半径是上底面半径的倍，侧面积为，母线长为，则圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：直接设出圆台的基本量，由侧面积可得圆台上下底面半径，再由勾股定理可得圆台的高，进而可得圆台体积.解答过程：如图，设圆台的上底面半径为，高为，母线长为，由题可知，下底面半径，，又由圆台的侧面积公式：，解得.又由勾股定理得，在圆台中，，所以圆台的体积.因此圆台的体积为.6.某学校读书节活动中，甲、乙、丙、丁位同学获奖.现将人排成一排照相，则甲、乙两人相邻的不同排法有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：C解析：解答过程：第一步：将甲、乙全排列有种不同的排法；第二步：将甲、乙看成一个整体再与丙、丁全排列有种不同的排法；由分步计数原理得，共有种不同的排法．故选C．7.若是定义在上的奇函数，且，则的值为（）A.1 B.2 C.0 D.-1答案：C解析：思路：根据函数是奇函数结合已知得出周期为4，再应用周期结合赋值法得出函数值.解答过程：因为是定义在上的奇函数，所以且，又因为，所以，所以，所以函数的周期为4，因为，令，所以，则；故选：C.8.曲线：的对称中心是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：曲线的方程可化为，结合图象平移及椭圆的几何性质可得结论.解答过程：因为可化为，即，即，所以是由对称中心为的椭圆向右平移个单位得到的，故的对称中心是．二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分.9.已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.是与的等差中项答案：ABD解析：思路：利用等比数列通项公式和前项和公式即可.解答过程：对于A，由题得，则，解得或（舍去），故A正确；对于B，由A选项可知，又，解得，故B正确；对于C，由B选项可知，得，，故，故C错误；对于D，因为，，则，所以是与的等差中项，故D正确．10.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（）A.圆的圆心坐标为B.当时，抛物线的焦点在圆上C.当时，圆和圆相交的公共弦所在直线方程为D.当时，若动圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹为双曲线的一支答案：AC解析：思路：对A，直接对照圆标准式得到圆心坐标判定；对B，求出抛物线焦点，代入时圆方程验证不满足；对C，时写出两圆一般方程，两式相减消去二次项得到公共弦直线；对D，根据内外切关系列出、表达式，相加得，符合椭圆定义而非双曲线.解答过程：对于A，由圆：可知圆的圆心坐标为，故A正确；对于B，当时，圆：，又抛物线的焦点为，由，可知抛物线的焦点不在圆上，故B错误；对于C，当时，圆：，圆：，作差可得：圆和圆的公共弦所在直线方程为，故C正确；对于D，当时，如图，设圆半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以则又，故的轨迹不是双曲线，故D错误．11.正方体中，分别为棱的中点，为平面上一点，且平面，则下列说法正确的是（）A.平面截此正方体所得的截面为五边形B.的轨迹为线段C.三棱锥的体积为定值D.线段取最小值时，是线段的一个五等分点答案：BCD解析：思路：对于A，根据棱的中点及平行四边形的性质可得截面为平行四边形；对于B先证明平面平面，再由条件可得平面，再结合已知条件可得线段即为的轨迹；对于C由平面平面得；对于D，由条件可得，进而只需求的最小值，在直角中，用等面积法可得结果.解答过程：如图，对于A，因为为棱的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，因此且.又因为是棱的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以且.由平行公理得且，所以四边形是平行四边形，所以平面截此正方体所得的截面为平行四边形，故A错误；对于B，由A选项分析知，且平面，平面，由线面平行的判定定理得平面，又平面，且，平面，根据面面平行的判定定理，平面平面.又平面，则平面，又平面，且平面平面，则，所以线段即为的轨迹，故B正确；对于C，因为是棱的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，由B选项可知为点的轨迹，所以，所以三棱锥体积为定值，故C正确；对于D，由平面，平面，所以.因此，则若使取最小值只需取最小值，又直角中，当时，取最小值，故此时点为所求．设，则，由的面积，解得，则，又，所以，则是线段的一个五等分点，故D正确.三、填空题：本题共小题，每小题分，共分.12.已知向量，，且，则实数的值是________.答案：解析：思路：根据向量平行的坐标公式，即可求解.解答过程：由，得，解得．13.已知公差为的等差数列满足，则数列的前项和是________.答案：解析：解答过程：由题知，．因为，所以，则，又因为当为奇数时，；当为偶数时，，令，此时，，，，则数列的前项和为．14.对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点.已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在，使得是的不动点，则整数的值是________.答案：解析：思路：理解不动点，，即，整理得，，结合是整数，最后得出答案.解答过程：由，，得．由是函数的不动点，得，即，所以，．令，，则，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，，，所以，故．由，得，又，故整数的值是．四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某中学教师对该校高二年级学生期中考试的数学成绩（总分分）进行统计分析.在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将数学成绩分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀.（1）求这名学生中数学成绩为优秀的人数；（2）求这名学生的数学成绩的上四分位数；（3）在样本中，采取分层抽样的方法从数学成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取名，记这名学生中数学成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望.答案：（1）50（2）（3）解析：思路：（1）用总人数乘以频率分布直方图中最后两个矩形的面积即可；（2）求这组数据的75百分位数即可；（3）由分层抽样的方法可知数学成绩在内的有人，在内的有人，从而可得的可能取值为，求出对应的概率，再由期望公式求解即可.（1）依题意，不低于分的人数为，所以这名学生中数学成绩为优秀的人数为；（2）由频率分布直方图知前组的频率之和为，所以这名学生的数学成绩的上四分位数（即分位数）为分；（3）由频率分布直方图知数学成绩在内的有人，数学成绩在内的有人，故采取分层抽样的方法从数学成绩在内的学生中抽取名，数学成绩在内的有人，在内的有人，由题可知的可能取值为，则，，，所以的分布列为故．16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，.（1）求证：；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.答案：（1）连接，因为分别为的中点，所以，因为底面是正方形，所以，所以，因为底面，底面，所以，又平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）解析：思路：（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，由面面角空间向量法计算即可求解.（1）略（2）以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，因为平面，所以是平面的一个法向量，所以，所以平面与平面所成夹角的余弦值为．17.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求；（2）若，（i）求的外接圆的面积；（ii）设，且为的中点，求的长.答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）利用正弦定理和三角恒等变换求解即可；（2）（i）利用正弦定理求出的外接圆半径，再由圆的面积公式求解即可；（ii）先由余弦定理求得，再结合向量法求解即可.（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，，因为，所以，得，即；（2）（i）由正弦定理得，（是的外接圆的半径）解得，所以的外接圆的面积为；（ii）由余弦定理，即，得，解得或（舍去），因为为的中点，则，所以，即，则，故的长为．18.已知函数.（1）若，求在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若在上恒成立，求的取值范围.答案：（1）（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（3）解析：思路：（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；（2）先求导，再分和两种情况，利用导数分析求解即可；（3）由题意得到在上恒成立，再构造函数，并利用其单调性将问题转化为在上恒成立，进而求解不等式即可.（1）当时，，因为，所以切点为，又斜率，故切线方程为：，即；（2），的定义域为，当时，，，所以在上单调递增，当时，时，，，所以在上单调递减，时，，，所以在上单调递增；（3）由题可知在上恒成立，即在上恒成立，则有在上恒成立，令，由可得在上单调递增，故可化为，所以在上恒成立,即，解得，故的取值范围为．19.已知双曲线：经过点，.（1）求的方程；（2）过点且斜率为的直线与的右支相交于两点，（i）求斜率的取值范围；（ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.答案：（1）（2）（i）；（ii）存在，解析：思路：（1）将两点坐标代入双曲线方程即可求解.