充分条件、必要条件课件2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.3充分条件、必要条件新课程标准解读核心素养1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件

的关系数学抽象、逻辑

推理2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件

的关系数学抽象、逻辑

推理3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件

的关系数学抽象、逻辑

推理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，

任意一个开关都能够独立控制这盏灯，这就是电器上常用的“双刀”

开关，如图所示.【问题】

（1）

A

开关闭合时

B

灯一定亮吗？（2）

B

灯亮时

A

开关一定闭合吗？

知识点一

充分条件与必要条件命题真

假“如果

p

，那么

q

”是真

命题“如果

p

，那么

q

”是假命题推出关

系

p

q

p

q

条件关

系

p

是

q

的

条件，

q

是

p

的

⁠条件

p

不是

q

的

条件，

q

不

是

p

的

⁠条件⇒

⇒/

充分必要充分必要【想一想】在逻辑推理中

p

⇒

q

能表达成哪几种说法？提示：以下5种说法：①“若

p

，则

q

”为真命题；②

p

是

q

的充分条

件；③

q

是

p

的必要条件；④

q

的充分条件是

p

；⑤

p

的必要条件是

q

.知识点二充要条件

如果

，且

，就记作

.此时，

p

既是

q

的

充分条件，也是

q

的必要条件，我们就说

p

是

q

的

条件，

简称为充要条件.p

⇒

q

q

⇒

p

p

⇔

q

充分必要【想一想】1.若

p

是

q

的充要条件，则命题

p

和

q

是两个相互等价的命题，这种说

法对吗？提示：正确.若

p

是

q

的充要条件，则

p

⇔

q

，即

p

等价于

q

.2.“

p

是

q

的充要条件”与“

p

的充要条件是

q

”的区别在哪里？提示：①

p

是

q

的充要条件说明

p

是条件，

q

是结论.②

p

的充要条件是

q

说明

q

是条件，

p

是结论.

1.“

x

，

y

∈Q”是“

xy

∈Q”的（

）A.充分不必要条件B.

必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.“－3＜

x

＜4”是“－2＜

x

≤3”的（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：

由“－3＜

x

＜4”不能推出“－2＜

x

≤3”，但是由“－

2＜

x

≤3”能推出“－3＜

x

＜4”，故“－3＜

x

＜4”是“－2＜

x

≤3”的必要不充分条件.故选B.3.“

x

＝1”是“

x2－2

x

＋1＝0的根”的

条件（填充分不必

要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一个）解析：因为

x2－2

x

＋1＝0，所以

x

＝1，所以“

x

＝1”是“

x2－2

x

＋1＝0的根”的充要条件.充要典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一充分、必要、充要条件的判断【例1】

（1）设

a

∈R，则“

a

＞1”是“

a2＞

a

”的（

A

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由

a2＞

a

得

a

＞1或

a

＜0，反之，由

a

＞1得

a2＞

a

，则“

a

＞

1”是“

a2＞

a

”的充分不必要条件，故选A.（2）“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（

B

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成

立.即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不

充分条件.故选B.

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

通性通法充分、必要、充要条件的判断方法（1）定义法：若

p

⇒

q

，

q

⇒/

p

，则

p

是

q

的充分不必要条件；若

p

⇒/

q

，

q

⇒

p

，则

p

是

q

的必要不充分条件；若

p

⇒

q

，

q

⇒

p

，则

p

是

q

的充要条件；若

p

⇒/

q

，

q

⇒/

p

，则

p

是

q

的既不充分也不必要条件.（2）集合法：对于集合

A

＝{

x

｜

x

满足条件

p

}，

B

＝{

x

｜

x

满足条件

q

}，具体情况如下：若

A

⊆

B

，则

p

是

q

的充分条件；若

A

⊇

B

，则

p

是

q

的必要条件；若

A

＝

B

，则

p

是

q

的充要条件；若

A

⫋

B

，则

p

是

q

的充分不必要条件；若

A

⫌

B

，则

p

是

q

的必要不充分条件.【跟踪训练】1.已知函数

f

（

x

）＝

x2－4

x

－2，则“

x

＝3”是“

f

（

x

）＝－5”的

（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：

显然

f

（3）＝－5，但由

x2－4

x

－2＝－5可以得出

x

＝3或

x

＝1，所以“

x

＝3”是“

f

（

x

）＝－5”的充分不必要

条件.故选A.2.（多选）下列选项中

p

是

q

的必要条件的是（

）A.

p

：3

x

＋2＞5，

q

：－2

x

－3＞－5B.

p

：

a

＞2，

b

＜2，

q

：

a

＞

b

C.

p

：四边形的两条对角线互相垂直平分，

q

：四边形是正方形D.

p

：

a

≠0，

q

：关于

x

的方程

ax

＝1有唯一解解析：

对于A，

p

：3

x

＋2＞5⇒

x

＞1，

q

：－2

x

－3＞－5⇒

x

＜1，∴

p

推不出

q

，

q

推不出

p

，

p

是

q

既不充分也不必要条件；对于B，

p

：

a

＞2，

b

＜2⇒

q

：

a

＞

b

；当

a

＝1，

b

＝0时，满足

a

＞

b

但

q

推不出

p

，故

p

是

q

的充分不必要条件；对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正

方形”；反之，若“四边形是正方形”成立⇒“两条对角线互相垂直平分”

成立，故

p

是

q

的必要条件；对于D，

p

：

a

≠0⇔

q

：关于

x

的方程

ax

＝1有唯一解，故

p

是

q

的充

分必要条件.故选C、D.题型二充分条件、必要条件、充要条件的探求【例2】

（1）不等式

x

（

x

－2）＜0成立的一个必要不充分条件是

（

B

）A.

x

∈（0，2）B.

x

∈[－1，＋∞）C.

x

∈（0，1）D.

x

∈（1，3）解析：∵

x

（

x

－2）＜0的解集为（0，2），且（0，2）⫋[－1，＋

∞），∴“

x

∈[－1，＋∞）”是“不等式

x

（

x

－2）＜0成立”的一

个必要不充分条件.（2）函数

y

＝

ax2＋2

x

＋1（

a

≠0）的图象与

x

轴的交点，一个在原点

的左侧，一个在原点的右侧的充分不必要条件是（

C

）A.

a

＜0B.

a

＞0C.

a

＜－1D.

a

＞1解析：∵函数图象一定过（0，1）点，∴函数图象与

x

轴的两个

交点在原点左、右两侧各一个的充要条件为

a

＜0.结合选项知，

充分不必要条件是

a

＜－1.故选C.（3）在平面直角坐标系中，点（

x

，1－

x

）在第一象限的充要条件

是

⁠.解析：由题意，可得

x

＞0，且1－

x

＞0，∴0＜

x

＜1.0＜

x

＜1

通性通法

探求充分条件、必要条件、充要条件问题时，首先应确定

“条件”与“结论”，再寻找“结论”成立的条件，其解题的通

法是先推导出“结论”成立的充要条件，将充要条件“放大”即

得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结

论”的充分不必要条件.【跟踪训练】1.“

x

－1＞0”成立的一个必要不充分条件的是（

）A.

x

＞1B.

x

＞2C.

x

＜3D.

x

＞0解析：

因为

x

－1＞0⇔

x

＞1，所以A为“

x

－1＞0”成立的充要

条件；B为“

x

－1＞0”成立的充分不必要条件；C为“

x

－1＞0”

成立的既不充分也不必要条件；D为“

x

－1＞0”成立的必要不充

分条件.故选D.2.（多选）使

a

∈R，｜

a

｜＜4成立的充分不必要条件可以是

（

）A.

a

＜4B.｜

a

｜＜3C.－4＜

a

＜4D.0＜

a

＜3解析：

由｜

a

｜＜4可得

a

的集合是（－4，4），A.由（－4，4）⫋（－∞，4），所以

a

＜4是｜

a

｜＜4成立的一个

必要不充分条件；B.由（－3，3）⫋（－4，4），所以｜

a

｜＜3是｜

a

｜＜4成立的

一个充分不必要条件；C.由（－4，4）＝（－4，4），所以－4＜

a

＜4是｜

a

｜＜4成立的

一个充要条件；D.由（0，3）⫋（－4，4），所以0＜

a

＜3是｜

a

｜＜4成立的一个

充分不必要条件.故选B、D.题型三充要条件的证明【例3】

已知

a

＋

b

≠0，证明：

a2＋

b2－

a

－

b

＋2

ab

＝0成立的充要

条件是

a

＋

b

＝1.证明：充分性：若

a

＋

b

＝1，则

a2＋

b2－

a

－

b

＋2

ab

＝（

a

＋

b

）2－（

a

＋

b

）＝1－

1＝0，即充分性成立.必要性：若

a2＋

b2－

a

－

b

＋2

ab

＝0，则（

a

＋

b

）2－（

a

＋

b

）＝（

a

＋

b

）·（

a

＋

b

－1）＝0.∵

a

＋

b

≠0，∴

a

＋

b

－1＝0，即必要性成立.综上，

a2＋

b2－

a

－

b

＋2

ab

＝0成立的充要条件是

a

＋

b

＝1.通性通法充要条件的证明思路（1）在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要

性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若证明“

p

的充要条

件是

q

”，那么“充分性”是

q

⇒

p

，“必要性”是

p

⇒

q

；若证

明“

p

是

q

的充要条件”，则与之相反；（2）证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆

命题都成立.若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价

转换，然后加以证明.提醒

证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性

的证明方向.【跟踪训练】证明：关于

x

的方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0有一个根为1的充要条件是

a

＋

b

＋

c

＝0.证明：先证充分性：由

a

＋

b

＋

c

＝0可得

c

＝－

a

－

b

，所以

ax2＋

bx

＋

c

＝0可化为

ax2＋

bx

－

a

－

b

＝0，即（

x

－1）（

ax

＋

a

＋

b

）＝0，所以方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0有一个根为1.再证必要性：方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0有一个根为1，所以

x

＝1满足

ax2＋

bx

＋

c

＝0，所

以

a

＋

b

＋

c

＝0.综上，关于

x

的方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0有一个根为1的充要条件是

a

＋

b

＋

c

＝0.题型四利用充分条件、必要条件求参数的范围【例4】

已知

p

：－2≤

x

≤10，

q

：1－

m

≤

x

≤1＋

m

（

m

＞0），若

p

是

q

的必要不充分条件，求实数

m

的取值范围.

解得

m

≤3.又

m

＞0，所以实数

m

的取值范围为{

m

｜0＜

m

≤3}.【母题探究】1.（变条件）若本例中“

p

是

q

的必要不充分条件”改为“

p

是

q

的充

分不必要条件”，其他条件不变，求实数

m

的取值范围.

2.（变设问）本例中

p

，

q

不变，是否存在实数

m

使

p

是

q

的充要条

件？若存在，求出

m

的值；若不存在，说明理由.

通性通法充分条件与必要条件的应用技巧（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求

参数的值或取值范围问题；（2）求解步骤：先把

p

，

q

等价转化，利用充分条件、必要条件与集

合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.【跟踪训练】1.“

x

≥

a

”是“

x

≥2”的必要不充分条件，则

a

的取值范围为

（

）A.（3，＋∞）B.（－∞，2）C.（－∞，2]D.[0，＋∞）解析：

由题意得，{

x

｜

x

≥2}是{

x

｜

x

≥

a

}的真子集，故

a

＜2.

故选B.2.设

p

：

m

＋1≤

x

≤2

m

＋4（

m

∈R）；

q

：1≤

x

≤3.若

q

是

p

的充分

条件，则实数

m

的取值范围为

⁠.

1.若

a

，

b

∈R，则“

a

＝

b

”是“

a2＝

b2”的（

）A.充分不必要条件B.

必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：

由

a2＝

b2可得，

a

＝

b

或

a