11.1反比例函数教案

一、教学目标1.知识与技能：使学生理解反比例函数的概念，能根据实际问题写出反比例函数关系式；能识别反比例函数；理解反比例函数的自变量取值范围。2.过程与方法：通过对实际问题的分析、抽象与概括，经历反比例函数概念的形成过程，体会函数模型思想；通过类比正比例函数，引导学生主动参与、探究反比例函数的定义。3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣；培养学生观察、分析、归纳的能力，体验数学的严谨性和逻辑性。二、教学重难点*重点：反比例函数的概念及表达式。*难点：理解反比例关系的本质，以及反比例函数中自变量的取值范围。三、教学方法情境导入法、引导发现法、直观演示法、讲练结合法四、教学准备多媒体课件、坐标纸（或学生自备）五、教学过程（一）创设情境，引入新课师：同学们，我们已经学习了函数的概念，并且认识了一种特殊的函数——正比例函数。还记得正比例函数的一般形式是什么吗？它的图像有什么特点？（学生回答：y=kx(k是常数，k≠0)，图像是一条经过原点的直线。）师：非常好。生活中除了“正比例”关系，还有没有其他类型的数量关系呢？比如，我们来看这样一个问题：问题1：小明要去距离学校一定路程的图书馆，他骑车的速度与所用时间之间有什么关系？如果路程是固定的，速度越快，所用时间会怎样变化？（引导学生思考：路程=速度×时间，当路程一定时，速度增大，时间减小；速度减小，时间增大。）问题2：一个长方形的面积为12，它的长和宽之间有什么关系？如果长增大，宽会怎样变化？（引导学生思考：面积=长×宽，当面积一定时，长增大，宽减小；长减小，宽增大。）师：这些问题中，两个变量之间的关系，与我们学过的正比例关系一样吗？（不一样）今天，我们就来研究这种新的函数关系——反比例函数。（板书课题：11.1反比例函数）（二）探究新知，形成概念1.分析实例，抽象模型师：我们来具体分析一下刚才的两个问题。对于问题1：设路程为s（常数），速度为v，时间为t。则有s=vt，变形可得t=s/v。当s固定时，t是v的函数吗？（是）对于问题2：设面积为S=12（常数），长为a，宽为b。则有12=ab，变形可得b=12/a。当S固定时，b是a的函数吗？（是）师：请同学们观察这两个函数关系式：t=s/v和b=12/a，它们有什么共同的形式特点？（引导学生观察、讨论，得出：都可以表示为一个变量等于一个常数除以另一个变量的形式。）师：如果我们用y表示函数，用x表示自变量，那么这样的函数关系可以写成什么样的一般形式呢？（学生尝试总结，教师引导规范）2.归纳定义师：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。（教师板书反比例函数的定义及表达式，并强调：）*k是常数，且k≠0。*x是自变量，y是因变量。*自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。（因为x在分母上，不能为0）*y的取值范围也是不等于0的一切实数。师：反比例函数的表达式y=k/x还可以写成其他形式吗？比如，根据负整数指数幂的意义，y=k/x可以写成y=kx⁻¹（k为常数，k≠0）。这也是反比例函数常见的表达形式。3.概念辨析师：现在我们来判断一下，下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，请指出比例系数k。（1）y=3/x（2）y=x/3（3）y=-2/x（4）y=5x+1（5）y=1/(x+1)（6）y=k/x（k为常数）（引导学生逐一分析，强调k≠0的条件，以及自变量x的位置必须在分母上，且分母中不能有其他代数式。）（三）例题讲解，巩固应用例1：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？这些函数有什么共同特点？（1）京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位：h）随该列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化。（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m²的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化。（3）已知北京市的总面积为1.68×10⁴km²，人均占有土地面积S（单位：km²/人）随全市人口n（单位：人）的变化而变化。（学生独立完成，教师巡视指导，然后共同订正。）解：（1）t=1463/v（2）y=1000/x（3）S=1.68×10⁴/n这些函数都可以表示为y=k/x（k是常数，k≠0）的形式。例2：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6。（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）求当x=4时y的值。分析：因为y是x的反比例函数，所以可设y=k/x（k≠0）。由已知条件x=2时，y=6，可求出k的值，进而确定函数关系式。解：（1）设y=k/x（k≠0）。因为当x=2时，y=6，所以6=k/2，解得k=12。因此，y与x之间的函数关系式为y=12/x。（2）当x=4时，y=12/4=3。（四）课堂练习，深化理解1.下列函数中，哪些是反比例函数？并指出其比例系数。（1）y=-5/x（2）y=2x²（3）y=1/(3x)（4）y=3/x⁻¹2.已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=-2。求：（1）y与x之间的函数关系式；（2）当x=-2时，y的值；（3）当y=4时，x的值。3.一个蓄水池的容积为100m³，现有水若干，以每小时5m³的速度向池中注水，注满为止。求蓄水池中的水量Q（m³）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围。（学生独立完成，小组内交流答案，教师对共性问题进行讲解。）（五）课堂小结，回顾提升师：通过本节课的学习，你有哪些收获？（引导学生从知识、方法、思想等方面进行总结）1.反比例函数的概念：形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数。2.反比例函数的表达式还可以写成y=kx⁻¹（k≠0）。3.确定反比例函数关系式的关键是求出比例系数k。4.自变量x的取值范围是x≠0。5.我们通过实际问题抽象出反比例函数模型，体会了数学与生活的联系。（六）布置作业1.教材练习题：第1题，第2题。2.思考：反比例函数的图像会是什么样子的？它与正比例函数的图像有什么区别？六、板书设计11.1反比例函数1.情境引入：*问题1：t=s/v*问题2：b=12/a2.反比例函数定义：一般地，形如y=k/x（k是常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可表示为：y=kx⁻¹（k是常数，k≠0）。自变量x的取值范围：x≠0。3.例题讲解：例1：（略）例2：（略）4.课堂练习：（略）5.小结：（略）七、教学反思（本部分在课后填写，主要记录教学过程中的成功之处、不足以及改进设想等。例如：学生对反比例函数概念的理解是否到位？在辨析环节学生容易出现哪些错误？例题的选取