2025~2026学年福建福州高级中学2026年普通高中学业水平合格考试模拟试题1数学试题【含答案】

/数学考试时间：90分钟满分：100分第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.2.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（

）A. B. C. D.3.设全集，，则（）A. B. C. D.4.已知是虚数单位，则等于（）A.13 B.5 C. D.5.不等式的解集是（）A. B. C. D.6.已知，，则的值为（）A. B.2 C.8 D.157.下列函数为增函数的是（）A. B.C. D.8.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.9.某商场在今年端午节的促销活动中，对6月9日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为A.万元 B.万元 C.万元 D.万元10.函数的图象是（）A. B.C. D.11.已知且，则的最小值为（

）A. B.4 C.6 D.1212.设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，，则（）A.1 B. C. D.13.已知，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.14.已知两条直线和平面，若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件15.的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（）A. B. C. D.16.已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.17.已知，，，则（）A. B. C. D.18.若在上是减函数，则的最大值为（）A. B. C. D.19.已知函数，方程有三个解，则（）A.0 B.1 C.2 D.3第Ⅱ卷（非选择题43分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．20.已知，则的坐标是_________.21.已知，，则的值为________.22.如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为______．23.若函数恰有两个零点，则实数的范围是________三、解答题：本题共3题，共27分．24.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求证：为等腰三角形；（2）若，求的面积．25.如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.26.已知函数．（1）求的定义域；（2）判断在其定义域上的单调性，并用定义证明；（3）若，解关于的不等式．

数学考试时间：90分钟满分：100分第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由全称命题的否定为特称命题即可求解.解答过程：的否定为：.故选：C2.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据平面向量的加法法则求解.解答过程：根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得.故选：B.3.设全集，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据补集的定义计算可得.解答过程：因为，，所以.故选：B4.已知是虚数单位，则等于（）A.13 B.5 C. D.答案：A解析：思路：根据复数的乘法即可.解答过程：.故选：A.5.不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接求出一元二次不等式的解集即可.解答过程：解得：，故不等式的解集是.故选：A6.已知，，则的值为（）A. B.2 C.8 D.15答案：D解析：思路：根据指数的运算求解即可.解答过程：.故选：D7.下列函数为增函数的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：把函数化成分段函数由单调性判断A；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD作答.解答过程：对于A，函数，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，A不是；对于B，函数在R上单调递增，B是；对于C，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，C不是；对于D，函数在上单调递减，D不是.故选：B8.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用三角函数的定义和诱导公式求解即得.解答过程：∵角的终边经过点，∴，故A，C错误，D正确；对于B，，故B错误.故选：D9.某商场在今年端午节的促销活动中，对6月9日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为A.万元 B.万元 C.万元 D.万元答案：C解析：解答过程：试题分析：由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为（万元），又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为万元．考点：频率分布直方图.10.函数的图象是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据函数定义域及函数值的正负判断即可.解答过程：因为的定义域为，故BD错误；又，故C错误；故A正确.故选：A11.已知且，则的最小值为（

）A. B.4 C.6 D.12答案：D解析：思路：根据题意，结合基本不等式，即可求解.解答过程：因为且，可得，当且仅当时，等号成立.故选：D.12.设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，，则（）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，得到函数为奇函数，结合，代入即可求解.解答过程：由函数的图像关于原点对称，可得函数为奇函数，所以，又由时，，则.故选：B.13.已知，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得.解答过程：因为，，所以，，所以向量在向量上的投影向量是.故选：D14.已知两条直线和平面，若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：利用空间直观想象与线面平行的判定定理，结合充分必要条件的判定方法即可得解.解答过程：因为，当时，与可能异面，即充分性不成立；当时，由线面平行的判定定理可知，即必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.15.的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到.解答过程：由，解得，由余弦定理得，所以.故选：C.16.已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆台的侧面积公式求出母线，再求圆台的高结合圆台体积公式求体积即可.解答过程：设圆台上下底面的半径分别为，母线为，由题意可得：，则圆台的高为，所以圆台的体积为.故选：D17.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用指数函数和对数函数的单调性确定幂值和对数值的范围即得.解答过程：因，即，又，即，而，即，故.故选：A.18.若在上是减函数，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用辅助角公式和余弦函数单调性的求法可得的单调递减区间，对应已知区间即可确定结果.解答过程：；令，解得：，的单调递减区间为，，，，的最大值为.故选：B.19.已知函数，方程有三个解，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：变换得到，设，确定函数为奇函数，得到，，计算得到答案.解答过程：，，即，即，设，函数定义域为，，函数为奇函数，，不妨取，则，，.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题43分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．20.已知，则的坐标是_________.答案：解析：思路：由平面向量减法的坐标运算求解即可.解答过程：因为，所以.故答案为：.21.已知，，则的值为________.答案：解析：思路：利用正切函数的和差公式即可得解.解答过程：因为，，所以.故答案为：.22.如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为______．答案：解析：思路：先取中点为,连接,记与交点为,根据平行可知与BF所成角即为与所成角,通过正方体性质可得,即,根据可知,即,即可知与BF所成角为.解答过程：取中点为,连接,记与交点为,如图所示:因为G,F分别是棱,的中点,所以,且,故四边形为平行四边形,所以,所以与BF所成角即为与所成角,因为正方体,E,G是棱AD,的中点,所以,所以,即,因为,所以,所以,故与所成角为,即与BF所成角为.故答案为:23.若函数恰有两个零点，则实数的范围是________答案：解析：思路：分别设，分两种情况讨论，即可求出的范围.解答过程：解：设，

若在时，与轴有一个交点，

所以，并且当时，，所以，

而函数有一个交点，所以，且，

所以，

若函数在时，与轴没有交点，

则函数有两个交点，

当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），

当时，即时，的两个交点满足，都是满足题意的，

综上所述的取值范围是，或.

故答案为：.方法提示：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.三、解答题：本题共3题，共27分．24.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求证：为等腰三角形；（2）若，求的面积．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证；（2）由余弦定理可求得，可求的面积.（1）因为，所以，化简得，即，所以是等腰三角形.（2）由余弦定理可得，得，解得，由，所以，所以的面积为.25.如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面.（2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面.（1）设，连接，∵底面是菱形，∴为的中点，又∵是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面.（2）∵底面是菱形，∴.又平面，平面，∴.又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.26.已知函数．（1）求的定义域；（2）判断在其定义域上的单调性，并用定义证明；（3）若，解关于的不等式．答案：（1）.（2）在上单调递增，证明见解析（3）答案见解析.解析：思路：（1）由题意可得定义域的不等式组，从而可求解.（2）利用函数的定义法即可判断在其定义域上为增函数，从而可求解.（3）由函数