2025-2026学年云南省昆明市呈贡区第一中学高二下册6月模拟检测数学试卷（含解析）

/数学满分：150分一、单选题（每题5分，共40分）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.，是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.在四边形中，，，为的中点，则等于（）A. B. C. D.4.某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（）A.7 B.8 C.9 D.105.下列说法中，错误的个数为（）①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%；②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强；③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且④随机变量，且，则A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（）A.1 B. C. D.7.一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、多选题（每题6分，选不全得部分分，错选不得分，共18分）9.下列说法正确的有（）A.一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3B.若随机变量，则C.若事件，满足，则与是对立事件D.若事件，满足，则事件，相互独立10.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递减数列B.C.，，成等差数列D.当或4时，取得最大值11.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距离地面2米，最高点距离地面18米．已知游客在距离地面最近的位置进舱，游客距离地面的高度h（米）关于进舱时间t（分钟）的函数解析式为（其中，，），则正确的有（）A. B.C. D.从登上摩天轮的时刻开始计时，经过8分钟，游客与地面的距离为14米三、填空题（每题5分，共15分）12.已知复数，则________，其中复数的虚部为________．13.二项式的展开式中常数项为第__________项．14.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______．四、解答题15.在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．16.已知函数．（1）当时（ⅰ）求在处的切线方程（ⅱ）求函数的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．17.如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求直线与直线间的距离.18.现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止．（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；（3）记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望．19.已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于点，.（1）求椭圆的标准方程与离心率；（2）若直线与圆O:x2+y2=r2 (0<r<b)交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别为点

数学满分：150分一、单选题（每题5分，共40分）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由已知得，所以.2.，是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：，，显然当成立时，不一定成立，例如，当成立时，显然一定成立，所以，是的必要不充分条件.3.在四边形中，，，为的中点，则等于（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：.则.4.某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：B解析：解答过程：由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差，则其前项和，整理可得，即，解得或（舍去），所以该层数为8.5.下列说法中，错误的个数为（）①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%；②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强；③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且④随机变量，且，则A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：解答过程：对于①，且，则我们认为在犯错误的概率不超过的前提下，认为两个分类变量不独立，①正确.对于②，相关系数的绝对值越大，相关性越强，，故甲组数据的线性相关性更强，②错误.对于③，因为是不放回随机抽样，所以随机变量服从超几何分布，③错误.对于④，且，，又，，得，④错误.综上，错误的个数为3个.6.当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案.解答过程：直线过定点，圆的标准方程为，则圆心为，半径为.定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短.因为，所以直线的斜率为1，故，解得.7.一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，把三棱锥补成一个长方体，结合长方体的对角线就是球的直径，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.解答过程：三棱锥中，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长分别为，因为三棱锥的四个顶点同在一个球面上，则三棱锥是长方体的一个角，可扩展为长、宽、高分别为的长方体，三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的外接球的半径为，可得所以外接球的半径为，可得外接球的表面积为．8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据焦点到渐近线的距离可得，结合可得，进而得到并计算离心率即可．解答过程：设点，渐近线方程为，即,则点到渐近线的距离为，又，，，解得，则，．二、多选题（每题6分，选不全得部分分，错选不得分，共18分）9.下列说法正确的有（）A.一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3B.若随机变量，则C.若事件，满足，则与是对立事件D.若事件，满足，则事件，相互独立答案：ABD解析：解答过程：对于选项A，可知，所以8个数据的第30百分位数为第3个数字，即3，所以A正确；对于选项B，由二项分布可知，所以B正确；对于选项C，由无法得出，所以无法判定与是否是对立事件，所以C错误；对于选项D，可知，可得，化简得，即事件，相互独立，所以D正确；10.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递减数列B.C.，，成等差数列D.当或4时，取得最大值答案：ACD解析：思路：由的关系求得通项公式，再结合等差数列的性质逐项判断即可.解答过程：当时，，又，所以，则是递减数列，故A正确；，故B错误；因为，所以，故数列为等差数列，所以，，成等差数列，故C正确；因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确．11.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距离地面2米，最高点距离地面18米．已知游客在距离地面最近的位置进舱，游客距离地面的高度h（米）关于进舱时间t（分钟）的函数解析式为（其中，，），则正确的有（）A. B.C. D.从登上摩天轮的时刻开始计时，经过8分钟，游客与地面的距离为14米答案：ABD解析：解答过程：由已知，解得，，故A正确；因为摩天轮每分钟旋转一周，所以，即，故，B正确；由最低点距离地面米得：，从而，因为，，故C不正确；综上，当时，，故D正确.三、填空题（每题5分，共15分）12.已知复数，则________，其中复数的虚部为________．答案：①.②.解析：解答过程：由，则，所以，的虚部为．13.二项式的展开式中常数项为第__________项．答案：解析：思路：利用二项式展开式的通项公式，令的指数为0求出r，即可得到常数项对应的项数.解答过程：展开式的第项为：，其中令，得到，故展开式中常数项为第项.14.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______．答案：解析：思路：过点M，N作准线的垂线段，利用抛物线定义结合直角三角形求解作答．解答过程：解：如图，过点M，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B，过N作于P，显然四边形是矩形，因直线过抛物线的焦点，交抛物线于，由抛物线定义知，，而，则，，设直线的倾斜角为，在，，则，．四、解答题15.在锐角中，，，分别为内角，，的对边，满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．答案：（1）（2）解析：（1）在中，因为，由正弦定理得，即，而，则，又，所以．（2）由（1）得，由锐角，得，解得，因此，由，得，即，所以的范围是．16.已知函数．（1）当时（ⅰ）求在处的切线方程（ⅱ）求函数的单调区间；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．答案：（1）（ⅰ）；（ⅱ）的单调减区间是，单调增区间是（2）解析：思路：(1)先求导，求出点的斜率和函数值，利用点斜式即可求切线方程，求导即可求出单调区间(2)写出不等式，分离参数，构造新函数求导，求出最大值即可求出的取值范围（1）（ⅰ）当时，函数的定义域是，，，，由点斜式可得；，所以切线方程为；（ⅱ）令，得，解得，所以的单调减区间是，令，得，解得，所以的单调增区间是，综上，的单调减区间是，单调增区间是；（2）由任意，知恒成立，因为，故，在上恒成立，设，则，令，得，(舍去)，当时，，单调递增，，，单调递减，故，取得极大值，也是最大值，且，所以若在上恒成立，则，故实数的取值范围是.17.如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求直线与直线间的距离.答案：（1）证明：（方法一）连接，如图所示：因为，且四边形为矩形，所以，又因为，所以，因为平面，平面，所以平面；（方法二）因为，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：可得，，，，，，，，平面的一个法向量为，，，∵平面.∴平面.（2）（3）.解析：思路：（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可；（2）利用空间向量法求解即可；（3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离.（1）略（2）由（1）的方法二可知：，，.设平面的一个法向量为，则，取，可得，，所以，设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（1）的方法二可知：，，，，∴.则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离，.所以直线与直线间的距离为.18.现有标号依次为1，2，…，的个盒子（其中），标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止．（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；（3）记号盒子中红球的个数为，求第号盒子有两个红球和两个白球的概率及的期望．答案：（1）（2）分布列123（3），解析：思路：（1）计算从1号盒取出1红1白的组合数与总取法组合数的比值，即为所求事件概率.（2）先确定的所有可能取值，对每个取值分情况计算两步取球的概率乘积之和，整理得到分布列.（3）对于一般情形的，引入变量分别表示第号盒为3红1白、2红2白的概率，根据取放球规则建立概率递推关系，构造等比数列求解2红2白的概率，再结合期望定义与递推恒等式简化计算期望.（1）设事件号盒子里有2个红球，由题可知2号盒子里有2个红