工程控制基础 课件 第五章 频率响应法

第五章频率响应法Lecture12频率特性的定义频率特性的性质频率特性图示法最小相位系统05August20262of63ContentsIntroduction05August20263of63G(s)R(s)Y(s)已在第三章中进行了介绍。05August20264of63G(s)R(s)Y(s)频率响应Introduction频率特性的定义05August20265of6305August20266of63频率特性的定义频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。对于线性系统，正弦输入信号的稳态响应是同频率的正弦信号，仅仅是幅值不同及有一个相移。频率特性：输入函数是正弦函数时，系统输出的稳态分量与输入之比。05August20267of63频率特性的定义05August20268of63G(s)andG(j

)频率特性仅仅取决于系统的结构及元件参数，而与系统的外界激励及各初始条件无关。G(jω),G(ω)和φ(ω)都是频率ω的函数，与输入幅值无关。频率特性

系统性能大多数自动控制系统具有低通滤波器特性频率特性仅适用于线性元件或系统05August20269of63频率特性的性质极坐标图——奈魁斯特(Nyquist)图对数频率特性图——伯德(Bode)图对数幅相频率特性图——尼柯尔斯(Nichols)图05August202610of63频率特性图示法极坐标图(Polarplot)以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以ω为参变量。05August202611of63典型环节的极坐标图积分环节05August202612of63微分环节05August202613of63典型环节的极坐标图惯性环节05August202614of63典型环节的极坐标图一次微分环节05August202615of63典型环节的极坐标图振荡环节05August202616of63典型环节的极坐标图振荡环节05August202617of63典型环节的极坐标图纯时间延迟环节05August202618of63典型环节的极坐标图05August202619of63Example5.1

01/2

1/

∞05August202620of63Example5.105August202621of63Example5.1起始点(ω＝0)：与系统的类型v及增益常数K有关05August202622of63极坐标图的一般绘制规则w=0∞∞∞00wwwwwType0Type1Type2终止点(ω→∞)：05August202623of63n-m=1n-m=3n-m=2极坐标图的一般绘制规则与虚轴和实轴的交点05August202624of63极坐标图的一般绘制规则与虚轴和实轴的交点05August202625of63极坐标图的一般绘制规则对数频率特性图(BodePlot)对数频率特性图由对数幅频特性和对数相频特性两张图构成，都画在半对数纸上。横坐标取lgω,纵坐标分别取L(ω)(单位为分贝dB)及φ(ω)(单位为度)05August202626of6305August202627of63半对数坐标系对数频率特性图(BodePlot)把因子的乘和除转变成对数坐标上的加与减。由于横坐标采用了ω的对数分度，使得从低频到高频的很宽频段内都能在较短长度上清楚地表达出来。对数幅频特性曲线可用直线段的折线加以近似。05August202628of63对数频率特性图(BodePlot)增益因子微分因子与积分因子一次因子二次振荡因子纯时间延迟因子05August202629of63基本因子的Bode图增益因子

K幅频特性相频特性05August202630of63单个积分环节多个积分环节05August202631of63积分因子单个微分多个微分05August202632of63微分因子05August202633of63Bodediagramfor05August202634of63一次因子05August202635of63一次因子05August202636of63一次因子05August202637of63一次因子05August202638of63二次振荡因子WhenWhen05August202639of63二次振荡因子05August202640of63

当0.3<<0.8时，近似折线与实际曲线间的误差较小，因此可以用折线近似二次振荡因子05August202641of63纯时间延迟因子1.定义在系统的开环传递函数中，没有位于S右半平面的零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统为最小相位系统，反之为非最小相位系统。05August202642of63最小相位系统

2.最小相位系统特征

a．在n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次05August202643of63最小相位系统

b.当ω=∞时，其相角等于-90°(n-m)，对数幅频特性曲线的斜率为–20(n–m)dB/dec。有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。05August202644of63最小相位系统

c.对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。05August202645of63最小相位系统

增益剪切频率相位剪切频率05August202646of63相关术语05August202647of63相关术语05August202648of63相关术语05August202649of63相关术语绘制对数频率特性曲线的一般步骤化为标准形式求出20lgK05August202650of63求出一次因子及二次因子的转折角频率，并将它们标在ω轴上。经过L(ω)=20lgK与ω=1的交点,作斜率为-20vdB/dec的直线。05August202651of63绘制对数频率特性曲线的一般步骤从最低频到最高频检查，若遇到一次微分的转折角频率则把直线斜率增加20dB/dec;若遇到惯性环节的转折角频率，则把直线斜率增加-20dB/dec;如遇到一个二次振荡因子的转折角频率，则把直线斜率增加-40dB/dec.这样就可以得到近似的幅频特性曲线。05August202652of63绘制对数频率特性曲线的一般步骤如需要得到较精确的幅频曲线，在近似折线的各个转折角频率附近对曲线加以修正。相频特性曲线05August202653of63绘制对数频率特性曲线的一般步骤05August202654of63Example1转折频率：0.5,2,3020lgK=20lg40=3205August202655of63204000.11101000.5230-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec05August202656of63Example205August202657of63Example205August202658of63Example205August202659of63Example205August202660of63Example205August202661of63Example2频率特性的定义频率特性的性质频率特性图示法最小相位系统05August202662of63WhatwehavelearntTHANKS05August202663of63第五章频率响应法Lecture13

对数幅值相位图Nyquist稳定性判据对数频率特性上的稳态性能分析动态性能分析频率特性的测试和传递函数的求取2026/8/5Contents65of562026/8/5对数幅值相位图－Nicols将伯德图中的对数幅频曲线和相频曲线合并，画在以对数幅值为纵坐标，以相角为横坐标的图上。这种图形就称为对数幅-相图——Nichocls图66of562026/8/5对数幅值相位图－Nicols67of562026/8/5Nyquist稳定性判据基本思想：根据系统的开环频率特性判别闭环系统的稳定性。68of562026/8/5开环与闭环零极点间的关系令则系统闭环传递函数为69of56开环稳定性取决于G(s)H(s)的极点，即多项式Q(s)的根闭环稳定性取决于M(s)的极点，即F(s)的零点闭环稳定性与开环稳定性之间没有必然的联系2026/8/5开环与闭环零极点间的关系70of562026/8/5幅角原理F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径ΓS包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线ΓF顺时针绕原点（Z–P）圈。即

N=Z-P其中：N为圈数，逆时针为负，顺时针为正。71of562026/8/5SomeExamples72of562026/8/5SomeExamples73of562026/8/5奈氏路径

Γs

顺时针方向包围整个s右半平面。当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。

74of56F(s)平面上的奈氏判据假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面上绘制的F(s)曲线ΓF

顺时针方向绕原点的圈数N则为F(s)在s右半开平面内零点个数Z与极点个数P之差：

N=Z-P当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。2026/8/5奈氏判据75of56G(s)H(s)平面上的奈氏判据假如s沿着奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线顺时针方向绕(-1,j0)点的圈数N-1为F(s)在s右半开平面内零点个数Z-1与极点个数P-1之差：

N-1=Z-1–P-1

当Z-1=0时，闭环系统是稳定的,否则是不稳定的。2026/8/5奈氏判据76of56S=0是开环极点时的奈氏曲线

从s=-j0→+j0的奈氏路径是一个以原点为圆心，半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过原点。2026/8/577of56结论:当s从-j0转到+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过2026/8/5S=0是开环极点时的奈氏曲线78of562026/8/5s→∞的奈氏曲线令则结论：当s沿奈氏路线从+j∞到-j∞时，对n>m的系统，G(s)H(s)的奈氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过(n–m)π。79of56Example2026/8/580of562026/8/5一种简易的判别N-1的方法81of562026/8/5Examples82of56某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。2026/8/5系统稳定Examples83of56试分析下列系统的稳定性2026/8/5系统不稳定Examples84of56试分析下列系统的稳定性2026/8/5闭环系统稳定Examples85of56试分析下列系统的稳定性2026/8/5闭环系统不稳定Examples86of56试分析下列系统的稳定性2026/8/5K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。Examples87of56已知某系统开环传递函数的零点都在左半s平面，其开环频率特性曲线如下图所示，则该系统位于右半s平面的极点数为多少？2026/8/5思考题88of562026/8/5伯德图上的奈氏判据

极坐标图

伯德图单位圆 0db线（幅频特性图）单位圆以内区域 0db线以下区域单位圆以外区域 0db线以上区域负实轴 -1800线（相频特性图）

因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。89of562026/8/5伯德图上的奈氏判据90of56Example某系统有两个开环极点在S右半平面2026/8/5系统不稳定91of56定义：一系统如对某一范围的开环增益K是稳定的，而当K增大到足够大，或减少到足够小后，则成为不稳定的，我们则称该系统为条件稳定系统。2026/8/5条件稳定系统92of562026/8/5Example某K值下G(jω)H(jω)曲线，N=0，且P=0，所以系统稳定。K增大，使（-1，j0）位于c、d间，曲线顺时针包围（-1，j0）两圈，系统不稳定。K减小，使（-1，j0）位于a、b之间，曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，系统仍不稳定。K再减小，使（-1，j0）点位于a点左边，那么闭环系统又稳定了。93of56系统类型的确定低频段的斜率

系统类型0dB/dec 0型-20dB/dec Ⅰ型-40dB/dec Ⅱ型2026/8/5对数频率特性上的稳态性能分析94of56位置误差系数Kp的确定2026/8/50型系统对数频率特性上的稳态性能分析95of56速度误差系数Kv的确定2026/8/5Ⅰ型系统对数频率特性上的稳态性能分析96of56加速度误差系数Ka的确定2026/8/5Ⅱ型系统对数频率特性上的稳态性能分析97of562026/8/5动态性能分析人们常用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面上与(-1，j0)点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说，G(jω)H(jω)离开(-1，j0)点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。98of56增益裕量GM.(Kg)2026/8/5Kg大于1，系统稳定。Kg小于1，系统不稳定。Kg等于1，系统临界稳定99of56增益裕量GM.(Kg)2026/8/5用分贝作单位时Kg大于0dB,系统稳定Kg小于0dB,系统不稳定Kg等于0dB,系统临界稳定100of562026/8/5增益裕量的物理意义：为了保持系统稳定，系统开环增益所允许增加的最大分贝数。增益裕量GM.(Kg)101of562026/8/5相位裕量当γ>0时，系统稳定当γ<0时，系统不稳定当γ=0时，系统临界稳定102of562026/8/5相位裕量的物理意义为了保持系统稳定，系统开环频率特性在ω=ωc点所允许增加的最大相位滞后。相位裕量103of56Bode图上的稳定裕量2026/8/5104of56利用相位裕量或增益裕量判别系统稳定性或动态性能指标时，条件为系统开环传递函数在右半s开平面无极点。条件稳定系统不用增益裕量判断它的动态性能。2026/8/5增益裕量与相位裕量105of56结论：一般而言，当L(ω)在ωc处的斜率处于-20dB/dec时，系统是稳定的；当L(ω)在ωc处的斜率处于-40dB/dec时，系统可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕量也是较小的；当L(ω)在ωc处的斜率处于-60dB/dec时，系统则肯定是不稳定的。2026/8/5相对稳定性与ωc处斜率的关系106of562026/8/5闭环频率特性品质指标谐振峰值MpM(ω)的最大值。Mp一般给出了系统的相对稳定性，它往往与系统阶跃响应的最大超调量相对应。Mp越大，最大超调量也越大。对大多数控制系统，Mp应取在1.1到1.5之间。107of562026/8/5谐振频率ωp：产生谐振峰值处的频率值。闭环频率特性品质指标108of562026/8/5带宽ωb：在M(ω)下降至零频率时的幅值M(0)值的70.7%或-3dB处的频率值。带宽越宽，系统阶跃响应的上升速度越快，但是系统对高频噪声的滤波能力越差。闭环频率特性品质指标109of562026/8/5剪切率：指M(ω)在ωb处的斜率。它反映了系统的抗高频干扰能力。一系统在ωb处的M(ω)越陡，抗高频干扰能力越强。闭环频率特性品质指标110of562026/8/5二阶系统的Mp、ωp和ωb111of562026/8/5二阶系统的Mp、ωp和ωb112of562026/8/5二阶系统的Mp、ωp和ωb113of562026/8/5二阶系统的Mp、ωp和ωb114of56对系统开环施加不同幅值和角频率的正弦信号，测量输入端与反馈环节输出端的幅值及输出端的相移。画出实验得到的对数幅频曲线及相频曲线用折线近似实验所得到的对数幅频曲线。渐近线的斜率必须是±20dB/dec的倍数由低频段决定系统类型及静态增益决定最小相位系统零、极点，求出各个角频率。2026/8/5频率特性的测试和传递函数的求取115of56判断系统是否最小相位系统。高频末端对数幅频曲线的斜率应是-20(n-m)dB/dec,由此求出(n-m)。如实验相位曲线在高频末端的相位量为-(n-m)90◦

，系统则为最小相位系统，否则，便为非最小相位系统。2026/8/5频率特性的测试和传递函数的求取116of56决定非最小相位系统的传递函数。如果高频末端实验得到的相角比计算所得小180◦

，那么传递函数中就有一个零点位于右半s开平面。如果利用最小相位系统传递函数计算出的相位滞后与实验所得的相位滞后相差一个恒定的变化率，在ω→∞时，φ(ω)也趋于无穷大。则传递函数中含有一个延时环节。2026/8/5频率特性的测试和传递函数的求取117of56对数幅值相位图Nyquist稳定性判据对数频率特性上的稳态性能分析动态性能分析频率特性的测试和传递函数的求取2026/8/5Whatwehavelearnttoday118of56THANKS2026/8/5119of56第五章频率响应法Lecture14

2026/8/5Contents闭环频率特性与极坐标图闭环频率特性与对数幅值相位图Matlab函数121of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图等M圆对一单位反馈控制系统令122of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图则闭环幅值特性为设M(ω)取某一常数M，则得到x及y的函数关系式123of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图等M圆124of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图等M圆的应用在极坐标中画出G(jω)轨线后，它与不同M圆的交点，就是在某一ω值下闭环频率特性的幅值M(ω),通过一组交点就能得到闭环幅值特性，与G(jω)轨线相切的等M圆的M值，就是系统的Mr值。125of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图126of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图127of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图设计系统增益值128of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图为得到期望的Mr值，调整K的步骤画出G(jω)/K的极坐标图过坐标原点o作一与负实轴的夹角为φ的直线oa，使作一圆心在负实轴上的圆o’，使它既相切于直线oa，又相切于G(jω)/K轨线过圆o’与oa的切点p，作K=1/oA129of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图等N圆130of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图令131of242026/8/5闭环频率特性与极坐标图132of242026/8/5闭环频率特性与对数幅值相位图对一单位反馈控制系统，它的闭环频率特性为令则有133of242026/8/5常M轨迹常ΦM轨迹134of242026/8/5尼氏图的应用135of242026/8/5尼氏图的应用K=1时，系统的Mr=6dB,ωr=9.5rad/s,ωb=14rad/s.对于