2025~2026学年河北省石家庄市、张家口市部分校高二下册6月测试数学试题【含答案】

/数学考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A. B. C. D.2.若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（）A. B. C. D.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.21 B.0.22 C.0.28 D.0.324.由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（）A.12种 B.18种 C.30种 D.48种5.月日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（）A.15 B.16 C.17 D.186.已知，，，则为（）A. B. C. D.7.暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（）A. B. C. D.8.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强B.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好C.已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510.盒中有6个玩具球，其中有2个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取3个球，则下列事件的概率是的是（）A.恰有1个球是红色的 B.3个球全是蓝色的C.恰有2个球是红色的 D.至多有2个球是蓝色的11.高二（2）班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要报名且限报其中一项．记事件“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则（）A.五名同学的报名情况共有种B.“每个科目都有人报名”的报名情况共有240种C.“五名同学最终只报了两个科目”的概率是D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，若，，则__________．13.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜中珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为__________．14.已知能够被15整除，其中，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.代驾服务在中国已从一个新兴的细分市场发展成为覆盖亿用户、年订单量突破亿的庞大产业．某用户只在某市的网、网两个代驾平台选择代驾，根据历史数据，选择网的概率为，选择网的概率为，网代驾准时到达率为，网代驾准时到达率为．已知该用户每次选择的代驾准时到达与否相互独立．（1）求该用户选择代驾准时到达的概率；（2）在该用户的次选择代驾中，记准时到达的次数为，若的方差大于，求的最小值．16.DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为．（1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望；（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率．17.宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：102030405060708013.515.818.52022232424.2（1）用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；（2）该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值．附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，②1612920400109603③，18.为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．（1）求甲答对每道题的概率；（2）已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值．19.某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）：产品合格不合格合计调试前8060140调试后402060合计12080200（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联；（2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望；（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值．参考公式及数据：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

数学考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．解答过程：由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是负相关，相关系数小于0，图2和图4是正相关，相关系数大于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1，由此可得．2.若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解.解答过程：由题得，解得.的通项为.令，则系数为.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.21 B.0.22 C.0.28 D.0.32答案：B解析：解答过程：随机变量服从正态分布，则4.由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（）A.12种 B.18种 C.30种 D.48种答案：C解析：思路：分最高位是4和最高位是3两种情况，结合排列组合知识求解．解答过程：当万位为3时，个位可从三个偶数中任选1个，共种选择；剩余个数字全排列排中间千、百、十位，共种排法，共有种.当万位为时，个位只能从剩余偶数中任选1个，共种选择；剩余个数字全排列排中间三位，共种排法，共有种.两类相加，总共有种.5.月日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（）A.15 B.16 C.17 D.18答案：C解析：思路：根据二项分布的期望性质直接计算即可.解答过程：，都服从二项分布，即，则，，所以.6.已知，，，则为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据对立事件的概率及全概率公式，即可求解.解答过程：由全概率公式，得，又，，，，代入得，解得.7.暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：计算每天既戴帽子又戴墨镜的概率和只戴墨镜不戴帽子的概率，服从二项分布，使用二项分布概率公式求解.解答过程：设事件表示戴帽子和戴墨镜，则，，因为帽子和墨镜每天至少戴一件即，所以，单日只戴墨镜不戴帽子的概率为，表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，，.8.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意求得随机变量的分布列，再利用公式可求，最后利用二次函数的性质可求其最大值.解答过程：由题意知，随机变量可能的取值为.；.所以.所以当时，取得最大值，最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强B.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好C.已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05答案：BD解析：思路：选项A利用相关系数的概念求解即可，选项B利用残差平方和的概念求解即可，选项C利用变量，的均值一定在回归方程的图像上求解即可，选项D利用小概率原理求解即可.解答过程：选项A：在一元线性回归方程中，若线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，故错误，选项B：回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，正确，选项C：将，代入方程解得：，故错误，选项D：可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，正确.10.盒中有6个玩具球，其中有2个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取3个球，则下列事件的概率是的是（）A.恰有1个球是红色的 B.3个球全是蓝色的C.恰有2个球是红色的 D.至多有2个球是蓝色的答案：BC解析：思路：根据古典概型概率公式与组合数公式计算即可逐一判断.解答过程：对于A，事件“恰有1个球是红色的”概率为，不是，A错误；对于B，事件“3个球全是蓝色的”概率为，B正确；对于C，事件“恰有2个球是红色的”概率为，C正确；对于D，事件“至多有2个球是蓝色的”概率为，不是，D错误.11.高二（2）班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要报名且限报其中一项．记事件“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则（）A.五名同学的报名情况共有种B.“每个科目都有人报名”的报名情况共有240种C.“五名同学最终只报了两个科目”的概率是D.答案：ABD解析：思路：先计算五名同学报名的总情况数，再根据各选项的要求分别计数，结合古典概型公式和条件概率公式逐一判断每个选项的正误.解答过程：对于A：五名同学每人都有4种报名选择，根据分步乘法计数原理，总报名情况数为

种，A正确；对于B：“每个科目都有人报名”，5人分到4个科目，人数分布只能是

，先从5人中选2人作为一组，剩余3人各成一组，共

种分组方式；再将4组全排列分配给4个科目，共

种排列方式；总情况数为

种，B正确；对于C：“五名同学只报了两个科目”，先从4个科目选2个，共

种选法；再减去5人全选第一个科目、全选第二个科目的2种情况，总符合情况数为

；总报名情况为

，概率为

​，C错误；对于D：事件要求恰3人同科目，其余两人各在不同科目，先选人所在科目有种不同的选法，选人有不同的选法，将剩余两人安排到剩余的3个科目中的两个，每人一科，有​种不同的选法，可得；要求发生且只有小明1人报化学，因此3人同科目只能从非化学的3个科目选，再从剩余4人选3人，最后剩余1人从剩余2个非化学科目选，得

，因此

，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量，若，，则__________．答案：64解析：解答过程：∵随机变量，根据二项分布的期望与方差公式可得，.∴，解得，∴.13.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜中珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为__________．答案：##解析：思路：可基于独立事件概率的计算方法分析路径概率，用组合数公式，结合每条路径的发生概率，因为每段路径的选择是独立事件，根据独立重复试验的概率公式，再乘以路径总数即可得到从出口5出来的总概率．解答过程：珠子在每个岔路口向左、向右下滑的概率均为，从顶端到最下方出口，一共需要经过5次独立的向左/向右选择；要从编号5的出口出来，需要在5次选择中恰好选4次向右、1次向左，根据独立重复试验的概率公式：．14.已知能够被15整除，其中，则__________．答案：14解析：思路：由，结合二项式定理可得除以的余数，从而能到的值，解答过程：.因为75可以被整除，所以可以被整除.由能够被15整除，知能够被15整除，又，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.代驾服务在中国已从一个新兴的细分市场发展成为覆盖亿用户、年订单量突破亿的庞大产业．某用户只在某市的网、网两个代驾平台选择代驾，根据历史数据，选择网的概率为，选择网的概率为，网代驾准时到达率为，网代驾准时到达率为．已知该用户每次选择的代驾准时到达与否相互独立．（1）求该用户选择代驾准时到达的概率；（2）在该用户的次选择代驾中，记准时到达的次数为，若的方差大于，求的最小值．答案：（1）0.89（2）10解析：（1）令事件“代驾准时到达”，“选择网，“选择网”．依题意，，，，，由全概率公式得，所以该用户选择代驾准时到达的概率为．（2）依题意，，则．由的方差大于，得，解得，所以的最小值为．16.DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为．（1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望；（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率．答案：（1）123（2）解析：思路：（1）由题可知，所有可能取值为1，2，3，由超几何分布公式分别求出各个变量对应的概率，写出分布列，再根据期望公式求出期望即可；（2）利用全概率公式求解即可.（1）由题可知，所有可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布列为：123所以．（2）记“输入的问题出现语法错误”为事件，则，，记“DeepSeek-R1的回答被采纳”为事件，则，，所以．17.宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：102030405060708013.515.818.52022232424.2（1）用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；（2）该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值．附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，②1612920400109603③，答案：（1）（2）35万元．解析：思路：（1）通过换元将对数型回归转化为线性回归，利用最小二乘法求解参数，注重是对公式的理解和代入计算.（2）结合第一问的回归模型，构建总收益函数，通过求导找到极值点，进而得到最大值，同时考查了对数运算的化简技巧.（1）令，则可转化为，由表可知，得到，，由最小二乘法公式得，b^所以a^=y（2）设2026年该企业投入食用枸杞生产的资金为万元，则投入生产药用枸杞片的资金为万元，其中，设2026年总收益为万元，则，，令，令，得，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故年总收益的最大值约为35万元．18.为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．（1）求甲答对每道题的概率；（2）已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）将甲答对题目拆分为甲独立答对、甲答错后同组成员答对两种互斥情况，利用互斥事件概率加法公式计算甲答对每道题的概率。（2）设出甲、乙答对题目的个数，枚举甲答对个数多于乙的所有互斥情况，分别计算对应概率并求和，再解关于的不等式得到的最小值.（1）甲答对题目分为两种互斥情况：①甲自己独立答对，概率为

；②甲没答对，同组成员答对，概率为

；因此甲答对每道题的概率为：

.（2）设甲答对题数为，乙答对题数为，则，，，包含三种互斥情况：；；，分别计算概率：​，，，，，因此：

，根据