2025-2026学年重庆市三峡名校联盟高二下册学情调研数学试卷（含解析）

/数学（总分：150分考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.曲线在处的切线的斜率为（）A. B. C. D.2.重庆铁路沿线预备设巫山、云阳、万州、忠县、涪陵5个客运站，则铁路部门需要准备的不同的车票种数为（）A.10 B.20 C.25 D.1203.下列等式成立的是（）A. B.C. D.4.函数在处取得极小值，则的值为（）A.1 B. C.3 D.5.某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（）附：若随机变量服从正态分布，则．A.0.6827 B.0.9545 C.0.85135 D.0.841356.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的关系式为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（）A. B. C. D.7.某校进行篮球队员选拔，选拔的轮次为两轮，待选人员共10人，每一轮都从待选人员中随机选6人，每一轮选拔都是独立的、互不影响的.记两轮选拔结束后，被选中的总人数为（若两轮中选了相同之人，则只算一个，例如小明两次都被选中，在总人数中只会记录成一人），则（）A. B. C. D.8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．多项式函数，其中为杨辉三角第行从左到右的个数（杨辉三角如下图所示），例如当时，，则当时，在处的导数（）A. B. C. D.二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.随机变量满足，随机变量，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.袋子中装有除颜色外其他均相同的2个白球和3个黑球，现从中不放回地抽取两次，每次取1个球，记事件为第次抽到的是白球，为第次抽到的是黑球，为第次抽到的不是白球，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.已知函数，则（）A.若函数在点处的切线为轴，则B.当时，函数在区间上单调递增C.当时，若函数有两个零点，则D.若函数，则第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数，则______．13.据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______.14.若对任意，恒成立，则实数的最小值是______．四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.由于国际形势动荡，自2026年2月28日霍尔木兹海峡被封锁以来，全球石油供应遭遇巨大冲击．该海峡承担全球约海运石油贸易，封锁致日均近1700万桶原油运输受阻，国际能源署称这是史上最严重供应梗阻．国际油价剧烈波动，下表统计了随后7天原油的大致价格．随后天数1234567油价（美元/桶）72.575.178.179.082.684.386.8（1）由上表数据，从①，②两个函数中选一个作为油价关于随后天数的回归模型，判断哪个更适合，不必说明理由，并求出回归方程．（最后系数精确到0.1）（2）由（1）得到的回归方程，预测3月8日的原油价格．参考数据：，，，设，设，，，参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．16.已知函数．（1）当时，求在区间上的最小值和最大值；（2）求的单调区间．17.已知，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等.（1）展开式中是否存在含的项？若存在，求出的系数；若不存在，说明理由；（2）求展开式中系数最大的项.18.某科技公司生产的智能设备控制系统由个相同的独立元件组成，每个元件正常工作的概率均为，当控制系统中有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停机．记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．（1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求；（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为2元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是4元．记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）．（ⅰ）请用表示；（ⅱ）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高．（取计算）19.已知，其中，是自然对数的底．（1）当时，求函数在处的切线；（2）若对于，恒成立，求的取值范围；（3）求证：对于，都有．

数学（总分：150分考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.曲线在处的切线的斜率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设，则，所以，所以曲线在处的切线的斜率为.2.重庆铁路沿线预备设巫山、云阳、万州、忠县、涪陵5个客运站，则铁路部门需要准备的不同的车票种数为（）A.10 B.20 C.25 D.120答案：B解析：解答过程：从5个不同客运站中任选2个分别作为出发站和到达站，对应排列数有种3.下列等式成立的是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：应用组合数公式计算判断A，应用组合数公式及组合数性质计算判断C，应用排列数个数计算判断B，D.解答过程：，A选项正确；，所以不成立，B选项错误；，所以不成立，C选项错误；，所以不成立，D选项错误.4.函数在处取得极小值，则的值为（）A.1 B. C.3 D.答案：B解析：思路：求出导函数，根据极值点及极值列式计算方程组得出参数即可求解.解答过程：函数的导数为，由题意得f′(2)=12a当a=2b=−3单调递减，单调递增，所以是的极小值点，且，符合题意，所以.5.某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（）附：若随机变量服从正态分布，则．A.0.6827 B.0.9545 C.0.85135 D.0.84135答案：D解析：思路：应用正态分布概率计算求解.解答过程：由题意可知，身高Y近似服从正态分布N(165,5²)，所以，身高至少要有160厘米才算达标，即求，因为，所以，根据正态分布的对称性.6.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的关系式为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题及导数计算公式可得答案.解答过程：由题可得位移是关于时间的函数，且满足，则，则该弹簧振子在时的瞬时速度是.7.某校进行篮球队员选拔，选拔的轮次为两轮，待选人员共10人，每一轮都从待选人员中随机选6人，每一轮选拔都是独立的、互不影响的.记两轮选拔结束后，被选中的总人数为（若两轮中选了相同之人，则只算一个，例如小明两次都被选中，在总人数中只会记录成一人），则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由推得两轮恰有4人相同，概率应为.8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．多项式函数，其中为杨辉三角第行从左到右的个数（杨辉三角如下图所示），例如当时，，则当时，在处的导数（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：应用组合数公式及二项式展开式化简得出，再求出导函数代入计算求解.解答过程：多项式函数，其中为杨辉三角第行从左到右的个数，则当时，，所以，在处的导数.二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.随机变量满足，随机变量，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：先应用数学期望公式及方差公式计算判断A，C，再应用数学期望及方差性质计算判断B，D.解答过程：随机变量满足，所以，A选项错误；，B选项正确；，，C选项正确；所以，D选项错误.10.袋子中装有除颜色外其他均相同的2个白球和3个黑球，现从中不放回地抽取两次，每次取1个球，记事件为第次抽到的是白球，为第次抽到的是黑球，为第次抽到的不是白球，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根据概率乘法公式、条件概率及贝叶斯公式求解即可.解答过程：对于A，，，所以，A正确.对于B，，，故B错误.对于C，根据贝叶斯公式，故C正确.对于D，，，，所以，故D正确.11.已知函数，则（）A.若函数在点处的切线为轴，则B.当时，函数在区间上单调递增C.当时，若函数有两个零点，则D.若函数，则答案：ABD解析：思路：求导，结合已知求得判断A；利用导数可判断B；利用导数可得在处取得极小值，也是最小值，进而可得存在，使得，可判断C；求导，结合换元法可求得.解答过程：由，得，因为函数在点处的切线为轴，所以，解得，故A正确；当时，函数为，定义域为，求导得，因为在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以在恒成立，所以函数在区间上单调递增，故B正确；当时，函数，定义域为，求导得，令，求导得，所以在上单调递增，又，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，当时，；当时，；若函数有两个零点，则必有，所以，解得，可得，当时，，所以此时，从而可得，故C错误；由在上单调递增，当时，，当时，，所以存在，使得，所以，又由，得，所以，，，令，恒成立，则，令，求导得，令，得，所以，解得，解得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，故D正确.第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数，则______．答案：解析：思路：先求出导函数，再赋值计算得出，最后得出函数值.解答过程：函数，所以，令，则，所以，则．13.据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______.答案：解析：思路：应用贝叶斯公式及全概率公式计算求解.解答过程：设高一、高二、高三的学生数分别为，则所求概率为14.若对任意，恒成立，则实数的最小值是______．答案：解析：思路：将给定不等式恒等变形，使不等号左右两边结构相同，构造函数，利用函数的单调性化简不等式，再变形并构造函数，借助导数求出最大值即可作答.解答过程：不等式，令，则，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，因此，在上单调递增，则，令，则，当时，；当时，，于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，，即得，所以实数的最小值为.四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.由于国际形势动荡，自2026年2月28日霍尔木兹海峡被封锁以来，全球石油供应遭遇巨大冲击．该海峡承担全球约海运石油贸易，封锁致日均近1700万桶原油运输受阻，国际能源署称这是史上最严重供应梗阻．国际油价剧烈波动，下表统计了随后7天原油的大致价格．随后天数1234567油价（美元/桶）72.575.178.179.082.684.386.8（1）由上表数据，从①，②两个函数中选一个作为油价关于随后天数的回归模型，判断哪个更适合，不必说明理由，并求出回归方程．（最后系数精确到0.1）（2）由（1）得到的回归方程，预测3月8日的原油价格．参考数据：，，，设，设，，，参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．答案：（1）选择①更合适，回归方程：（2）89.6美元/桶解析：思路：（1）根据给定的数表选择回归模型，再利用最小二乘法求出回归方程.（2）由（1）的结论预测3月8日的原油价格.（1）由给定的数表知选择①更合适，，，则，，所以回归方程为：.（2）依题意，3月8日对应的，由（1）得，所以预测3月8日的原油价格为89.6美元/桶.16.已知函数．（1）当时，求在区间上的最小值和最大值；（2）求的单调区间．答案：（1）最大值为，最小值为；（2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。解析：思路：（1）先求出导函数，再根据给定得出导函数为负即可得出函数单调性即可求解；（2）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性；（1）∵，∴，，∴在上递减，所以当时取函数的最大值为，当时取函数的最小值为；（2）∵，∴，当时，恒成立，在上递增，当时，令得，，∴在上递增，令得，，∴在上递减．当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为。17.已知，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等.（1）展开式中是否存在含的项？若存在，求出的系数；若不存在，说明理由；（2）求展开式中系数最大的项.答案：（1）存在，的系数为（2）系数最大的项为解析：思路：（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；（2）设第项的系数最大得，求解即可.（1）存在，因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，则展开式的通项公式为，令，解得，代入通项公式有：，所以的系数为；（2）设第项的系数最大，故，即，即，解得，因为，所以，故系数最大的项为.18.某科技公司生产的智能设备控制系统由个相同的独立元件组成，每个元件正常工作的概率均为，当控制系统中有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停机．记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．（1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求；（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为2元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的3倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是4元．记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）．（ⅰ）请用表示；（ⅱ）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高．（取计算）答案：（1）分布列为：0123，（2）（ⅰ）（ⅱ）增加2个元件后利润提高解析：思路：（1）利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解；（2）（i）先写出在正常运行状态下，单位时间内的利润即可求出期望；（ii）法一：利用分类讨论求得，进而得，计算可得结论.法二：先求出增加元件前的利润期望和增加元件后的利润期望，相除与1作比较判断即可.（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，所以，，，，所以控制系统中正