江苏省南京市鼓楼区名校联盟2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

2026年江苏省南京市鼓楼区名校联盟中考一模数学试题一、单选题1．下列选项中是一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．2．如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（）A．1 B．4 C．8 D．163．甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是；乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则下列判断一定正确的是（

）A．为正数 B．a小于bC．甲、乙成绩的众数相同 D．甲、乙成绩的中位数相同4．如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，直线，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线上，且∠ACB=90°，AC交与点D，若的距离为1，的距离为4，则AD的长为（

）A． B． C． D．6．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（

）A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④二、填空题7．计算()－1＋tan30°·sin60°=.8．俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是．9．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x，则列出方程是．10．若方程的两根分别是，则．11．如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为（结果保留）．12．写出一条抛物线，，共有的性质：13．已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是．14．正六边形和的位置如图所示，其中点在上，且．将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长为（结果保留）．15．二次函数y=x2-2x+5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象的函数解析式为.16．在正方形中，点为边上一点（不与点、重合），于点，于点，若，，线段的长是．三、解答题17．解方程：(1)；(2)．18．如图，双曲线(1)点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由；(2)点P在该函数图像上，连接OP．①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式；②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：BE2=BD·AB；(3)点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC=6，BC=8，求GH的长．20．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，171，172，175；(1)这组数据的中位数为，众数为；(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和．21．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的3个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为，(1)直接写出n的值_______；(2)所有球放入盒中，搅匀后若一次在盒子中随机摸出2个球，请用列表或树状图的方法，求所摸出两个球为一个白球和一个黑球的概率．22．用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”．23．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动距台风中心100海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，测得台风中心此时位于轮船正南方向200海里处，如果这艘轮船继续航行，3小时后，会不会遇到台风?请说明理由.24．某一小球以一定的初速度开始向前滚动，并且均匀减速，小球滚动的速度v（单位：米/秒）与时间x（单位：秒）之间关系的部分数据如表一：表一：时间x（秒）0122.53…速度v（米/秒）86432…(1)根据表一的信息，请在表二中填写滚动的距离s（单位：米）的对应值，（提示：本题中，，，其中，表示开始时的速度，表示秒时的速度．）表二：时间x（秒）0123…距离s（米）0…(2)根据表二中的数据在给出的平面坐标系中画出相应的点；(3)选择适当的函数表示s与x之间的关系，求出相应的函数解析式；(4)当时，求滚动时间x．25．如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动，当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．（1）①的长为______；②的长用含的代数式表示为______；（2）当为矩形时，求的值；（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交直线于点．(1)求直线的解析式及点的坐标；(2)如图1，为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值；(3)如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当过点时，在第一象限内是否存在点，使得以H、D、F三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于18．(1)求点的坐标；(2)如图1，点从点出发，沿轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为，试用含的式子表示（表示的面积），并直接写出的取值范围；(3)如图2，若点在上，点在上，与交于点C，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标．参考答案1．C解：，或，解得：，．故选：C．2．D解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，∴△ABC和△DEF的面积比为4：1，又△DEF的面积为4，∴△ABC的面积为16．故选D．考点：相似三角形的性质．3．B解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，方差是；∴，即为正数或零，故A选项错误，不符合题意；又∵乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，∴，故B选项正确，符合题意；∵甲、乙成绩的众数不能确定，可能相同也可能不同，故C选项不一定正确，不符合题意；∵甲、乙成绩的中位数不能确定，可能相同也可能不同，故D选项不一定正确，不符合题意；故选：B．4．B解：连接，在上任意取一点Q，连接，，如图：∵多边形是正六边形，∴，∴，∵四边形为圆内接四边形，∴，∴．故选：B．5．B解：过点A作直线的垂线，垂足为E,交于H,过点B作直线的垂线,垂足为F,如图所示：∵的距离为1，的距离为4∴AE=4

AH=1

ED=BE=3又∵Rt△ABC

∠ACB=90°°∴°°∴又AC=BC°∴∴EC=BF=3∴AC=又∵∴∴AD=6．A解：此二次函数的开口向下，，二次函数的对称轴为，，故结论①正确，由函数图象可知，当时，随着的增大而增大；故结论②正确，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，∴抛物线经过，∴当时，，故结论③错误；∴当时，，故结论④错误；二次函数图象对称轴为直线，是最大值，∴，∴，故结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，故选：A．7．2.5【详解】()－1＋tan30°·sin60°=2+故答案为;2.58．/度解：正六边形的中心角等于；故答案为：．9．=31.5【详解】根据题意，得：=31.5故答案为：=31.5．10．/【详解】∵，∴．故答案为：．11．解：，，，，刷子扫过的面积为，故答案为：．12．对称轴为轴（答案不唯一）解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为，当取、、时，这一性质保持不变．故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）．13．解：，二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值，，且，，离对称轴越远，函数值越大，当时，二次函数的最大值为，在时，关于x的方程有解，即可以看作在与在时有交点，，故答案为：．14．解：延长交于点，连接交于点，连接，∵六边形是正六边形，，是等边三角形，∴是的直径，∴经过点，∴将正六边形绕点A顺时针旋转，则点第一次落在上的点处，旋转角为，∴点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径，且圆心角等于的一段弧，∴点的运动轨迹长，故答案为：．15．y=x2+2x+2.解：由题意得：y=x2－2x+5=(x－1)2+4，∴将二次函数向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数解析式为：y=(x－1+2)2+4－3=(x+1)2+1=x2+2x+2.故答案为：y=x2+2x+2.16．解：如图所示，过点分别作，的垂线，分别交，于点，．∵在正方形中，，∴四边形是矩形．

∵，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴线段的长是．故答案为：．17．(1)，(2)，（1）解：或，解得或，∴原方程的解为：，；（2）解：，，，∴，∴或，∴原方程的解为：，．18．(1)在，理由见解析(2)①；②（1）解：点A在这个函数图像上理由：当x=1时，y=3，∵3=3，∴点A在这个函数图像上；（2）解：①设点P的坐标为（a，b），∵将线段沿着x轴翻折得到线段OM，∴点M与点P关于x轴对称，∴点M的坐标为（a，-b），∵点P在双曲线上，∴，设经过点M的双曲线解析式为，∴，∴经过点M的双曲线解析式为；②如图所示，过点P作PB⊥x轴于B，过点N作NC⊥x轴于C，∴∠NCO=∠OBP=90°，由旋转的性质可知NO=OP，∠NOP=90°，∴∠CNO+∠CON=90°=∠CON+∠BOP，∴∠CNO=∠BOP，∴△CNO≌△BOP（AAS），∴OC=PB，CN=OB，∴点N的坐标为（-b，a），∴同①可求得经过点N的双曲线解析式为．19．(1)详见解析(2)详见解析(3)（1）证明：如图，连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO，∴∠CAE＝∠AEO，∴OE∥AC，∴∠BEO＝∠ACB＝90°，∴OE⊥BC．∵OE为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线（2）由（1）可知，BC与⊙O相切于点E，∴∠OED＋∠BED＝90°．∵AD为⊙O的直径，∴∠AEO＋∠OED＝90°，∴∠AEO＝∠BED．∵OE＝OA，∴∠EAB＝∠AEO＝∠BED，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAE，∴＝，即BE2＝BD·AB；（3）解：如解图，过点E作EM⊥AB于点M，连接OH，在Rt△ABC中，AB＝＝＝10．∵AE平分∠BAC，∴EM＝EC，AM＝AC＝6，∴BM＝AB－AM＝4．设CE＝x，则EM＝EC＝x，∴BE＝8－x，在Rt△BEM中，EM2＋BM2＝BE2，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴EM＝EC＝3，BE＝5．Rt△ACE中，AE＝＝3，由（2）可知，△BED∽△BAE，∴＝＝，∴DE＝，在Rt△AED中，AD＝＝，∴DM＝＝，即OM＝OD－DM＝．∵H是的中点，∴∠HOA＝∠HOD＝90°，∴EM∥OH，∴△EGM∽△HGO，∴＝＝，设MG＝a，则OG＝OM－MG＝－a，∴，∴a＝1，即MG＝1，OG＝，∴在Rt△OHG中，GH＝＝．20．(1)166，165(2)甲组(3)170，172（1）解：数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，则舞蹈队16名学生身高的中位数为，众数为，故答案为：166，165；（2）解：甲组学生身高的平均值是：，甲组学生身高的方差是：，乙组学生身高的平均值是：，乙组学生身高的方差是：，∵，∴甲组舞台呈现效果更好．故答案为：甲组；（3）解：∵168，168，172的平均数为，且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，∴数据的差别较小，可供选择的有,平均数为：，方差为：，∴选出的另外两名学生的身高分别为和，故答案为：和21．(1)1(2)（1）解：由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，∴，故答案为：1；（2）解：设3个黑球分别用A、B、C表示，1个白球用D表示，列表如下：ABCDABCD由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中所摸出两个球为一个白球和一个黑球的结果数有6种，∴所摸出两个球为一个白球和一个黑球的概率．22．见解析．解：已知：，，求证：．证明：假设与相交于点，则过点有两条直线平行于直线，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以，所以平行于同一条直线的两直线平行．23．会遇到台风.【详解】会遇到台风.理由如下：如图所示，线段表示台风中心经过的路径，线段表示轮船航行的路径.由题意，得（海里），（海里），在中，根据勾股定理，得，即海里.所以轮船会遇到台风.24．(1)见解析；(2)见解析；(3)函数解析式为：；(4)．（1）解：（1）当时，，则；当时，，则；当时，，则；时间x（秒）0123…距离s（米）071215…（2）解：如图所示：（3）解：由图象可得是的二次函数，设，把代入可得：，解得：，故相应的函数解析式为：；（4）解：当时，则，解得：，，∵，∴．25．（1）①25；②3t；（2）；（3）当0＜t≤时，S=-3t2+48t；当＜t＜3，S=t2−14t+96．解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15．∴AB==25．∴sin∠CAB＝，由题可知AP=5t，∴PN=AP•sin∠CAB=5t•=3t．故答案为：①25；②3t．（2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ=90°，∵PN⊥AB，∴PQ∥AB，∴，由题意可知AP=CQ=5t，CP=20-5t，∴，解得t=，即当▱PQMN为矩形时t=．（3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，由（1）题可知：cosA=sinB=，cosB=，AP=5t，BQ=15-5t，PN=QM=3t．∴AN=AP•cosA=4t，BG=BQ•cosB=9-3t，QG=BQ•sinB=12-4t，∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，∴0＜3t≤12-4t，∴0＜t≤．∴NG=25-4t-（9-3t）=16-t．∴当0＜t≤时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S=PN•NG=3t•（16-t）=-3t2+48t．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN时，即：0＜12-4t＜3t，解得：＜t＜3，▱PQMN与△ABC重叠