2025~2026学年安徽省滁州市第四中学高一下册第一次学习质量检测数学试题【含答案】

/数学一、单选题（每题5分，共40分）1.化简：（）A. B. C. D.2.已知平面向量，，若，则（）A. B.4 C. D.3.已知两个单位向量，互相垂直，则（）A. B.4 C. D.24.已知平面向量，，若，则（）A. B.4 C. D.35.已知和的夹角为60°，且，则（）A.1 B. C.3 D.6.如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.7.在中，，则（）A.或 B. C. D.8.若平面向量模长相等，且，则（）A. B. C. D.二、多选题（每题6分，共18分）9.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，10.下列关于向量的命题，错误的是（）A. B.在边长为的等边中，C.若，则 D.若，则向量，的夹角是锐角11.在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（）A.B.角B为钝角C.D.三、填空题（每题5分，共15分）12.平面向量，满足，，，则______．13.平面向量，同向，，，则的坐标是______.14.已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______.四、解答题（共77分）15.在中，内角，，所对的边分别为，，；（1）若，，，求；（2）若，，，求边.16.已知向量，．（1）求，的坐标；（2）求与夹角的余弦值；（3）求在上的投影向量．17.如图，在平行四边形中，是的中点，．（1）用表示；（2）若，证明：．18.已知两个单位向量与的夹角为，设，.（1）求最小值；（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围.19.在中，内角的对边分别是，且，.（1）求角B；（2）若，求边上的角平分线长；（3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.

数学一、单选题（每题5分，共40分）1.化简：（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据向量加法的三角形法则计算即可.解答过程：.故选：A2.已知平面向量，，若，则（）A. B.4 C. D.答案：B解析：解答过程：因为平面向量，，且，所以

.3.已知两个单位向量，互相垂直，则（）A. B.4 C. D.2答案：D解析：思路：根据向量数量积的运算律求解即可.解答过程：因为向量，都为单位向量且互相垂直，所以，，，所以.所以.4.已知平面向量，，若，则（）A. B.4 C. D.3答案：C解析：思路：根据向量数乘与加法的坐标运算法则，计算的坐标，进而结合垂直向量的数量积为0建立关于的方程并求解.解答过程：由，，可得：，所以.由，得：，代入坐标计算：，解得.5.已知和的夹角为60°，且，则（）A.1 B. C.3 D.答案：C解析：解答过程：因为和的夹角为60°，且，所以.6.如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因是线段上的靠近A的三等分点，则.7.在中，，则（）A.或 B. C. D.答案：C解析：思路：由正弦定理求得，由角的取值范围即可求得.解答过程：由正弦定理可知，即，∵，∴.故选：C.8.若平面向量模长相等，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将给定向量等式变形后两边平方，结合三个向量模长相等的条件，利用向量数量积运算及夹角公式求解余弦值．解答过程：设。由，等式两边同时平方，，等式两边同时除以，．二、多选题（每题6分，共18分）9.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，答案：CD解析：解答过程：基底向量由不共线的非零向量组成，选项A：为零向量，A选项错误；选项B：，共线，B选项错误；选项C：，不共线，且不为零向量，C选项正确；选项D：，不共线，且不为零向量，D选项正确.10.下列关于向量的命题，错误的是（）A. B.在边长为的等边中，C.若，则 D.若，则向量，的夹角是锐角答案：BD解析：解答过程：选项A：，故，A选项正确；选项B：等边三角形边长为，任意两边夹角为，则，，B选项错误；选项C：，即为相反向量，故，C选项正确；选项D：当向量，的夹角为时，满足，D选项错误.11.在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（）A.B.角B为钝角C.D.答案：ABD解析：思路：由题干等式结合两角和公式和诱导公式可验证A，B，C选项；通过正弦定理可验证D选项.解答过程：由，得，得，对于A，B，由，可得，因为，且均不为，则，且不为，则或，即或，因为为斜三角形，故，即角为钝角，故A，B均正确；对于C，由A项已得角为钝角，则，因为，故，故C错误；对于D，由正弦定理，，又，将代入得，故D正确.故选ABD.三、填空题（每题5分，共15分）12.平面向量，满足，，，则______．答案：解析：思路：对两边平方可得，再计算从而可得结果.解答过程：由，两边平方可得，解得，则，.故答案为：.13.平面向量，同向，，，则的坐标是______.答案：解析：思路：设，结合题意建立关于的方程并求解即可.解答过程：因为与同向，可设；已知，代入得；所以，解得；故的坐标为.14.已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______.答案：##解析：思路：根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解.解答过程：由是边上靠近的三等分点，可得，，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以.因为，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，所以的最小值为.四、解答题（共77分）15.在中，内角，，所对的边分别为，，；（1）若，，，求；（2）若，，，求边.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据余弦定理求解；（2）由余弦定理可得关于的一元二次方程，求解即可.（1）若，，，由余弦定理，，所以.（2）若，，，由余弦定理，则，可得，解得或（舍去）.16.已知向量，．（1）求，的坐标；（2）求与夹角的余弦值；（3）求在上的投影向量．答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据向量线性运算的坐标规则，对应坐标分别运算；（2）根据平面向量夹角的坐标运算公式即可求解；（3）根据投影向量的计算公式即可求解．（1）．．（2）．（3）在上的投影向量为。17.如图，在平行四边形中，是的中点，．（1）用表示；（2）若，证明：．答案：（1），（2）证明见解析解析：思路：（1）根据向量的线性运算即可求解；（2）根据向量的数量积运算及垂直关系的向量表示即可证明.（1）因为四边形为平行四边形，是的中点，，所以，．（2）证明：由（1）可知，因为，所以，则，即，从而．18.已知两个单位向量与的夹角为，设，.（1）求最小值；（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可；（2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解.（1）由题意，因为，，所以所以，所以，等号成立当且仅当，所以最小值是；（2）因为，，所以，设，共线，即设，因为向量与不共线，所以，解得，若与的夹角为钝角，则，且，解得的取值范围是.19.在中，内角的对边分别是，且，.（1）求角B；（2）若，求边上的角平分线长；（3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方