一元二次不等式的解法课件2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.3一元二次不等式的解法新课程标准解读核心素养1.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式数学运算2.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系数学抽象、数学

运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高

架道路以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连结也必须通

过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已

成为现代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥

的某地段的运行汽车的车距

d

正比于速度

v

的平方与车身长（单位：

m）的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为

l

（单位：

m），当车速为60（单位：km/h）时，车距为1.44个车身长.【问题】

在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量

最大？

知识点

一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的概念一般地，形如

的不等式称为一元二次不等式，

其中

a

，

b

，

c

为常数，而且

a

≠0.提醒

判断一个不等式是一元二次不等式的关键：①只含有一个未

知数；②未知数的最高次数为2；③特别要注意二次项的系数不为0.ax2＋

bx

＋

c

＞0

2.用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果

x1＜

x2，则不等式（

x

－

x1）（

x

－

x2）＜0的解集

是

，不等式（

x

－

x1）（

x

－

x2）＞0的解集

是

⁠.3.用配方法解一元二次不等式一元二次不等式

ax2＋

bx

＋

c

＞0（

a

≠0）通过配方总是可以变

为

或

的形式，然后根据

k

的

正负等知识，就可以得到原不等式的解集.（

x1，

x2）

（－∞，

x1）∪（

x2，＋∞）

（

x

－

h

）2＞

k

（

x

－

h

）2＜

k

【想一想】

mx2－5

x

＋2＜0是一元二次不等式吗？提示：不一定.当

m

≠0时，

mx2－5

x

＋2＜0是一元二次不等式.

1.不等式

x2－4

x

＜0的解集是（

）A.（0，4）B.（－4，0）C.（－∞，4）D.（－∞，0）∪（4，＋∞）解析：

x2－4

x

＜0⇒

x

（

x

－4）＜0，解得0＜

x

＜4，所以解集为

（0，4）.故选A.2.已知不等式－

x2－

x

＋6＞0，则该不等式的解集是（

）A.{

x

｜－2＜

x

＜3}B.{

x

｜－3＜

x

＜2}C.{

x

｜

x

＜－3或

x

＞2}D.{

x

｜

x

＜－2或

x

＞3}解析：

不等式－

x2－

x

＋6＞0等价于

x2＋

x

－6＜0，也即（

x

＋

3）（

x

－2）＜0，故

x

∈（－3，2）.故不等式解集为{

x

｜－3＜

x

＜2}.故选B.

（0，2）

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一不含参数的一元二次不等式的解法【例1】

（链接教科书第73页例1）解下列不等式：（1）2

x2＋7

x

＋3＞0；

（3）－2

x2＋5

x

－2＜0；

通性通法解不含参数的一元二次不等式的方法（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两

个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不

等号方向得到不等式的解集；（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何

值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得；（3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解

集的通法，即判别式法.【跟踪训练】不等式－2

x2＋

x

＋3＜0的解集是（

）A.{

x

｜

x

＜－1}

题型二含参数的一元二次不等式的解法【例2】

解关于

x

的不等式

ax2－（

a

＋1）

x

＋1＜0（

a

≠0）.

通性通法含参一元二次不等式的解法

2.不等式

kx2－

kx

－1＜0恒成立，则实数

k

的范围为

⁠.

（－4，0]题型三两个“二次”间的关系

A.14B.

－10C.10D.

－14

通性通法一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤（1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，

从而由根与系数的关系，找出系数

a

，

b

，

c

之间的关系，写出

不等式的解集；（2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向如要解

cx2＋

bx

＋

a

＜0，首先确定

c

的符号，最好能确定

a

，

b

，

c

的值.第二步：审条件——挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关

于

a

，

b

，

c

的方程组，用

a

表示

b

，

c

；第三步：建联系——找解题突破口由给定不等式的解集形式→确定关于

a

，

b

，

c

的方程组→用

a

表示

b

，

c

→代入所求不等式→求解.【跟踪训练】1.已知不等式

x2－7

x

－

a

＜0的解集是{

x

｜2＜

x

＜

b

}，则实数

a

等于

（

）A.－10B.－5C.5D.10

题型四分式不等式的解法【例4】

（链接教科书第75页例3）解下列不等式：

A.（－∞，1）∪[3，＋∞）B.

[1，3]C.（1，3]D.（1，3）

解得

x

∈（1，3].故选C.

1.下列不等式：①

x2＞0；②－

x2－

x

≤5；③

ax2＞2；④

x3＋5

x

－6＞

0；⑤

mx2－5

y

＜0；⑥

ax2＋

bx

＋

c

＞0.其中一定是一元二次不等式

的有（

）A.5个B.4个C.3个D.2个解析：

根据一元二次不等式的定义知①②一定是一元二次不

等式.2.设

m

＋

n

＞0，则关于

x

的不等式（

m

－

x

）（

n

＋

x

）＞0的解集是

（

）A.（－∞，－

n

）∪（

m

，＋∞）B.（－

n

，

m

）C.（－∞，－

m

）∪（

n

，＋∞）D.（－

m

，

n

）解析：

不等式等价于（

x

－

m

）（

x

＋

n

）＜0.∵

m

＋

n

＞0，

∴

m

＞－

n

.故原不等式的解集是（－

n

，

m

）.故选B.

B.（4，＋∞）C.（－∞，－3）∪（4，＋∞）

4.（多选）已知关于

x

的不等式

ax2＋

bx

＋

c

＞0，对于此不等式的解

集有下列结论，其中正确的是（

）A.不等式

ax2＋

bx

＋

c

＞0的解集不可能是{

x

｜

x

≠2}B.不等式

ax2＋

bx

＋

c

＞0的解集可以是RC.不等式

ax2＋

bx

＋

c

＞0的解集可以是∅D.不等式

ax2＋

bx

＋

c

＞0的解集可以是{

x

｜2＜

x

＜3}解析：

对于A选项，不等式

x2－4

x

＋4＝（

x

－2）2＞0的解

集为{

x

｜

x

≠2}，A错；对于B选项