人教版第27章相似导学案

人教版数学第二十七章“相似”导学案同学们，当我们漫步在校园，看到阳光下自己被拉长的影子，或是欣赏着一幅幅缩放的地图与照片时，是否曾思考过其中蕴含的数学奥秘？“相似”，这个看似简单的词语，实则是平面几何中一个极具魅力与实用价值的核心概念。它不仅揭示了图形之间的奇妙联系，更为我们解决实际问题提供了强大的工具。本章，我们将一同走进相似的世界，探索其本质，掌握其规律，并感受其在生活中的广泛应用。本章学习导航学习目标：1.理解相似图形的概念，能准确判断两个图形是否相似。2.掌握相似多边形的性质，特别是相似三角形的定义、判定方法及性质。3.能够运用相似三角形的知识解决简单的实际问题，如测量高度、距离等。4.了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小。5.通过探究与应用，体会数形结合、转化与建模的数学思想，提升逻辑推理和解决问题的能力。学习重点：*相似三角形的判定方法（SSS,SAS,AA）。*相似三角形的性质及其应用。学习难点：*灵活运用相似三角形的判定与性质解决综合性问题。*位似图形的概念及作图。一、相似图形的认识——从“形”似到“量”似1.1生活中的相似思考与发现：观察你身边的物体，如同一底片冲洗出的不同尺寸的照片、不同型号的同品牌汽车模型、放大镜下的图案与原图案……这些图形在外观上有什么共同特征？它们的形状和大小有何关系？归纳总结：*相似图形的定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形。*注意：相似图形只强调形状相同，与大小无关（大小可以相同，也可以不同）。*全等图形是相似图形的一种特殊情况（形状相同且大小也相同）。牛刀小试：判断下列各组图形是否相似，并说明理由。(1)两个正方形；(2)两个等腰三角形；(3)一个圆形和一个椭圆形。1.2相似多边形的性质当两个多边形相似时，它们的对应角和对应边之间存在着特定的数量关系。探究活动：如图，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，AB=4，BC=2，A'B'=2，B'C'=1。(1)分别计算它们对应角的度数，你发现了什么？(2)分别计算它们对应边的比值（AB/A'B'，BC/B'C'，CD/C'D'，DA/D'A'），你又发现了什么？归纳总结：*相似多边形的性质：1.对应角相等；2.对应边成比例。*相似比（或相似系数）：相似多边形对应边的比叫做相似比。*注意：相似比有顺序性。若多边形A与多边形B的相似比为k，则多边形B与多边形A的相似比为1/k。思考：如果两个多边形满足对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似吗？（以四边形为例进行思考）二、相似三角形的判定与性质——深入核心三角形是最简单的多边形，相似三角形是相似图形的重点研究对象。2.1相似三角形的定义定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。*表示方法：符号“∽”，读作“相似于”。例如，△ABC与△A'B'C'相似，记作△ABC∽△A'B'C'。*在书写相似三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，以便于找出对应角和对应边。2.2相似三角形的判定我们不需要像定义那样验证所有三个角和三条边，是否有更简便的判定方法呢？探究一：AA（两角分别相等）判定定理*操作：画△ABC，使∠A=60°，∠B=45°。再画△A'B'C'，使∠A'=60°，∠B'=45°。*比较：测量两个三角形的边长，它们的对应边是否成比例？*结论：两角分别相等的两个三角形相似。(AA)探究二：SAS（两边成比例且夹角相等）判定定理*操作：画△ABC，使AB=4cm，AC=6cm，∠A=60°。再画△A'B'C'，使A'B'=2cm，A'C'=3cm，∠A'=60°。*比较：测量∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？第三边的比是否与前两边的比相等？*结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。(SAS)探究三：SSS（三边成比例）判定定理*操作：画△ABC，使AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm。再画△A'B'C'，使A'B'=4cm，B'C'=6cm，A'C'=8cm。*比较：测量两个三角形的对应角，它们是否相等？*结论：三边成比例的两个三角形相似。(SSS)思考与辨析：1.“SSA”能判定两个三角形相似吗？为什么？（可举反例说明）2.直角三角形相似的特殊判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似吗？2.3相似三角形的性质回顾：相似多边形具有对应角相等、对应边成比例的性质。相似三角形作为特殊的相似多边形，自然也具有这些性质。除此之外，它们还有哪些特殊的性质呢？探究与归纳：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k。1.它们对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比与相似比k有何关系？2.它们的周长比与相似比k有何关系？3.它们的面积比与相似比k有何关系？（提示：面积=底×高÷2）相似三角形的性质：*对应角相等，对应边成比例（相似比为k）。*对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比k。*周长比等于相似比k。*面积比等于相似比的平方k²。三、相似三角形的应用——学以致用相似三角形的知识在解决实际问题中有着广泛的应用，例如测量无法直接到达的物体的高度或宽度。基本思路：1.构造相似三角形模型。2.利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例式。3.代入已知数据，求解未知量。典型例题：例1：测量旗杆高度小明想测量学校旗杆的高度。他在阳光下，测得自己的身高是1.6m，影子长度是0.8m。同时测得旗杆的影子长度是6m，求旗杆的高度。*分析：太阳光线可以看作是平行光线，因此人和旗杆都与地面垂直，形成两个相似的直角三角形（人、人影与光线；旗杆、旗杆影与光线）。*解：（请同学们自行完成解题过程）例2：测量河宽一条河的两岸有A、B两点，要测量A、B两点间的距离。可以在与AB垂直的河岸上取一点C，测得AC=30m。在AC上取一点D，使CD=10m。过点D作DE∥AB，交BC于点E，测得DE=15m。求河宽AB。*分析：DE∥AB，可证△CDE∽△CAB。*解：（请同学们自行完成解题过程）实践与思考：你还能想到哪些利用相似三角形解决实际问题的场景？请设计一个简单的测量方案。四、位似图形——相似的特殊情形观察与思考：在放映幻灯片时，屏幕上的画面与幻灯片上的图形是什么关系？用复印机复印文件时，放大或缩小的复印品与原件又是什么关系？这些图形除了相似，还有什么特殊的位置关系？4.1位似图形的定义定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。特征：1.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。2.对应点的连线交于位似中心。3.对应边平行或在同一直线上。4.2位似图形的作图作图步骤（以将图形放大或缩小为例）：1.确定位似中心（可以在图形内、图形外或图形上）。2.分别连接位似中心和图形的各个顶点。3.根据位似比k，在连接位似中心与顶点的直线上（或其反向延长线上）截取相应的线段，得到各顶点的对应点。4.顺次连接这些对应点，得到放大或缩小后的位似图形。动手操作：已知△ABC，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍。（O点分别在△ABC内、外、边上各尝试一次）思考：位似中心的位置不同，得到的位似图形的位置有何变化？当位似比k>1时，图形被放大；当0<k<1时，图形被缩小。如果k为负数，图形会有什么变化？五、知识梳理与思想方法总结知识脉络：*相似图形的概念→相似多边形的性质→相似三角形的判定与性质→相似三角形的应用→位似图形。重要思想方法：1.数形结合思想：将图形的相似关系转化为数量关系（比例式）进行研究和计算。2.转化与化归思想：将复杂问题转化为相似三角形问题来解决（如测量问题）。3.模型思想：建立相似三角形模型解决实际问题。4.从特殊到一般思想：从相似多边形到相似三角形，再到特殊的相似（位似）。六、巩固提升与拓展延伸基础巩固：1.下列说法正确的是（）A.所有的矩形都相似B.所有的菱形都相似C.所有的正方形都相似D.所有的等腰梯形都相似2.若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则它们的周长比为______，面积比为______。3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC=______。能力提升：4.已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠E。求证：△ABC∽△ADE。5.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，已知网高0.9米，小明击球的高度是2.7米，问他应站在离网多远的地方？拓展延伸：6.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=1/4CD。求证：△ABE∽△ECF。7.利用位似图形的知识，如何将一个五角星图案放大，使放大后的图案与原图案的相似比为3:1？（不写作法，保留作图痕迹）学习反