2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题07 向量的坐标表示与应用(解析版)

复习专题07向量的坐标表示与应用

知识点1向量a关于向量i与j的线性组合

设i与j分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，把向量aOA在i与j的方向上作投影

OP与OQ．其中，P(x,0)与Q(0,y)分别是点A在x轴与y轴上的投影．显然

OPxi,OQyj，而且OPAQ是一个矩形，OA是对角线，如图．

于是我们把a表示成了向量i与j的线性组合aOAxiyj.

知识点2向量基本定理

条件e1,e2是平面上两个不平行的向量

对于该平面上的任意向量，a都可唯一地表示为e1与e2的线性组合，即存在唯一的一

结论

对实数,，使得ae1e2

若

基e1,e2不共线，我们把e1,e2这组向量称为平面向量的一个基

平面向量基本定理阐述两方面的含义:

一是存在性，即存在实数、，使得ae1e2；二是唯一性，即对于任意一个向量a，存在

唯一的一对实数、，使得ae1e2.

知识点3向量的正交分解与坐标表示

分解与把向量a写成所在平面上两个不平行向量e1与e2的线性组合的过程称为a关于e1与

正交分

解e2的分解．在e1e2情况下进行向量的分解，这种分解称为向量的正交分解.

向量a

在平面直角坐标系中任意一个向量a关于x轴与y轴正方向上的单位向量i与j的分

的坐标

解axiyj就是一个正交分解．这个正交分解称为向量a在这个平面直角坐标系中的坐标

分解，而有序实数对（x，y)则称为向量a的坐标，并直接表示成a(x,y)．向量的

这种表示法称为它的坐标表示，并可以直接用向量的坐标(x,y)代表一个向量

在向量a的坐标表示中，先要作出从坐标原点O出发的向量OAa，才能用点A的坐

位置向

量标(x,y)表示向量a的坐标．为此，把向量OA称为a的位置向量．位置向量终点的坐标

才是所给向量的坐标

知识点4向量线性运算的坐标表示

设向量a(x,y),bx1,y1,cx2,y2,R,则有下表：

运算文字描述数字表示

加法两个向量的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和bcx1x2,y1y2

减法两个向量的差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差bcx1x2,y1y2

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应

数乘a(x,y)

坐标

模a的模就是a的位置向量所对应有向线段的长度|a|x2y2

（1）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.

（2）求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标

知识点5向量数量积与夹角的坐标表示

1.向量数量积的坐标表示

给定两个坐标表示的向量ax1,y1与bx2,y2，它们的数量积是abx1x2y1y2．

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

2.向量夹角的坐标表示

ab

给定两个非零向量与，则

ax1,y1bx2,y2cosáa,bñ

|a||b|

xxyy

1212.

2222

x1y1x2y2

设向量ax1,y1与bx2,y2的夹角为．

（1）[0,]．

（2）当x1x2y1y20时，,;

2

当x1x2y1y20时，（此时ab）；

2

当x1x2y1y20时，0,．

2

知识点6向量平行与垂直的充要条件

给定向量ax1,y1与bx2,y2，则

（1）ab的充要条件是x1x2y1y20；

（2）a//b的充要条件是x1y2x2y1．

描述两个向量平行的三种方法

（1）几何表示法：若非零向量a与b共线，则存在唯一实数，使得ba．它体现了向量a

与b的长度及方向之间的关系．

（2）代数表示法：设ax1,y1，bx2,y2，则当a与b共线时，x1y2x2y10．用它

解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数，从而减少了末知数的个数，而且它使问题的解决

具有代数化的特点和程序化的特征．

（3）比例形式表示法：设ax1，y1,bx2,y2，则当a与b共线时，

x1y1

x2,y20．比例形式的表示可借助直线的斜率相等来理解记忆．这种形式不易出现搭配错误，

x2y2

但有x2,y20的限制．

知识点7定比分点公式

如图，已知P是直线PP12上一点，且PP1PP2(为实数，且1)，那么我们就说P分有

向线段PP12的比为，其中叫做定比,点P叫做分点.

定比分点公式：已知两点P1x1,y1,P2x2,y2，点P是直线PP12上的一点，且PP1PP2(1)，

xx

x12,

1

设点P坐标为(x，y)则

yy

y12.

1

这个公式称为线段的定比分点公式。

xx

x12,

2

特别地，当1时，P为线段PP12的中点，其坐标为

yy

y12.

2

这个公式称为线段中点公式．

知识点8三角形面积公式的向量表示

在ABC中，设CAa,CBb，记ABC的面积为S．

1

（1）S|a|2|b|2(ab)2；

2

1

（2）若ax,y,bx,y，则Sxyxy．

112221221

知识点9向量在平面几何中常用应用

设ax1,y1,bx2,y2.

解题方法

问题类型

几何法坐标法

a//bab

平行或共线

xyxy0

问题,全等、相似问题(R,b0)1221

垂直问题abab0x1x2y1y20

abx1x2y1y2

夹角问题cosáa,bñ

cosáa,bñ2222

|a||b|x1y1x2y2

22

|a|x1y1或

22

|AB|x2x1y2y1

长度问题|a|a2

Ax1,y1,Bx2,y2

知识点10相关定理的证明

证明时所用到的向量有关运算律与公式:

（1）向量加法：abba;(ab)ca(bc)．

（2）设a、b和c是向量，是实数，则向量数量积的交换律：a－bba；

向量数量积对数乘的结合律：(a)ba(b)(ab)；向量数量积对加法的分配律：

a(bc)abbc．

（3）ab|a||b|cosáa,bñ．

知识点11向量在物理中的应用

类型向量方法说明

力的合成与分解向量的线性运算力的合成与分解就是向量的加减法

加速度、速度、位速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减

向量的线性运算

移问题法运算

动量涉及物体的质量m,物体运动

动量问题向量的数乘运算

的速度v

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与

功的问题向量的数量积

物体位移的乘积,它可正、可负、也可为零

用向量法解决物理问题时，正确作出相应的几何图形有助于我们建立数学模型.向量在物理中的应用，如求

力的合力与力的分解，力做的功等,实际上是把物理问题转化为向量问题，然后用向量运算解决向量问题，

最后用得到的结果解释物理现象.

题型一．平面向量的基底

1（春•普陀区校级期中）若，是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底

例2023e1e2

的是()

．和．和

Ae1e2e1e2B3e12e26e14e2

．和．和

Ce12e22e1e2De2e1e2

【答案】B

【分析】，是平面内的一组基底，和不共线，和共线，和

e1e2e1e2e1e23e12e26e14e2e12e22e1e2

不共线，和不共线，再由共线的向量不能作为平面向量的一组基底，能求出结果．

e2e1e2

【解答】解：在中，，是两不共线的向量，

AQe1e2

和不共线，

\e1e2e1e2

和能作为平面向量的一组基底；

\e1e2e1e2

在中，，是两不共线的向量，

BQe1e2

和共线，

\3e12e22(3e12e2)

和不能作为平面向量的一组基底；

\3e12e26e14e2

在中，，是两不共线的向量，

CQe1e2

和不共线，

\e12e22e1e2

和为平面向量的一组基底；

\e12e22e1e2

在中，，是两不共线的向量，

DQe1e2

和不共线，

\e2e1e2

和能作为平面向量的一组基底．

\e2e1e2

故选：B．

【点评】本题考查平行向量的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，正确解题的关键是知道共线的

向量不能作为平面向量的一组基底．

1-1（2022春•青浦区校级期末）下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()

A．a(0,0)，b(1,2)B．a(1,2)，b(2,4)

C．a(3,5)，b(6,10)D．a(2,3)，b(6,9)

【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可．

【解答】解：只要两个向量不共线，即可作为基底，所以判断哪两个向量不共线即可：

A.a0gb，\a,b共线，不可作为基底，所以该选项错误；

B.b2a，\a,b共线，不可作为基底，所以该选项错误；

C.b2a，\a,b共线，不可作为基底，所以该选项错误；

D．可以判断向量a,b不共线，所以可作为基底，所以该选项正确．

故选：D．

【点评】考查基底的概念，共线向量基本定理，向量的坐标．

1-2（春•浦东新区校级期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基的是

2024e1,e2()

．与．与

Ae1e2e1e2Be12e22e1e2

．与．与

C3e1e22e26e1De2e1e2

【答案】C

【分析】判断两个向量不共线，即可能作为平面的一个基，两个向量共线，即不能作为平面的一个基．

【解答】解：对于，假设与共线，则存在，使，即

Ae1e2e1e2Re1e2(e1e2)

10

(1)e(1)e0，所以，所以不存在，

1210

即与不共线，能作为平面的一个基；

e1e2e1e2

对于，假设与共线，则存在，使，即，

Be12e22e1e2Re12e2(2e1e2)(21)e1(2)e20

210

所以，所以不存在，即e2e与2ee不共线，能作为平面的一个基；

201212

1

对于C，因为3ee(2e6e)，所以3ee与2e6e共线，不能作为平面的一个基；

122211221

0

对于D，假设e与ee共线，则存在R，使e(ee)，即e(1)e0，所以，所

2122121210

以不存在，即与不共线，能作为平面的一个基．

e2e1e2

故选：C．

【点评】本题考查了判断两个向量共线与不共线的应用问题，是基础题．

1-3（春•宝山区期末）若向量能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围

2024e1(2,),e2(1,3)

为(¥，6)È(6，¥)．

【答案】(¥，6)È(6，¥)．

【分析】根据，为平面内所有向量的一组基底，所以，不共线，通过求，共线时的值即可

e1e2e1e2e1e2

得到，不共线时的范围．

e1e2

【解答】解：由题意得，

e1ke2(kR)

2kk2

当eke(kR)时，，解得，

123k6

所以6．

即的取值范围为(¥，6)È(6，¥)．

故答案为：(¥，6)È(6，¥)．

【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的共线的充要条件，属基础题．

题型二．用平面向量的基底表示平面向量

2（春•嘉定区校级期中）已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基

例2024e1,e2

的一组向量是()

11

A．a2ee,beeB．a4e2e,b2ee

1221421212

．．

Ca3e13e2,be1e2Dae12e2,b2e14e2

【答案】D

【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可．

11

【解答】解：A项，a2ee4(ee)4b，故a,b共线，故A项错误；

122142

项，，故共线，故项错误；

Ba4e12e22(2e1e2)2ba,bB

项，，故共线，故项错误；

Ca3e13e23(e1e2)3ba,bC

项，设，，则，

DabRae12e2b(2e14e2)

12

所以，无解，故a,b不共线，故D项正确．

24

故选：D．

【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．

2-1（2025春•宝山区期末）平行四边形ABCD中，DE2EC，F是BC的中点，记ABa,ADb，则

11

EFab．（用a,b表示）

32

11

【答案】ab．

32

【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．

【解答】解：平行四边形ABCD中，DE2EC，F是BC的中点，记ABa,ADb，所以

11

AFABBCab，

22

2

AEADDEab，

3

1211

故EFAFAEababab．

2332

11

故答案为：ab．

32

【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．

2-2（2025春•长宁区校级期中）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，设

2

aAB,bAC，则用a,b表示BE为ba．

3

2

【答案】ba．

3

【分析】根据平面向量的线性运算法则，求解即可．

【解答】解：平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，aAB，bAC，

22

则BEAEABACABba．

33

2

故答案为：ba．

3

【点评】本题考查了平面向量的线性运算与应用问题，是基础题．

11

2-3（2024春•嘉定区校级期中）在△ABC中，ADAB,CECD．记ABa,ACb，用a,b表示

22

11

AEab．

42

11

【答案】ab．

42

【分析】由平面向量基本定理，结合向量的线性运算，即可得到结果．

11

【解答】解：AEADDEADDCAD(ACAD)

22

111111

ADACABACab．

224242

11

故答案为：ab．

42

【点评】本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．

题型三．平面向量数乘和线性运算的坐标运算

例3（2025春•浦东新区校级期中）若向量a(1,1)，b(1,1)，则a2b(1,3)．

【答案】(1,3)．

【分析】应用向量线性关系的坐标运算求a2b即可．

【解答】解：a2b(1，1)2(1，1)(1，3)．

故答案为：(1,3)．

【点评】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，是基础题．

3-1（2024春•浦东新区校级期中）已知点A(2,3)，B(6,3)，若点P满足AP3AB，则点P的坐标为

(14,15)．

【答案】(14,15)．

【分析】设点P的坐标是(x,y)，利用共线向量的坐标运算可得(x2，y3)3(4，6)，求解可得点P

的坐标．

【解答】解：设点P的坐标是(x,y)，由A(2,3)，B(6,3)，

可得AB(4,6)，AP(x2,y3)，

又AP3AB，则有(x2，y3)3(4，6)，

x212

即，解得P(14,15)．

y318

故答案为：(14,15)．

【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．

3-2（2024春•嘉定区校级期中）已知向量a(1,1),b(2,3)，则ab(3,2)．

【答案】(3,2)．

【分析】由向量的坐标运算求解即可．

【解答】解：向量a(1,1),b(2,3)，

所以ab(3,2)．

故答案为：(3,2)．

【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．

3-3（2023春•闵行区校级期中）已知向量a(1,2)，b(0,1)，则a2b的坐标为(1,0)．

【答案】(1,0)．

【分析】根据向量的坐标运算计算即可．

【解答】解：Qa(1,2)，b(0,1)，

\a2b(1，2)(0，2)(1，0)，

故答案为：(1,0)．

【点评】本题考查了向量的坐标运算，掌握公式是解题的关键，是基础题．

题型四．平面向量数量积的坐标运算

例4（2025•广东校级模拟）设平面向量a(4,2)，b(m,1)，若a与b不能作为平面向量的一组基底，则

ab()

A．2B．10C．6D．0

【答案】B

【分析】根据题意可得出a与b共线，然后可求出m的值，然后进行向量坐标的数量积运算即可．

【解答】解：a与b不能作为平面向量的一组基底，

\a与b共线，

\42m0，解得m2，

\b(2,1)，且a(4,2)，

\ab4´(2)2´(1)10．

故选：B．

【点评】本题考查了基底的定义，共线向量的坐标关系，向量坐标的数量积运算，是基础题．

4-1（2025春•徐汇区校级月考）若向量a(1,2)，b(1,2)，则ab在ab方向上的投影的坐标为

(0,0)．

【答案】(0,0)．

【分析】结合投影向量的公式，即可求解．

【解答】解：向量a(1,2)，b(1,2)，

则ab(2,0)，

ab(0,4)，

(ab)(ab)ab

故ab在ab方向上的投影的坐标为´(0,0)．

|ab||ab|

故答案为：(0,0)．

【点评】本题主要考查投影的求解，属于基础题．

4-2（2025春•浦东新区校级期中）已知a(2,1)，b(3,4)，则b在a方向上的投影为25．

【答案】25．

【分析】根据向量投影的定义可知b在a方向上的投影为|b|cosa,b，用数量积运算即可．

【解答】解：因为a(2,1)，b(3,4)，

所以ab2´31´410，|a|5，|b|5，

ab1025

所以cosa,b，

|a||b|5´55

25

所以b在a方向上的投影为|b|cosa,b5´25，

5

故答案为：25．

【点评】本题考查向量的投影，关键是牢记定义和公式，属于基础题．

4-3（2025春•杨浦区校级期末）若a(1,1)，则|a|2．

【分析】根据题意中的坐标代入向量的模公式进行求解．

【解答】解：由题意知，a(1,1)，则|a|112，

故答案为：2．

【点评】本题考查了向量模的坐标表示，即代入公式进行求解．

题型五．平面向量共线（平行）的坐标表示

例5（2025春•浦东新区校级期中）已知向量m(,1)，n(3,2)，若m与n共线且反向，则实数的

值为()

A．3B．1C．1D．1或3

【答案】A

【分析】利用向量共线的坐标表示求出，再结合反向共线即可得解．

【解答】解：由向量m(,1)，n(3,2)共线，得(2)3，解得1或3，

当1时，m(1,1)，n(3,3)，m与n同向，不符合题意，

当3时，m(3,1)，n(3,1)，m与n反向，符合题意，

所以实数的值为3．

故选：A．

【点评】本题主要考查向量共线的性质，是基础题．

5-1（2025春•浦东新区期末）已知向量a(1,2)，b(m,1)，且(a2b)//(2ab)，则实数m．

1

【答案】．

2

【分析】首先求出a2b与2ab的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可．

【解答】解：因为a(1,2)，b(m,1)，

所以a2b(1,2)2(m,1)(12m,4)，2ab2(1,2)(m,1)(2m,3)，

又a2b与2ab平行，

1

所以3(12m)4(2m)，解得m．

2

1

故答案为：．

2

【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．

5-2（2025春•浙江期中）设向量m(3,5)，n(2,a)，若m与n共线，则实数a的值为．

【分析】由向量共线的坐标表示即可求解．

【解答】解：因为m与n共线，向量m(3,5)，n(2,a)，

10

所以3a5´(2)，得a．

3

10

故答案为：．

3

【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．

5-3（2025春•上海校级期中）已知a(x,x1)，b(3,6)，若a//b，则x．

【答案】1．

【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案．

【解答】解：因为a//b，所以6x3(x1)0，解得x1．

故答案为：1．

【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．

题型六．数量积表示两个平面向量的夹角

例6（2024春•闵行区校级期末）已知向量a(,1)，b(2,3)，若a与b的夹角是锐角，则实数的取

值范围是()

33

A．(,¥)B．[,¥)

22

322322

C．(,)(,¥)D．(,)(,¥)

23U323U3

【答案】D

【分析】由向量夹角的坐标表示求解即可．

【解答】解：已知向量a(,1)，b(2,3)，若a与b的夹角是锐角，

ab233

则cosáa,bñ0，则230，．

|a||b|21´132

2

当a与b同向时，，

3

32

所以且．

23

故选：D．

【点评】本题主要考查向量夹角的坐标表示，考查运算求解能力，属于中档题．

6-1（2025春•浦东新区期末）设向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)a，则a，b．

4

【答案】．

4

【分析】由已知利用向量垂直的数量积为0求解ab，再由数量积求夹角得答案．

22

【解答】解：Q|a|1，向量ab与a垂直，\(ab)a|a|ab0，即ab|a|1，

ab12

又|b|2，\cosa，b，

|a||b|1´22

又a，b[0，]，\a，b．

4

故答案为：．

4

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，训练了利用平面向量的数量积求夹角，是基础题．

6-2（2025春•闵行区期末）已知向量a(,1)，b(2,3)，若a与b的夹角是锐角，则实数的取值范围

32

是{|且}．

23

32

【答案】{|且}．

23

【分析】结合向量的夹角公式即可求解．

【解答】解：因为向量a(,1)，b(2,3)，

3

若a与b的夹角是锐角，则ab230，即，

2

2

若a//b，则32，即，

3

32

实数的取值范围为{|且}．

23

32

故答案为：{|且}．

23

【点评】本题主要考查了向量数量积性质的应用，属于基础题．

6-3（2025春•松江区校级月考）已知向量a(m,2)，b(3,5)，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取

106

值范围是{m|m且m}．

35

106

【答案】{m|m且m}．

35

【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示即可求解．