2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测-一元二次方程的解法及应用

中考数学一轮复习资料五合一

《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》

(全国通用版)

第9褂一无二次方程

核心考点1：一元二次方程的概念

一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③整式方程。

一般形式：法+c=o(其中名〃"为常数，。工0),其中以2,以，。分别叫做二次项、一次项和常

数项，〃力分别称为二次项系数和一次项系数.

核心考点2：一元二次方程的解法

1.直接开平方法：适合于(x±o)2=伙力20)或(ar士〃尸=(ex士形式的方程.

2.配方法：

(1)整理成一般式，并化二次项系数为1；

(2)移项，使方程左边只含有一次项和一次项，右边为常数项；

(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(4)把方程整理成(X±。)2=6@之0)的形式;

(5)运用直接开平方法解方程.

3.公式法：

(1)把方程化为一般形式，即ad+/?x+c=O；

(2)确定a,九c的值;

(3)求出后-4ac的值，判断有解无解；

(4)将的值代入求解即可.

2a

4.因式分解法：基本思想是把方程化成(ar+O)(cr+d)=O的形式，可得"+〃=0或5+4=0

核心考点■):一元二次方程根的情况判断

1•根的判别式：一元二次方程加+云+。=0(〃工0)是否有实数根，由从一4%：的符号来确定，我们把

b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式.

2.一元二次方程根的情况与判别式的关系

(1)当从一4讹>0时，方程欠?+/次+。=0(。工0)有两个不相等的实数根；

(2)当从一4ac=()时，方程以2+/zr+c=0(〃，0)有两个相等的实数根；

(3)当/?2-4次?<0时，方程or?+版+。=0(。，0)没有实数根.

核心考点.一元二次方程根与系数关系(韦达定理)

根与系数关系：设依2+厩+c=0(其中。为，。为常数，。工0),两根分别为王，公，

bc

则%+%,=——，玉工，=—.

~aa

核心考点5：一元二次方程的应用

1、增长率问题

(1)增长率=增长量+基础量.(2)设〃为原来量，加为平均增长率，〃为增长次数，力为噌长后的

量则，(l+m)”=b；当加为平均下降率时，则有〃(1一机)”二力.

2.销售问题：⑴利润:售价-成本.⑵利润率二髭xlOO%.

3.面积问题

(1)类型1：阴影部分的面积为m—2x)S—2x).

(2)类型2：空白部分的面积为(a—X)S—x).

(3)类型3：4块空白部分的面积之和可转化为(。一刈⑺一回.

图1

一元二次方程是非常重要的工具，考查它的题型虽然不多，但都是非常重要的。主要题型有对一元

二次方程解法的考查，对其应用的考查，即应用题，对根与系数关系的考查等等。

g—考查一元二次方程的概念

1.下列方程为一元二次方程的是()

3

A.2x-x2=4B.2x+y=22C.V+2x—1=0D.x+-=6

x

【分析】只含有一个未知数.日未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.根据定义判断.

【详解】解：A、符合定义，符合题意，故选项正确；

B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意，故选项错误；

C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意，故选项错误；

D、含有分式不符合定义，不符合题意，故选项错误；

故选：A.

【反思】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键.

口——考查配方法

2.将一元二次方程/一8彳+5=0配方成(工+。)2=力的形式，则。+匕的值为.

⑥【分析】先移项，再在方程的两边都加上16,配方后可求解Jb的值，从而可得答案.

【详解】解：vx2-8.r+5=0,

移项得：x2-Sx=-5,

/.X2-8JT+16=11,

.­.(X-4)2=1I,

:.a=-4,b=\\,

:.a+b=7,

故答案为：7.

【反思】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键.

3.代数式八41+5的最小值为

【分析】根据完全平方公式将原式变形为(1+2)2+1,然后利用完全平方式的非负性分析其最值.

【详解】解：x24-4x+5=(x+2/+1

V(x+2)&0

•，(X+2)2+1>1

••・代数式d+4x+5的最小值为1.

故答案为：1.

【反思】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构及其非负性是解题关键.

4.已知实数人满足》=々+1,则代数式/+2〃-6a+5的最小值等于.

【答案】3

【分析】将匕=々+1代入代数式，根据配方法即可求解.

【详解】解：-b=a+\

a2+2/?-6a+5+2(a+l)―6a+5

=<i2-4。+7

=(〃-2)+3,

v(«-2)2>0,

•••(a-2『+323,

故答案为：3.

【反思】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键.

目一根据根的判别式求参数范围

5.关于“的方程f-2x+,〃=0有实数根，则〃，的取值范围是________.

g【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，通过确定判别式的符号即可得到答案.

【详解】解：•关于x的方程/_2x+m=0有实数根，

A=Z?2-4ac

=(-2)~-4xlx/?z

=4-4/n,

即4一N0,解得m<1,

故答案为：m&1.

【反思】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系.

6.关于x的一元二次方程办2+2》+1=0有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是_____.

【分析】由关于X的一元二次方程AF+2X+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>(),继而

可求得〃的范围.

【详解】，.关于x的一元二次方程以2+2x+1=0有两个不相等的实数根，

△=〃-4ac=4-4a>0,

解得：a<1,

方程♦十2.1十1=0是元二次方程，

「•”0,

的范围是：a<1且"0,

故答案为：a<1且。.

【反思】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是要考虑两方面：

一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义.

g—考查根与系数关系

7.一元二次方程f-3x+l=0的两个根为/，x”贝IJx：-的值为.

目【分析】根据一元二次方程的根的定义得出片-3内+1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得出

工心二1,代入代数式即可求解.

【详解】解：..■一元二次方程d—3x+l=0的两个根为巧，巧，

•••X；—3玉+1=0,AjX,=1,

/.X；-3x)=-1,

Xy-3.V]+X^2=—1+1=0.

故答案为：。.

【反思】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的

关键.

B—考查一元二次方程的解法

8.用适当的方法解下列方程：

⑴4心+3)=8(2/3)(2)X2-2A-5=0

⑶3/।x5=0(4)x2+6(,r+l)-13=0

窃【详解】(1)解：••・4心+3)=8(2%+3),

/.4x(2x+3)-8(2x+3)=0,

/.(4x-8)(2x+3)=0,

二.4工-8=0或2x+3=0,

3

解得％=2,x2=--1；

2

⑵解：VX-2X-5=0,

•'­X2-2X=5,

•••X2-2A+1=6.

•'­(x-l)-=6,

•x-1=±V6,

解得％=1+而=l-\/6；

⑶解:,.•3/+%-5=0,

「•4=3,b=1,c=—5,

A=h2-4t/c=l2-4x3x(-5)=61>0,

.-b±yjb2-4ac-1±\/6?

••x=------------------=------------->

2a6

解得r--"屈v-T-屈

rrr1寸A।—,一

6'6

2

(4)解：VX+6(X+1)-13=0I

X2+6^+6-13=0,BPX2+6X-7=0,

・•.(x-l)(x+7)=0,

「•4—1=0或A■十7=0,

解得$=Lx2=-7.

【反思】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

g——考查一元二次方程的应用

9.据统计，在2022年新冠疫情期间，某种口罩的价格为3元/个，经过两次下调后价格为0.75元/个.

⑴求两次价格下调的平均百分率；

⑵求第三次下调后口罩的价格.

@【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为X

由题意，得

3（1-x）2=0.75.

解这个方程，得玉=0.5,X2=1.5（不符合题意），

符合题目要求的是x=0.5=50%.

答：平均每次下调的百分率是50%.

（2）解：预计第三次下调后的销售单价为（）/75（l-5O%）=O.75xO.5=O.375,

答：预计第三次下调后的销售单价为0.375元.

【反思】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解在解决有关增长率的问题时，注意其固定

的等量关系.

12.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损，连续两次降价后每千克

32元，且平均每次下降的百分率相同.

⑴求平均每次下降的百分率：

⑵若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，

经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，

且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

目【分析】（1）设每次下降的百分率为〃，根据两次连续降价后，售价由每千克50元变为每千克32

元列出方程求解即可；

（2）设每千克应涨价x元，则每天销售（500-20x）千克，再根据利润=每千克利润x销售量列出方程求

解即可.

【详解】（1）解：设每次下降的百分率为根据题意，得：5〔）（1-。）2=32,

解得：4=1.8（舍）或4=0.2,

二每次下降的百分率为20%；

（2）解：设每千克应涨价x元，由题意，得：

（10+x）（500-20x）=6000,

整理，Wx2-15x4-50=0.

解得：内=5,工2=I。.

・•.要尽快减少库存，

x=5符合题意，

A该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元，

答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每T克应涨价5元.

【反思】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关

键.

13.一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，

经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件.

⑴设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元(用含工的代数式表示)；

(2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能嬴利1200元；

⑶商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由.

【分析】(1)利用每天销售量增加2x每件童装降价的钱数，可用含x的代数式表示出每天的销售量；

利用每件的销售利润=售价一进价，即可用含X的代数式表示出每件的销售利润；

(2)利用总利润=每件的销售利润x日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

(3)利用总利润=每件的销售利润x日销售量，即可得出关于工的一元二次方程，由根的判别式

A=-1100<0,可得出该方程无实数根，即不可能每天盈利1830元.

【详解】⑴解：依题意得：每天销售量增加2x件，每件盈利(120-工-8())=(40-6元.

故答案为：2x；(40-x)；

(2)解：依题意得：(40-x)(20+2x)=1200,

整理得：Y_30X+200=0,

解得：％=10,8=20.

答：每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；

(3)解：不可能每天盈利1800元，理由如下：

依题意得：(407)(20+2x)=1800.

整理得：x2-30x+500=0.

△=(-30)2-4xlx500=-1100<0,

该方程无实数根，

即不可能每天盈利1800元.

【反思】本题考查了一元二次方程的应用、列代数以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据各数量之

间的关系，用含x的代数式表示出每天的销售量及每件的销售利润；(2)找准等量关系，正确列出一元

二次方程；(3)牢记“当AvO时，方程无实数根”.

14.△4BC中，/8=90。,48=1(51,8c=l2cm,点。从点A开始沿边A8向终点4以lcm/s的速度移

动与此同时，点。从点8开始沿边AC向终点。以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从人、B同时出

发当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为/秒.

⑴填空BQ=PB=(用含/的代数式表示)；

⑵当，为何值时，的长度等于10cm?

⑶是否存在，的值，使得△PBQ的面积等于9cnf?若存在，请求出此时/的值；若不存在，请说明理由.

f【分析】⑴根据路程-速度X时间即可得出@2，AF,然后用他-4＞就可得出总的值；

(2)运用勾股定理可得：PB'BQ'PQj代入(1)中数据计算即可；

(3)根据三角形面积计算公式可得：Sw=gxBQx8P=9,代入数据计算即可.

【详解】(1)解：由题意得，

AP=/cm,BQ=Item,

PB=AB-AP=(\Q-t)cn\,

故答案为：2zcm,(10-/)cm；

(2)/?B90?,

二•APBQ是直角三角形，

根据勾股定理得:PB2+BQ2=PQ2,

即：(10-)2+(2/『_1()2,

解得：6=0,/2=4

.•・1=0或4时，。。的长度等于10cm；

(3)由题意得：SspQ=gxB2xBP=9,

gp|x2rx(IO-/)=9,

解得：4=1,G=9.

当点Q运动到点C时，两点停止运动，

即2/K12,

解得r<6,

=1时，V6PQ的面积等于9cn?.

【反思】本题考查了三角形的动点问题，考查了列代数式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，三

角形面积公式的运用，在解答时要注意所求的实际问题有怠义.

15.如图，在矩形48co中，AB=15cm,AD=5cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发，点尸以

3cWs的速度向点8移动，一直到点8为止，点。以2cm/s的速度向点。移动(点尸停止移动时，点。

也停止移动).设移动时间为/(s).连接PQ,QB.

⑴用含，的式子表示线段的长：CQ=；PB=.

⑵当/为何值时，P、Q两点间的距离为13cm?

⑶当/为何值时，四边形APQ。的形状可能为矩形吗？若可能，求出/的值；若不可能，请说明理由.

⑥【分析】(1)根据题意可直接进行求解；

(2)可通过构建直角三角形来求解.过Q作QM_LA8于M,如果设出发，秒后，QP=1女m.那么可根据

路程=速度x时间，用未知数表示出抽的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值.

(3)利用矩形的性质得出当AP=DQ时，四边形AP。。为矩形求出即可

【详解】⑴解：由题意得:CQ=2tcm,AP=3tcm,

AB=i5cm,

/.PB=(15-3r)cm；

故答案为"cm,(15-3/)cm;

(2)解：设出发/秒后P、。两点间的距离是13cm.

则AP=3f,CQ=2t,作QW1AB于M,

••・西边形ABC。是矩形，

ZC=ABC=90°,

••・西边形QMBC是矩形，

NQMP=90°,QM=BC=5cm,

m=|15-2/-3r|=|l5-5/|,

由勾股定理得：。5-5炉+52=13。

解得：1=0.6或f=5.4,

答：P、。出发0.6和5.4秒时，P,。间的距离是13cm；

(3)解：四边形APOQ的形状有可能为矩形；理由如下：

当四边形A尸Q。为矩形，则A尸=OQ,

即3/=15-2/,

解得：7=3.

答：当尸、。出发3秒时四边形APQ。为矩形.

【反思】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出

方程是解题的关键.

16.如图，矩形A8CD中，A8=6cm,8c=12cm,点从点A出发沿A8以lcm/s的速度向点8移动；

点。从点9出发沿4c以2cm/s的速度向点C移动•设运动时间为，秒.

⑴当1=2时，△OPQ的面积为cnr

⑵在运动过程中ADPQ的面积能否为26cm2?如果能，求出/的值，若不能请说明理由；

⑶运动过程中，当点A,P,Q,。四个点恰好在同一个圆上时，求，值.

【分析】(1)根据运动速度表示出长度，然后计算出三个直角三角形面积，再由矩形面积减去三个直

角三角形面积就能得到^DPQ的面积；

(2)根据(1)总得出的面积计算方式，列出关于/的方程，通过判断方程有无解来即可判断；

(3)4P是直角三角形如果它的三个顶点都在圆上，可得。P是直径，Q也要在圆上，那么ADQP也

是直角三角形，通过勾股定理用「表示出办产、PQ2、。0,再由。产=20+。02列出方程求解即可

【详解】(1)由题意得AP=1x2=2,BQ=2x2=4

..PB=AB-AP=6-2=4,CQ=C7?-/?Q=12—4=8

12'24x4

SDAP=---=]2,SQBP==8,S.Q=-=24

2DC

SDPQ~S矩形ABCD-SD&p-SQBP-S=72—12—8-24=28(CITI~)

(2)根据题意得S/WP=6xl2-^xl2r--x2/(6-/)--x6x(l2-20=26

222

整理得产一6f+10=0

b2-4«c=-4<0,

二•方程无实数根

:DPQ的面积不可能为26cm2

(3),.・/A=90。

「.A、P、。三点在以为直径的圆上

若点。也在圆上，则NPQD=90>

22222222

PQ=(6-t)+(2t)f£>0=6+(12-2r),DP=r+12

当PQ2+/)Q2=7)P2,NPQO=90°

(6-"2+(2/)2+6?+(12-2t)2=r+122

解得i

.i=6或1时A、P、2、。四点恰好在同一个圆上.

【反思】本题考查矩形的性质，三角形的面积以及一元二次方程的应用，直径所对的圆周角是直角，解

题的关键是根据勾股定理列出方程.

W,_将题目归类，找到各种类型问题的解决方法

现在流行一个词“刷题”，其实“刷题”也要讲究技巧的，盲目地刷题只会浪费时间，学习效果很

差我们只有将题目归类，根据典型例题的各种解法，然后再去刷题，将各种类型的题练习一下，这样

才能收到良好的学习效果，而且这样做还能节约大量的时间

秘籍八：将题目归类，找到各种类型问题的解决方法！

一、选择题

1.已知（a-2）/-2_x+3=o是关于x的一元二次方程，那么〃的值为（）

A.±2B.2

C.-2D.以上选项都不对

2.用直接开平方法解方程。+/?）2=&,方程必须满足的条件是（）

A.kNOB.h>0C.hk>0D.k<（）

3.关于x的一元二次方程（〃-1）/+工+/_1=0的一个根是0,则。的值为（）

A.1B.-1（2.1或-1D.0

4.方程3+1）2=0的根是（）

A.x（=x2=1B.x,=x,=-iC.=-l,x2=1D.没有实数根

5.将一元二次方程/6*17=0通过配方转化为（x+〃）2-/，的形式，下列结果中正确的是（）

A.1-3)2=2B.(x-6)=2C.(X-3)2=-2D.。-6尸二4

6.已知某一元二次方程的两根分别为％=3,々=T，则这个方程可能为()

A.(x-3)(%+4)=0B.(A+3)(X-4)=0

C.(x+3)(x+4)=0D,(x-3)(x-4)=0

7•一元二次方程V—2x=0的解为()

A.x=2B.^|=0,X,—2C.菁=0,Z=-2D.x=-2

8•一元二次方程6=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根为0D.没有实数根

9.关于x的一元二次方程依2+〃+|=。有两个实数根，则实数”的取值范围是()

A.a<\B.a<1且“工0

C.«<1D.a<1且。工0

10.为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2321年第四

季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟.设每季度平均每周作业时长的下降

率为则可列方程为()

A.600(l-tz)=350B.350(1+^)=600

C.600(l-a)2=350D.35O(l+a『=6OO

11.如图L矩形A8CZ)中，点E为8c的中点，点P沿8c从点8运动到点C,设氏P两点间的距离为

X，PA-PE=y,图2是点/，运幻时)，随X变化的关系图象,则8C的长为()

O1

…二

BPEcy)r

图1口92

A.6B.7C.8D.9

12.如图，在宽为10米、长为22米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草

坪要使草坪的面积为180平方米，则设道路的宽为x米，根据题意，列方程()

A.22xl0-10x-20x=180B.22X10-10X-20X-X2=180

C.(22-x)(IO-x)=18OD.22x10-1Ox-2O.r+2.r2=180

二、填空题

13.方程(x-2>=6的根是_____.

14.关于x的方程/一2工-1=〃(〃为常数)有两个不相等的正根，则〃的取值范围是

15.一元二次方程"沙-1)1的解为.

16.方程(x+2)(x+4)=x+2的根是________.

17.某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为

18.如图，在中，4cB=90。,NB=30。,AC=5cm,动点M从点B出发，在班边上以每秒

2cm的速度向点4匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒石cm的速度向点8匀速运动,

设运动时间为/秒(0WY5),连接MN.当四边形ACNM的面积为主叵cn?时，，的值为.

三、解答题

19.解方程：

(1)X2+6A+5=0；(2)x2-4.r-l=0

20.解方程

(l)x2I2x3=0(2)3.r(.r-2)=8-4.r

21.2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体、培

养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校为此规划出矩形苗圃A8C。.苗圃的一面靠墙（墙最

大可用长度为12米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在

如图所示的两处各留1米宽的门i门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形A3C。的一边长为

x米.

⑴矩形AAC。的另一边4c长为米（用含x的代数式表示）；

⑵若矩形"CQ的面积为63m2?,求％的值；

⑶当X为何值时，矩形A8CO的面积最大，最大面积为多少平方米？

22.如图，n△A8C中，？A90?,/W3cnMC=4cm,动点E从点4出发沿AC方向运动，动点尸从

点C出发沿C4方向运动，点E,尸同时出发，且速度均为lcm/s,设运动时间为«s）（0v，v4）.过£作

线殁EP〃8C,且EP=BC,连接E凡PF,解答下列问题：

备用图

Q）当点尸运动到8c中点时，求EC的长；

⑵连接PC,当△，尸。的面积为Icnf时，求,的值；

⑶是否存在某一时刻。使△EFP为直角三角形，若存在，请直接写出，的值；若不存在，请说明理由.

一、选择题

1.已知”是关于工的方程/一2>3=0的一个根，则2病_4〃?的值为（）

A.-6B.6C.3D.-3

2•一元二次方程f—6x-2=0配方后可变形为（）

A.*-3）2=11B.（x-3）2=7C.（X-6）2=36D.*一3)2=2

3.无论x取何值，代数式3f—6x+ll的值（）

A.总大于0D.总不小于8C.总不小于11D.总大于11

4.解方程2（4、-3）2=3（4X—3））最适当的方法是（）

A.直接开方法B.配方法C.公式法D.分解因式法

5.关于1的一元二次方程（〃+1）工2-4x+l=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是（）

A.a>3B.。<3且aw—1

C.a<3D.aN3且aw-l

6.命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有I人参加聚

会根据题意可列方程为（）

C.必丁)=40D.x(x+1)=40

A.21£Z1）=4OB.x(x-1)=4()

2

7.如图，将边长为12“〃的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到

△ABC,若两个三角形重叠部分的面积为32cm2,则它移动的距离AA，等于（)

A.4cmB.8cmC.6cmD.4cm或8cm

8.空地上有一段长为。米的旧墙用N,利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2）,已知木栏总

长为40米，所围成的菜园面积为S.下列说法错误的是（

M/////N

图1图2

A.若a=16,S=196,则有一种围法B.若。=20,5=198,则有一种围法

C.若〃=24,5=198,则有两种围法口.若。=24,5=200,则有一种围法

二、填空题

9.用求根公式解方程X2+3X=-1,求得b2-4ac=.

10.已知关于x的一元二次方程F+日—6=0的一个根是2,则另一个根的值是________.

11.已知玉、为是一元二次方程2/-4刀一1=0的两根，则22%+%与2=.

12.如图，在一个长为60m,宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化月地，如果

绿化用地的面积为2204n/，那么道路的宽为m.

13.某次聚会，每两个人握手一次，总共握手45次，那么有人参加聚会.

14.如图所示，在一幅长50cm、宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所

示如果要使整个矩形挂图的面积是3036cnf,则金色纸边的宽为一cm.

三、解答题

15.解方程：

⑴2x?+4=7x；(2)2(2X-3)2=4.V-6

16.解方程：

(l)x2-V2x-4=0(公式法)(2)2.r(x-l)=3x-3

17.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围

成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为工米.若苗圃园的面积为72平方

米求x的值.

v〃-〃-/，-〃-/〃〃1〃8〃m/〃-〃-〃-/(-〃〃►〃

苗圃园

18.在矩形A8CD中，=6cm,8c=12cm,点尸从点A出发，沿A8边向点B以每秒1cm的速度移

动同时点。从点8出发沿3c边向点C以每秒2cm的速度移动P、。两点在分别到达8、C两点后就停

止移动.设两点移动的时间为，秒，回答下列问题：

⑴如图1,当，为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2?

⑵如图2,以。为圆心，PQ为半径作OQ.

①在运动过程中，是否存在这样的/值，使Q正好与四边形。PQC的一边（或边所在的直线）相切？若

存在，求出f值；若不存在，请说明理由；

②若：。与四边形QPQC有三个公共点，请直接写出/的取值范围.

19.为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测.某社区准备搭建一个动态

核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为4石）的

矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在A8边上，两区通道在边上，

出口通道在E尸边上，通道宽均为1米.设=矩形的面积为

ADE

登记区检测区

入UM通.直N出口

BCF

（1）M可表示为；

⑵当工为何值时，卬有最大值？最大值是多少？

⑶所围成矩形相正的面积能否达到96平方米？如果能，求出八A的长；如果不能，请说明理由.

20.如图所示，△48C中，ZB=90°,AB=6cm,8C=8cm.点P从点4开始沿/W边向8以Icm/s的速度

移动，点。从8点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一个点先到达终点时，另一个点也随

之停止运动，若P,Q分别从A,8同时出发，记运动时间为/s则：

⑴当/为何值时，使△PBQ的面积等于8cm」？

⑵线段PQ、；（用含/的代数式表示）

⑶求/支，的取值范围.

中考数学一轮复习资料五合一

《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》

（全国通用版）

第夕用一完二法方程

敦■■特钢•解

一、选择题

1.已知（4-2）/-2_x+3=o是关于X的一元二次方程，那么〃的值为（）

A.±2B.2

C.-2D.以上选项都不对

【详解】•••（。-2）/-2_/+3=0是关于工的一元二次方程，

a2—2=2.a—2^0.

解得a=-2,

故选：C.

【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键.

2.用直接开平方法解方程（x+/?）2=A,方程必须满足的条件是（）

A.k>0B./z>0C.hk>0D.左<0

【详解】•.（x+ApNO,

:.k>0.

故选：A.

【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关

键.

3.关于x的一元二次方程的一个根是0,则。的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.0

【详解】把x=0代入一元二次方程（。-1W+%+〃'T=0得/-1=0,

解得％=1，%=T.

而。一1工0,

的值为-1.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元

二次方程的解•也考查了一元二次方程的定义.

4.方程(x+1)2=0的根是()

A.x,=x,=1B.xt=x2=-\C.A|=-],x2=\D.没有实数根

【详解】3+1)2=0,

x+l=0,

Xj=x2=-\,

故选：B.

【点睛】本题考查了解一元二次方程.熟练掌握一元二次方程解法一直接开平方法是解题

的关键.

5.将一元二次方程/-6、+7=0通过配方转化为(1+。)2=〃的形式，下列结果中正确的是

()

A.(X-3)2=2B.(X-6)2=2C.(x-3)2=-2D.(x-6)2=4

【详解】W-6x+7=0,

x2—6x——7,

X2-6X+9=-7+9,

(X2-3)2=2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程

的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合

适、简便的方法.

6.已知某一元二次方程的两根分别为±=3,9=-4,则这个方程可能为()

A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)Gv-4)=0

C.(x+3)(.v+4)=0D.(x-3)(x-4)=0

【详解】A、*—3)*+4)=0,解得：玉=3,X2=-4,符合题意；

B、(x+3)(x-4)=0,解得：N=-3,X2=4,不符合题意；

C、(%+3)(x+4)=0,解得：*=-3,x2=-4,不符合题意；

D、(X-3)(A-4)=0,解得：玉=3,X2=4,不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.

7.一元二次方程/—21=0的解为()

A.x=2B.占=0,X)=2C.$=0,&=-2D.x=—2

【详解】X2-2X=0,

x(x-2)=0,

=o,X)=2,

故选：B.

【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键.

8.一元二次方程/-2%-6=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根为0D.没有实数根

【详解】•••A=b2-4«r=(-2)2-4x(-6)=28>0,

二•一元二次方程F—2x-6=0有两个不相等的实数根，

故选：A.

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式.一元二次方程加+法+c=0(〃w0)的根与

△=〃-4改有如下关系：(1)△>()=方程有两个不相等的实数根；(2)△=()=方程有两

个相等的实数根；(3)△<()=方程没有实数根.

9.关于x的一元二次方程以2+2x+l=0有两个实数根，则实数。的取值范围是()

A."1B."1且”工0

C.〃<1D.。<1且"0

【详解】依题意，△=〃-4ac=4-4420且4工0,

解得：。K1且。工0,

故选：B.

10.为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经

过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟.设每

季度平均每周作业时长的下降率为则可列方程为()

A.600(1-«)=350B.350(1+6/)=600

C.600(1-4=350D.350(14-a)2=600

【详解】设每季度平均每周作业时长的下降率为a.

V2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，

•••2021年第四季度平均每周作业时长为600(1-a)分钟，

2022年第一季度平均每周作业时长为600(1-a)2分钟，

•••600(1-«)2=350,

故选：C.

11.如图1,矩形A48中，点E为4c的中点，点?汨4c从点8运动到点C,设B,尸两

点间的距离为X,PA-PE=y,图2是点。运动时），随X变化的关系图象，则8C的长为

)

图1

A.6B.7C.8D.9

【详解】由函数图象知：当x=0.即尸在B点时，BA-BE=l.

利用两点之间线段最短，得至"PA-尸EWAE.

7的最大值为AE.

AE=5.

在RtABE中，由勾股定理得：BA2+BE1=AE2=25,

设晅的长度为l,

则AB=/+1,

++r=25,

即r2+r-12=0.

.•.(r-3)(r+4)=0t

解得，=3或1=T,

由于，〉（）,

:.t=3.

.tBE=3,

,・.点E为8c的中点,

/.BC=6.

故选：A.

12.如图，在宽为10米、长为22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余

下部分种植草坪，要使草坪的面积为180平方米，则设道路的宽为x米，根据题意，列方程

A.22xlO-IOx-2Ox=l8OB.22x10-10.v-20x-x2=180

C.(22-x)(10-x)=180D.22X10-lOx-20x+2x2=180

【详解】设道路的宽为x米，依题意得(227)(107)=180,

故选：C.

二、填空题

13.方程(x-2>=6的根是_____.

【详解】原方程两边直接开平方可得：x-2="或者<-2=-6，

•*-Xy—+2,x,=—\/6+2,

故答案为：=\/6+2,.V,=-V6+2.

14.关于x的方程丁-2》-1=〃(〃为常数)有两个不相等的正根，则〃的取值范围是

2

【详解】由题意得：X-2X-\=P,

x2-2x-(l+/?)=0,

A=Z?2-4«c=(-2)2-4xlx[-(l+p)]=4p+8,

bc

"+x,=——=2,%1-X,=-=-(l+P),

a-«

・.・关于x的方程f-2x-l=〃(〃为常数)有两个不相等的正根,

4/7+8>0

解得：-2<p<-l

「•〃的取值范围是：一2〈〃〈-1

故答案为：一2V〃〈一1

15.一元二次方程①+|](1)=3的解为.

【详解】••(吗(1)=(

，331八

222

•*-x~H—x—2=0,

2

b=-,c=—2,

2

(\A2,、33

，A=3-4X(-2)X1=—,

必为去小.-1+\/33—1—>/33

故合案为-X.=-----------,X,=------------

4“4

16.方程(x+2)(x+4)=/+2的根是.

【详解】(x+2)"+4)="2,

(x+2)(x+4-l)=0,

解得：X=-2,占二-3.

故答案为：为=-2,X2=-3.

17.某商品经过两次降