2025-2026学年浙江北斗星盟高二下册阶段性质量检测试卷高二数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟；一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.若复数则（）A.2 B. C.4 D.54.2026年马来西亚羽毛球公开赛中，国羽斩获两金三银，展现出顽强的拼搏精神与团队意识.某校举办羽毛球团体赛，现从5名男生，5名女生中选出8名组成4队混双(一男一女)参加比赛，则不同的组合方式有（）种A.25 B.600 C.1200 D.144005.已知两点在曲线y=ex上，C,D两点在曲线上，设A(x1,exA.1 B. C.2 D.6.已知函数与恰有三个交点，，，则（）A. B.0 C.3 D.与a的取值有关7.已知函数fx=sin2x−3A. B. C.3(3−1)2 D.8.已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点.若且，则直线OP的斜率为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.某校随机调查了40名高三学生某周参加体育锻炼的次数，得到如下频数分布表：锻炼次数x012345频数n46101262根据以上数据，下列结论正确的是（）A.这组样本数据的中位数为2.5B.这组样本数据的平均数为2.4C.从这40名学生中随机抽取2名，恰有1名学生该周锻炼次数不少于3次的概率为D.若从锻炼次数不少于3次的学生中按分层抽样抽取10人，则应从锻炼次数为4次的学生中抽取4人10.已知函数下列说法正确的是（）A.若，则方程有3个不相等的实数根B.若方程的3个不相等的实数根，则C.存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点D.对任意实数，函数都是奇函数11.已知数列满足:，下列说法正确的是（）A.B.数列单调递增C.存在正整数，使得D.数列单调递增第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，共15分.12.(x+1)(x+2)⁶展开式中x³的系数是____________________.13.将个半径为的小球放置在一个球形容器中(厚度忽略不计)，求球形容器的半径的最小值_________14.已知向量是互相垂直的单位向量，向量满足，若恰有两个不同的使得取到最大值，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知锐角中，.（1）求B的大小;（2）若，求周长的取值范围.16.如图所示，已知三棱锥中，，，，.（1）在棱AB上取点E使，证明：.（2）求二面角的余弦值.17.平面内有一点和直线，动点满足：T到点F的距离与T到直线l的距离的比值是．记点T的运动轨迹是曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过F且斜率存在的动直线m与曲线E交于A、B两点，P是x轴上的动点，满足．(i)求面积的取值范围；(ii)是否存在定点Q，使得对于任意的动直线m，都有A、B、Q、P四点共圆．18.甲、乙、丙三人进行传球游戏，规则如下：甲每次有概率传给乙，概率传给丙；乙每次等可能传给甲或丙；谁传给丙，丙就会把球传回给谁；已知传球游戏开始前，球在甲手中.（1）经过2次传球之后，球在甲、乙、丙手中的概率分别是多少?（2）经过n次传球之后，球在甲手中的概率是多少?（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且PXi=1=1−PXi=0=qi，i19.已知函数fx=x3−3（1）当时，若该直线与曲线相切，求的值；（2）求的最小值，使得对任意实数，方程有且只有一个实根.（3）方程fx=3ln

数学满分150分，考试时间120分钟；一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为集合，，所以，所以.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：解答过程：因为全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是，.3.若复数则（）A.2 B. C.4 D.5答案：B解析：思路：根据复数的除法，模长公式求解即可．解答过程：由z=则，所以．4.2026年马来西亚羽毛球公开赛中，国羽斩获两金三银，展现出顽强的拼搏精神与团队意识.某校举办羽毛球团体赛，现从5名男生，5名女生中选出8名组成4队混双(一男一女)参加比赛，则不同的组合方式有（）种A.25 B.600 C.1200 D.14400答案：B解析：解答过程：利用组合数和排列数，根据分步乘法计数原理即可求解.根据题意：第一步：先选4名男生有种选法，第二步：再选4名女生有种选法，第三步：给4名男生配一名女生有种选法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的组队方式.5.已知两点在曲线y=ex上，C,D两点在曲线上，设A(x1,exA.1 B. C.2 D.答案：A解析：思路：设公切线在

上切点横坐标为，写出两切线方程，令截距相等得关于的方程，注意到该方程若为根，则也为根，故两切点横坐标

互为相反数，从而得到ex1+x2的值.解答过程：导数为y'=ex，导数为.设公切线切于(t,et)则公切线斜率k=的切线方程为y−e对代入m=e−t两切线截距相等，整理得et若是上述方程的根，将代入方程左边得e−t(1+t)+(−t)+1=题目中是方程的两个根，因此​，得.因此ex6.已知函数与恰有三个交点，，，则（）A. B.0 C.3 D.与a的取值有关答案：C解析：思路：分析可知函数，均关于点对称，结合函数对称性运算求解即可.解答过程：由题意可得：fx=ln可知函数，的定义域为，又因为f2−且g2−可知函数，均关于点对称，且，不妨设，可知点即为，点，关于点对称，则，，所以x17.已知函数fx=sin2x−3A. B. C.3(3−1)2 D.答案：C解析：思路：利用万能公式设t=tan⁡x，将三角不等式化为关于的二次不等式恒成立.需开口向下且判别式，解出范围；再单独验证不存在的情形（），得的最小值.解答过程：原不等式为sin⁡2当，令t=tan利用万能公式sin⁡2x=2t代入不等式两边同乘1+t2，整理得关于的二次不等式

(对任意，二次函数恒小于等于0，需满足：开口向下，且判别式.计算判别式：

Δ=

令，得3−m(对（t=tan⁡x不存在的情况），代入原不等式得3因此的最小值为.8.已知点A，B在曲线上，以点A，B为切点的关于曲线C的切线交于点P（P在第一象限），作，垂足为H，O为坐标原点.若且，则直线OP的斜率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设，根据切线分析可知直线，与曲线C方程联立可得韦达定理，设线段的中点为，可知三点共线，可得AB=4PH，AB=22PM，结合长度关系运算求解即可.解答过程：设，，，，，因为直线OP的斜率为，即，又因为点在曲线C:x2−由题意可知：曲线在点A处的切线斜率不为0，可设切线方程为x=m联立方程x=my−y则，且Δ=4m2x则切线方程为x=因为点在曲线上，则，所以曲线在点A处的切线方程为，即x1x−同理可得：曲线在点B处的切线方程为x2x又因为两条切线均过点，则x1x0−则点到直线的距离为d=x0因为，，，则AH=d，联立方程x0x−y0则，，则AB=即41+y0即x02+设线段的中点为，则y3=y且x0x3−y因为直线的斜率为kOM=y0且x3=x0x可知AH=HM，则即2x02则1+k2241−即，所以直线OP的斜率为.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.某校随机调查了40名高三学生某周参加体育锻炼的次数，得到如下频数分布表：锻炼次数x012345频数n46101262根据以上数据，下列结论正确的是（）A.这组样本数据的中位数为2.5B.这组样本数据的平均数为2.4C.从这40名学生中随机抽取2名，恰有1名学生该周锻炼次数不少于3次的概率为D.若从锻炼次数不少于3次的学生中按分层抽样抽取10人，则应从锻炼次数为4次的学生中抽取4人答案：ABC解析：思路：利用中位数的定义即可判断选项A；利用平均数的定义即可判断选项B；利用古典概率公式计算即可判断选项C；根据分层抽样的定义计算即可判断选项D．解答过程：对于A，由总共有40个数据，则中位数为第20、21个数据的平均数，又第20个数据是2，第21个数据是3，所以这组样本数据的中位数为，故A正确；对于B，这组样本数据的平均数为x=对于C，由该周锻炼次数不少于3次的学生有人，则少于3次的学生有人，所以恰有1名学生该周锻炼次数不少于3次的概率为P=对于D，结合选项C有锻炼次数不少于3次的学生有人，锻炼次数为4次的学生有人，则应从锻炼次数为4次的学生中抽取人，故D错误．10.已知函数下列说法正确的是（）A.若，则方程有3个不相等的实数根B.若方程的3个不相等的实数根，则C.存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点D.对任意实数，函数都是奇函数答案：ABC解析：思路：对于A，利用单调研究单调性作出函数图像即可判断，对于B，由x3−3x−a=x−x1x解答过程：由题意得：，令，解得或，由或，由，所以在1,+∞,−∞又，作出函数的函数图像：由图可知：当时，方程有3个不相等的实数根，故A正确；由得，即，又x3−3所以x1+x所以x1由y=x+by所以h′x=3由h'x>0⇒x<−所以在单调递增，在单调递减，所以的极大值为h−233=16作出的函数图像：由图可知：当−1639<b由gx又，所以为偶函数，当时，为奇函数，故D错误.11.已知数列满足:，下列说法正确的是（）A.B.数列单调递增C.存在正整数，使得D.数列单调递增答案：BD解析：思路：对A：令，结合题目所给条件，计算出即可得解；对B：借助数学归纳法结合函数在上单调递增，可得，即可得解；对C：借助反证法，假设存在正整数，使得，设为满足题意的最小下标，则可得，，计算可得bmbm+1>bm−12bm−1+1，与bmbm+1=b解答过程：对A：令，则由，可得，又，则，b2+b即b2−3b则b3即b32+故b3则a3对B：由，则bn+1下面借助数学归纳法证明：当时，；假设当n=kk则当时，bk+1令，则在上单调递增，则fbk+1即对任意，都有，且有，即，故，故B正确；对C：假设存在正整数，使得，设为满足题意的最小下标，由，故，满足am>2m−1，且有am−1由bn+1b则bmbm由22m−1与bm对D：an由，则bn+1则bn+1=由B知，又，故bn≥2，令gx则g=2x3则随的增大而增大，故随的增大而增大，即数列单调递增，故D正确.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，共15分.12.(x+1)(x+2)⁶展开式中x³的系数是____________________.答案：400解析：思路：利用多项式乘法分配律将(x+1)(x+2)⁶拆分为两项x(解答过程：x+1设(x+2)⁶展开式通项为Tk令6−k=3,得,T4=C6令6−k=2,得,T5=C642所以，的系数为C63方法提示：13.将个半径为的小球放置在一个球形容器中(厚度忽略不计)，求球形容器的半径的最小值_________答案：##解析：思路：为了使容器半径最小，应将个小球按正八面体的顶点排列，结合相切性质计算即可得.解答过程：如图，因为是在球形容器内，所以个小球的位置要尽量完美对称，把个小球球心放在一个正八面体的个顶点时，占空间最小，如图，设大球球心在点，正八面体每条棱长都相等，每个小球都相切，由小球半径为，则正八面体的棱长为，则，当小球与球形容器相切时，可得Rmin即球形容器的半径的最小值为.14.已知向量是互相垂直的单位向量，向量满足，若恰有两个不同的使得取到最大值，则的取值范围是______.答案：解析：思路：由于向量是互相垂直的单位向量，不妨令，设，运用坐标解决问题，转化为求解点的轨迹问题.解答过程：由于向量是互相垂直的单位向量，不妨令，设，由c−，故点为到定点与定点之和为的点的轨迹，若恰有两个不同的使得取到最大值，即恰有两个点使取得最大值，那么设，F1F当时，点轨迹不存在，无解；当即时，点轨迹为线段，由于线段中垂线方程为直线，经过原点，故此时取得最大值处为点或点；当即时，点轨迹为以点，点为焦点的椭圆，如图所示，不妨以线段中点为原点，所在直线为轴，不妨把点在y轴正半轴上为区别原点重命名为，则椭圆的标准方程为，则原问题等价于恰有两个点使PQ=那么PQ=设f(t)=−2m由于，所以当−2(m2恰有两个点使PQ=x2+(y−2即取值范围为；当时，在−m2−2在时取得最大值，取得最大值的点为，仅有一个点，不满足题意，舍去；综上，取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知锐角中，.（1）求B的大小;（2）若，求周长的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理化边为角，结合内角和消去角A，通过恒等变换解出B的正切值从而求得角B，（2）利用正弦定理将周长转化为关于角A的三角函数，并利用锐角三角形的条件限定角A的取值范围，进而求出周长的取值范围.（1）由正弦定理得，在中，，则，则，即，即，因为，所以，则，即，因为，所以.（2）由正弦定理得，即，则a=43由题意得A<π2C<π2由正弦函数的性质得，则4sinA+π616.如图所示，已知三棱锥中，，，，.（1）在棱AB上取点E使，证明：.（2）求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用余弦定理求解出角的大小进而确定等腰与等边三角形，通过三线合一的性质证明线面垂直，最终可得到线线垂直的结论，（2）在棱上取点构造二面角的平面角，通过解三角形求出该角的余弦值即可.（1）在中，由余弦定理得，因为为三角形内角，所以，在中，由余弦定理得，因为为三角形内角，所以，在中，且，所以是等边三角形，取的中点，连接，因为是等边三角形，所以，在中，已知，所以是等腰三角形，故，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）在棱上取点，连接，使得，在中，，由余弦定理得，因为，所以，在平面内，过作交于点，连接，因为，且平面，平面，所以为二面角的平面角，在Rt△AKQ中，，，所以，，在中，由余弦定理得cos∠CAD在中，由余弦定理得，在中，cos∠DKQ所以二面角的余弦值为.17.平面内有一点和直线，动点满足：T到点F的距离与T到直线l的距离的比值是．记点T的运动轨迹是曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过F且斜率存在的动直线m与曲线E交于A、B两点，P是x轴上的动点，满足．(i)求面积的取值范围；(ii)是否存在定点Q，使得对于任意的动直线m，都有A、B、Q、P四点共圆．答案：（1）；（2）(i)；(ii)．解析：思路：(1)根据动点坐标，由所给条件列出关于的等式，化简即可得到动点轨迹方程；(2)(i)设直线方程，联立与椭圆的方程，利用弦长公式计算弦长，再根据中垂线方程求出点P坐标，计算点到直线的距离，代入计算面积，根据解析式计算面积的取值范围；(ii)取直线AB的对称直线：斜率为，得到两组四点：与，两组图形都关于x轴对称，因为四点共圆，若定点Q不在x轴上，则点Q关于x轴还有对称点，就不是唯一定点了；因此：满足题意的公共定点Q，必然在x轴上，可设Q点坐标，根据相交弦定理，列出等式，即可计算Q点坐标．（1）由，，可得：TF=T到直线l的距离；由题意得：TFd两边平方去分母可得：x−4整理得：，化简可得：，即；故曲线E的方程为．（2）(i)设直线m方程为：，，联立与曲线E的方程可得：x24+恒成立；设，由韦达定理可得：，；设AB的中点为,则，x0因为，则，故为直线m的中垂线，斜率为，故方程为：，令可得点的横坐标为：，故P13k2则PF=y故S△令，则，可得：ft=18则f=54故在时单调递减；故ft=18故△PAB面积的取值范围为；(ii)设Q点坐标，Q点在F右侧则AB与PQ交于点F，根据圆的相交弦定理可得：FA⋅FAFP⋅故9k2+13k综上，存在定点Q，使得对于任意的动直线m，都有A、B、Q、P四点共圆．方法提示：圆锥曲线与直线的综合问题，需先列式，根据含参数的式子再计算取值范围；对于探究性题目是否存在定点，可设存在，通过计算可判断假设是否成立．18.甲、乙、丙三人进行传球游戏，规则如下：甲每次有概率传给乙，概率传给丙；乙每次等可能传给甲或丙；谁传给丙，丙就会把球传回给谁；已知传球游戏开始前，球在甲手中.（1）经过2次传球之后，球在甲、乙、丙手中的概率分别是多少?（2）经过n次传球之后，球在甲手中的概率是多少?（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且PXi=1=1−PXi=0=qi，i答案：（1），0，；（2）Pn（3）所以EY解析：思路：(1)按游戏规则逐个求解；(2)当为奇数时，球不可能在甲手中,故Pn=0；当为偶数时,寻找第次传球后与第次传球后的关系式，去求解第次传球后，球在甲手中的概率为；(3)设Xi={1,第i次传球后球在甲手中0,第i次传球后球不在甲手中，则（1）经过2次传球之后，球在甲手中，则第一次甲传给乙，第二次乙传给甲，或者第一次甲传给丙，第二次丙传给甲，所以球在甲手中的概率是；经过2次传球之后，球肯定不会在乙手中，所以球在乙手中的概率是0；经过2次传球之后，球在丙手中，则第一次甲传给乙，第二次乙传给丙，所