2025-2026学年浙江省温州市平阳县万全综合高级中学等校高一下册第一次联考数学试卷（含解析）

/数学满分150分，时间120分钟.第一部分（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.3.“函数是幂函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充要条件4.已知命题：，则命题的否定为（

）A. B.C. D.，5.如图，在平行四边形中，E是中点，G为与的交点，若，则用表示（）A. B. C. D.6.设函数则（）A.—2 B. C. D.7.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.8.已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线是函数的一条对称轴B.函数的图象关于点成中心对称C.函数的周期为D.函数的单调递增区间为，10.已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A. B.关于x的不等式的解集是C. D.关于x的不等式的解集为或11.已知函数则下列结论正确的是（）A.，都有B.且，都有C.的值域为D.关于的方程有3个不等实数根第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知且z−2=1，则z13.已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________．14.如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数为虚数单位．（1）若复数的实部与的虚部相等，求实数的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围；（3）当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．16.（1）已知平面向量，，，.（i）若，求和的值；（ii）在（i）的条件下，若，求实数的值；（2）已知，若，求的最小值.17.已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，（ⅰ）求的值．（ⅱ）求面积的取值范围．18.已知偶函数和奇函数满足.（1）求，的解析式；（2）求关于的不等式的解集；（3）存在满足，求的取值范围.19.某小区内有一扇形空地，弧长是米，面积是平方米，现要在扇形空地内部规划出一个内接矩形区域，用来修建业主活动室．设计师给出了两个设计方案，如图所示：（1）在方案一中，设，求矩形的面积（用表示）；（2）求方案一中矩形面积的最大值；（3）欲使业主活动室的面积最大，应选择哪个方案？说明理由．

数学满分150分，时间120分钟.第一部分（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：用列举法表示，再根据并集、补集的定义计算可得.解答过程：因为，又，，所以，所以.故选：D2.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：复数z=所以|z3.“函数是幂函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充要条件答案：C解析：思路：根据幂函数的定义求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断.解答过程：若函数是幂函数，则，解得或；则由“函数是幂函数”推不出“”，故充分性不成立；由“”推得出“函数是幂函数”，故必要性成立；所以“函数是幂函数”是“”的必要不充分条件.故选：C4.已知命题：，则命题的否定为（

）A. B.C. D.，答案：D解析：思路：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出结论即可.解答过程：命题：，是一个全称量词命题，说明对任意的正数，使成立，则它的否定是：存在正数，使成立，所以，命题的否定为为：，.故选：D.5.如图，在平行四边形中，E是中点，G为与的交点，若，则用表示（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用与相似，得到，得到，由，求出和，代入到即可得解.解答过程：在平行四边形中，，故与相似，所以，即，所以，又，，所以，所以.故选：B6.设函数则（）A.—2 B. C. D.答案：B解析：思路：按照从内到外的顺序，先计算内层f−2解答过程：因为，所以f−2=因为，所以f4=4+所以ff7.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可.解答过程：解：函数的定义域为，值域为，可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的值域；C图象满足题目要求；D图象，不是函数的图象；故选：C．8.已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：转化为方程解的问题，进一步可转化为求函数的零点问题，利用零点存在性定理即可得解.解答过程：令，则由题意知，因为，，，又函数在上的图象是一条连续不断的曲线，所以函数在区间内有零点，即方程有解，所以函数与图象交点的横坐标所在的区间是．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.直线是函数的一条对称轴B.函数的图象关于点成中心对称C.函数的周期为D.函数的单调递增区间为，答案：BC解析：思路：根据正弦函数的对称性逐一判断A，B，应用正切函数周期及单调区间判断C，D.解答过程：对于A，因为，所以直线不是函数的对称轴，故A不正确；对于B，因为，所以函数图象关于点对称，故B正确；对于C，函数的周期为，故C正确；对于D，令，得，所以函数的单调递增区间是，故D不正确.故选：BC.10.已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A. B.关于x的不等式的解集是C. D.关于x的不等式的解集为或答案：ABD解析：思路：根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD.解答过程：由关于x的不等式的解集为或，知和3是方程的两个实根，且，故A正确；根据根与系数的关系知：，所以，选项B：不等式化简为，解得：，即不等式的解集是，故B正确；选项C：由于，故，故C不正确；选项D：不等式化简为：，解得：或，故D正确；故选：ABD.11.已知函数则下列结论正确的是（）A.，都有B.且，都有C.的值域为D.关于的方程有3个不等实数根答案：ABD解析：思路：根据函数的奇偶性、单调性，判断A、B，分、和讨论函数的解析式，通过分离常数项求得的值域，判断C；求解关于的方程，判断D.解答过程：因为恒成立，所以函数的定义域为.，，且，所以，所以A正确.设且，，因为，且，所以，.所以，即，所以函数在上单调递增.由A知，函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以在上单调递增.所以函数在上单调递增.且，都有与同号，所以B正确.当时，；当时，；.所以的值域为.所以C错误.关于的方程等价于，即，即.所以或，所以关于的方程有3个不等实数根，分别为，所以D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知且z−2=1，则z答案：解析：思路：利用复数模的几何意义，将问题转化为圆上动点到定点的距离最大值问题，即圆心到定点的距离与半径之和.解答过程：由z−2=1可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆；z−1+3i=|z−(1−3因为CA=所以z−1+3i的最大值为13.已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________．答案：解析：思路：根据列方程求得，根据投影向量的求法求得正确答案.解答过程：由于，所以，解得，所以，所以在方向上的投影向量的坐标为.14.如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________．答案：①.4②.##解析：思路：根据两点之间的距离以及对应图象的单调性可得出，再将代入可求得的值.解答过程：令，结合两点处的单调性可得，又，所以，又，可得，因此，又，且在处函数图象单调递增，因此，解得，又，所以.故答案为：4；；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数为虚数单位．（1）若复数的实部与的虚部相等，求实数的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围；（3）当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．答案：（1）（2）（3），解析：思路：（1）根据复数实部与虚部的定义列出方程即可求解；（2）根据复数的几何意义，列出方程组求解即可；（3）将复数代入方程，结合复数的运算列出方程组求解即可．（1）由题意得，解得．（2）因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得，所以实数的取值范围为．（3）因为复数是关于的方程的一个根，所以，所以，解得，．16.（1）已知平面向量，，，.（i）若，求和的值；（ii）在（i）的条件下，若，求实数的值；（2）已知，若，求的最小值.答案：（1）（i），；（ii）；（2）最小值为解析：思路：（1）（i）依托向量线性运算的坐标相等构建方程组求解参数；（ii）利用向量平行的坐标判定公式建立方程求实数；（2）将向量模长表达式转化为二次函数，借助二次函数性质求解最小值.解答过程：（1）（i）由，代入向量坐标得，可得方程组，解得，.（ii）由（i）得，故，则，，由两向量平行的坐标关系得，化简得，解得.（2）由，，得，则，令，其对称轴为，当时，，因此，的最小值为.17.已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，（ⅰ）求的值．（ⅱ）求面积的取值范围．答案：（1）．（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）（ⅰ）由，得，由正弦定理可知；（ⅱ）由正弦定理和面积公式得，利用△ABC为锐角三角形，得角的范围，由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围．（1），由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得，所以．令，解得，所以函数的单调递增区间为．（2）（ⅰ）已知，由，得，由正弦定理，得，，所以；（ⅱ）由（ⅰ）可知，，，由△ABC是锐角三角形，有，得，，则，所以，即面积的取值范围是．18.已知偶函数和奇函数满足.（1）求，的解析式；（2）求关于的不等式的解集；（3）存在满足，求的取值范围.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据奇偶函数的性质，构造方程，解方程组得函数解析式；（2）根据函数解析式判断单调性，利用单调性解不等式即可；（3）由题意转化为，换元后求的最大、最小值，求的最大值，建立不等式求解即可.（1），因为，，所以，解得，.（2）由可得定义域为，，在上单调递减，因为，所以，解得所求不等式的解集为.（3）存在满足即；令，，在上单调递增，得在上单调递增，所以，；在上单调递减，所以，所以，则，即，解得或(舍)，综上可得19.某小区内有一扇形空地，弧长是米，面积是平方米，现要在扇形空地内部规划出一个内接矩形区域，用来修建业主活动室．设计师给出了两个设计方案，如图所示：（1）在方案一中，设，求矩形的面积（用表示）；（2）求方案一中矩形面积的最大值；（3）欲使业主活动室的面积最大，应选择哪个方案？说明理由．答案：（1）（2）（3）方案一解析：思路：（1）利用扇形面积公式结合已知条件求出半径和圆心角，利用已知条件表示边长，再利用矩形面积公式求解；（2）利用正弦函数的性质，结