集合的基本关系课件2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.1.2集合的基本关系新课程标准解读核心素养1.理解集合之间包含与相等的含义数学抽象2.能识别给定集合的子集数学抽象3.了解空集与其他集合的关系数学抽象4.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对

理解抽象概念的作用数学抽象、直观

想象目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

所有中国公民构成的集合为

B

，北京市的中国公民构成的集合为

A

.

（2）集合

A

与集合

B

有什么关系？

【问题】

（1）集合

A

中元素与集合

B

中元素存在怎样的关系？

知识点一

子集1.概念：一般地，如果集合

A

的任意一个元素都是集合

B

的元素，那

么集合

A

称为集合

B

的子集.记作

A

⊆

B

（或

B

⊇

A

），读作“

A

包含

于

B

”（或“

B

包含

A

”）.2.如果

A

不是

B

的子集，记作

A

⊈

B

（或

B

⊉

A

），读作“

A

不包含于

B

”（或“

B

不包含

A

”）.3.性质：

A

⊆

A

；∅⊆

A

.

【想一想】1.任意两个集合之间是否有包含关系？提示：不一定，如集合

A

＝{1，3}，

B

＝{2，3}，这两个集合就没

有包含关系.2.符号“∈”与“⊆”有什么区别？提示：（1）“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－

1∉N.

（2）“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，

3}⊆{3，2，1}.（3）“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为

集合.知识点二真子集1.真子集的有关概念与性质（1）概念：一般地，如果集合

A

是集合

B

的子集，并且

B

中至少有

一个元素不属于

A

，那么集合

A

称为集合

B

的真子集，记作

A

⫋

B

（或

B

⫌

A

），读作“

A

真包含于

B

”（或“

B

真包含

A

”）；（2）性质：对于集合

A

，

B

，

C

，①如果

A

⊆

B

，

B

⫋

C

，则

A

⫋

C

；②如果

A

⫋

B

，

B

⫋

C

，则

A

C

.

⫋

（1）概念：如果用平面上一条封闭曲线的

来表示集合，

这种示意图通常称为维恩图；（2）维恩图的优点及其表示①优点：形象直观；②表示：通常用

的

代表集合.内部封闭曲线内部2.维恩图【想一想】1.任何集合

A

是其本身的真子集吗？提示：任何集合

A

不可能是其本身的真子集.2.空集是任何集合的真子集吗？提示：空集是任何非空集合的真子集.3.你认为“⊆”和“⫋”有什么区别和联系？提示：（1）“⊆”和“⫋”均表示集合与集合之间的关系.（2）“⊆”表示子集关系，“⫋”表示真子集关系.（3）若

A

⫋

B

，则

A

⊆

B

.

但是，若

A

⊆

B

，则

A

⫋

B

不一定成立.知识点三集合的相等与子集的关系性质：由集合相等的定义可知：如果

且

，则

A

＝

B

；反之，如果

A

＝

B

，则

且

⁠.A

⊆

B

B

⊆

A

A

⊆

B

B

⊆

A

1.（多选）下列表述正确的是（

）A.{1}⊆{1，2}B.{0}⊆{1，2}C.{1，2}⊇{2}D.{1，2}⊆{2，1}解析：

由子集的概念知A、C、D表述正确；因为0∉{1，2}，

所以{0}⊈{1，2}.2.已知集合

P

＝{－1，0，1，2}，

Q

＝{－1，0，1}，则（

）A.

P

∈

Q

B.

P

⊆

Q

C.

Q

⊆

P

D.

Q

∈

P

解析：

集合

Q

中的元素都在集合

P

中，所以

Q

⊆

P

.

3.若

M

＝{

x

｜（

x

－1）（

x

＋2）＝0}，

N

＝{1，－2}，

P

＝

{（

x

，

y

）｜

y

＝（

x

－1）（

x

＋2）}，则这三个集合中，具

有相等关系的是

⁠.解析：

M

为方程（

x

－1）（

x

＋2）＝0的解集，故

M

＝{1，－2}，

P

表示点集，

M

，

N

都为数集，且元素完全相同.故填

M

和

N

.

M

和

N

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一集合间关系的判断【例1】

（链接教科书第13页例3）指出下列各对集合之间的关系：（1）

A

＝{－1，1}，

B

＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－

1），（1，1）}；解：集合

A

的代表元素是数，集合

B

的代表元素是有序实

数对，故

A

与

B

之间无包含关系.（2）

A

＝{

x

｜－1＜

x

＜4}，

B

＝{

x

｜

x

－5＜0}；解：集合

B

＝{

x

｜

x

＜5}，用数

轴表示集合

A

，

B

如图所示，由图可

知

A

⫋

B

.

（3）

A

＝{

x

｜

x

是等边三角形}，

B

＝{

x

｜

x

是等腰三角形}；解：等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边

相等的三角形，故

A

⫋

B

.

（4）

M

＝{

x

｜

x

＝2

n

－1，

n

∈N*}，

N

＝{

x

｜

x

＝2

n

＋1，

n

∈N*}；解：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于

n

∈N*，因此集合

M

含有元素“1”，而集合

N

不含元素“1”，故

N

⫋

M

.

（5）

A

＝{

x

｜

x

＝

a2＋1，

a

∈R}，

B

＝{

x

｜

x

＝

a2－4

a

＋5，

a

∈R}.解：A

＝{

x

｜

x

＝

a2＋1，

a

∈R}＝{

x

｜

x

≥1}，

B

＝{

x

｜

x

＝（

a

－2）2＋1，

a

∈R}＝{

x

｜

x

≥1}，所以

A

＝

B

.

通性通法1.判断集合间关系的常用方法2.已知集合相等求参数的方法从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系.首先

分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种

情况，然后通过列方程或方程组求解.当集合中未知元素不止一

个时，往往要分类讨论.求出参数值后要注意检验是否满足集合

中元素的互异性.【跟踪训练】1.下列各组两个集合

A

和

B

表示同一集合的是（

）A.

A

＝{π}，

B

＝{3.14}B.

A

＝{2，3}，

B

＝{（2，3）}D.

A

＝{

x

｜－1＜

x

≤1，

x

∈N}，

B

＝{1}

M

⫋

N

因为

k

∈Z，所以2

k

－1∈Z，所以

x

∈

N

，所以

M

⊆

N

，又因为0∈

N

，0∉

M

，所以

M

⫋

N

.

题型二确定有限集合的子集、真子集及其个数【例2】

（链接教科书第11页例1）（1）集合

M

＝{1，2，3}的真子

集个数是（

B

）A.6B.7C.8D.9解析：集合

M

的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，

含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3

个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.（2）满足{1，2}⫋

M

⊆{1，2，3，4，5}的集合

M

有

个.解析：由{1，2}⫋

M

⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合

M

必含

有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此集合

M

的

元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，

5}；含有五个元素：{1，2，3，4，5}.故满足题意的集合

M

共有7个.7通性通法1.求集合子集、真子集个数的3个步骤2.与子集、真子集个数有关的3个结论假设集合

A

中含有

n

个元素，则有：（1）

A

的子集的个数为2

n

个；（2）

A

的真子集的个数为2

n

－1个；（3）

A

的非空真子集的个数为2

n

－2个.【跟踪训练】1.集合{

x

∈N｜－4＜

x

－1＜4，

x

≠1}的非空真子集的个数为

（

）A.31B.30C.15D.14解析：

由题意得集合{

x

∈N｜－4＜

x

－1＜4，

x

≠1}＝{0，2，

3，4}，则该集合的非空真子集个数为24－2＝14个.故选D.2.若集合

A

＝{

x

｜

x2－3

x

＝0}，

B

＝{0，1，2，3}，则满足

A

⊆

M

⊆

B

的集合

M

的个数是

⁠.解析：因为集合

A

＝{

x

｜

x2－3

x

＝0}＝{0，3}，

B

＝{0，1，2，

3}，因为

A

⊆

M

⊆

B

，故

M

有元素0，3，且可能有元素1或2，所以

M

＝{0，3}或

M

＝{0，1，3}或

M

＝{0，2，3}或

M

＝{0，1，2，

3}，故满足

A

⊆

M

⊆

B

的集合

M

的个数为4.4题型三由集合间的关系求参数值（范围）角度1

由集合相等求参数【例3】

已知集合

A

＝{

a

，

a

＋

b

，

a

＋2

b

}，

B

＝{

a

，

ac

，

ac2}，

若

A

＝

B

，求

c

的值.

通性通法由集合相等求参数的方法

解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集

合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的

思想方法呈现所有可能的对应情况即可.另外，需注意检验所求参数的

值是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性.角度2

已知包含关系求参数【例4】

（链接教科书第11页例2）已知集合

A

＝{

x

｜－2≤

x

≤5}，

B

＝{

x

｜

m

＋1≤

x

≤2

m

－1}，若

B

⫋

A

，求实数

m

的取值范围.

解这两个不等式组，得2≤

m

≤3.②当

B

＝∅时，由

m

＋1＞2

m

－1，得

m

＜2，此时

B

⫋

A

.

综上可得，

m

的取值范围是（－∞，3].【母题探究】1.（变条件）在本例条件下，若

B

⊆

A

，求实数

m

的取值范围.

2.（变条件）在本例条件下，若

A

⫋

B

，求实数

m

的取值范围.

通性通法应用集合关系求参数的4个步骤【跟踪训练】1.若[－1，2）⫋（－∞，

k

]，则实数

k

的取值范围是（

）A.

k

≤2B.

k

≥－1C.

k

＞－1D.

k

≥2解析：

由于[－1，2）⫋（－∞，

k

]，如图，

所以

k

≥2.故选D.

－2

A.{a∣a≤−1}B.{a∣a≥−1}C.{a∣a≥2}D.

{a∣a