方程组的解集课件2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.3方程组的解集目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02新课程标准解读核心素养1.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程

组数学运算2.能运用合适的方法求解二元二次方程组数学运算基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

在一个笼子里有若干只鸡和兔，从笼子上看有30个头，从笼子下

数有70只脚.【问题】

这个笼子里共有多少只兔多少只鸡？

知识点

方程组的解集1.方程组一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.2.方程组的解集方程组中，每个方程的解集的

⁠称为这个方程组

的解集.提醒

当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集

可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那

么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.交集

A.{

x

＝0，

y

＝1}B.{0，1}C.{（0，1）}D.{

x

＝0或

y

＝1}

A.（－1）∶13∶5B.1∶（－17）∶（－5）C.1∶5∶13D.1∶17∶5

3.若｜

x

＋

y

－5｜＋（

x

－

y

－9）2＝0，则

x

，

y

的值分别为

⁠.

①＋②得2

x

－14＝0，即

x

＝7，①－②得2

y

＋4＝0，即

y

＝－2.7，－2

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一求二元一次方程组的解集

解：法一

由②，得

y

＝4

x

－5，

③把③代入①，得2

x

＋3（4

x

－5）＝－1，解这个一元一次方程，得

x

＝1，把

x

＝1代入③，得

y

＝－1.所以这个方程组的解集为{（

x

，

y

）｜（1，－1）}.法二

由①，得3

y

＝－2

x

－1，

解这个一元一次方程，得

x

＝1，把

x

＝1代入③，得

y

＝－1.所以这个方程组的解集为{（

x

，

y

）｜（1，－1）}.通性通法代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）

变形选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为

y

＝

ax

＋

b

（或

x

＝

ay

＋

b

）（

a

，

b

是常数，

a

≠0）的形式（2）

代入把

y

＝

ax

＋

b

（或

x

＝

ay

＋

b

）代入另一个没有变形的方程，

消去一个未知数，得到一个一元一次方程（3）

求解解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值（4）

回代把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程，求出另一个未知数（5）

写解集用集合表示为{（

x

，

y

）｜（…，…）}的形式

解：法一（加法消元）

①＋②，得6

x

＝12，解得

x

＝2，把

x

＝2代入②，得3×2＋7

y

＝13，解得

y

＝1.所以方程组的解集为{（

x

，

y

）｜（2，1）}.法二（减法消元）

①－②，得－14

y

＝－14，解得

y

＝1，把

y

＝1代入①，得3

x

－7×1＝－1，解得

x

＝2.所以方程组的解集为{（

x

，

y

）｜（2，1）}.法三（加减法消元）

①＋②，得6

x

＝12，解得

x

＝2.①－②，得－14

y

＝－14，解得

y

＝1.所以方程组的解集为{（

x

，

y

）｜（2，1）}.

解：①×5－②×2，得7

y

＝21，解得

y

＝3，把

y

＝3代入①，整理得2

x

＝4，解得

x

＝2.所以方程组的解集为{（

x

，

y

）｜（2，3）}.通性通法加减消元法解二元一次方程组的步骤（1）

变形根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两

边都乘适当的数（2）

加减两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程

相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减（3）

求解解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值（4）

回代把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值（5）

写解集用集合表示为{（

x

，

y

）｜（…，…）}的形式【跟踪训练】1.设

A

＝{（

x

，

y

）｜

y

＝－4

x

＋6}，

B

＝{（

x

，

y

）｜

y

＝5

x

－3}，

则

A

∩

B

＝（

）A.{（2，1）}B.（1，2）C.

x

＝1，

y

＝2D.{（1，2）}

－1

题型二求三元一次方程组的解集

把

x

＝3，

y

＝－1代入①，得3＋3×（－1）＋2

z

＝2，所以

z

＝1.所以这个三元一次方程组的解集为{（

x

，

y

，

z

）｜（3，－1，1）}.解：法一

①×2＋②，得5

x

＋8

y

＝7，

④法二

由③，得

y

＝2

x

－7，

④把④代入①，整理得7

x

＋2

z

＝23，⑤把④代入②，整理得7

x

－4

z

＝17，⑥

解：法一

由①和②，得

x

∶

y

∶

z

＝3∶2∶5.设

x

＝3

k

，

y

＝2

k

，

z

＝5

k

（

k

≠0），并代入③，得5

k

＋3

k

＋2

k

＝20，解得

k

＝2.所以

x

＝3

k

＝6，

y

＝2

k

＝4，

z

＝5

k

＝10.所以这个三元一次方程组的解集为{（

x

，

y

，

z

）｜（6，4，10）}.

把

y

＝4分别代入④和⑤，得

x

＝6，

z

＝10.所以这个三元一次方程组的解集为{（

x

，

y

，

z

）｜

（6，4，10）}.通性通法解三元一次方程组的一般步骤

解三元一次方程组类似于解二元一次方程组，关键是消元转化.通

过加减消元或代入消元逐渐将三元一次方程组转化为一元一次方程求

解，然后再逐个代入求另外两个未知数.最后组成三元一次方程组的一

组解.提醒

解特殊的三元一次方程组时，应具体问题具体分析，观察方程

组的特点及未知数系数之间的关系，灵活消元.对于一些特殊的方程

组，有特殊的解法，例如：若一个方程组由两个方程构成，其中一个

方程是

x

∶

y

∶

z

＝

a

∶

b

∶

c

（

a

，

b

，

c

为常数，且都不为0），另一

个方程是关于

x

，

y

，

z

的三元一次方程，解这种方程组时，可引入

k

（

k

≠0），用含

k

的式子表示

x

，

y

，

z

，再代入三元一次方程中，化

“三元”为“一元”，求出

k

的值，进而可求出

x

，

y

，

z

的值.【跟踪训练】1.已知｜

x

－

z

＋4｜＋｜

z

－2

y

＋1｜＋｜

x

＋

y

－

z

＋1｜＝0，则

x

＋

y

＋

z

＝（

）A.9B.10C.5D.3

③－①，得

y

＝3.把

y

＝3代入②，得

z

＝5.把

z

＝5代入①，得

x

＝1.所以

x

＋

y

＋

z

＝1＋3＋5＝9.故选A.

3题型三二元二次方程组的解集【例4】

求下列方程组的解集：

解：（1）由①得

y

＝8－

x

，

③把③代入②，整理得

x2－8

x

＋12＝0.解得

x1＝2，

x2＝6.把

x1＝2代入③，得

y1＝6.把

x2＝6代入③，得

y2＝2.所以原方程组的解集为{（2，6），（6，2）}.

通性通法

求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是

化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和

降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚

至一元一次方程.

A.（4，5）B.（5，－4）C.{（5，－4）}D.{（－4，5）}

A.2D.3

法二

①×②×③得（

xyz

）2＝6，

题型四方程组的实际应用【例5】

某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡

度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5h，从乙地到甲地需要2.3

h.假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30

km，20km，40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡

路的长度各是多少？

通性通法列方程组解应用题的一般步骤（1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间

的等量关系；（2）设：恰当地设未知数；（3）列：依据题中的等量关系列出方程组；（4）解：解方程组，求出未知数的值；（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；（6）答：写出结论.【跟踪训练】某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧

克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带

的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱

（

）A.8元B.16元C.24元D.32元

数学文化与方程组问题

7

【问题探究】《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246

个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就.代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程

组，本例就是其中的第一个问题.《九章算术》给出了解这个问题的

“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长

方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下：其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第

一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似.不难看出，

“遍乘直除”的目的在于消元.按照我国著名数学史学家

李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗

明珠.《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程

术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算

术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则.另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是

给出了一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）的数值求解步骤.而

且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开.这是意识到

了无理数的存在.你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅

有关书籍或网络进行了解吧！【迁移应用】《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算

法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的

盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种

解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位.高中

数学教科书中