浙江省杭州地区含周边重点中学2025-2026学年高二数学下学期期中试题

考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知复数满足，则（）A. B.2 C. D.42.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.3.已知向量，若，则（）A. B.C. D.4.下列椭圆中，形状最接近于圆的是（）A. B.C. D.5.已知，函数是偶函数，则（）A.-2 B.-1 C.1 D.26.已知，则（）A. B.C. D.7.直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（）A.2 B. C. D.48.设是自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（）A.平面B.C.平面平面D.平面平面10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的极值点B.时，有3个零点C.时，D.时，过原点可作两条不同直线与图象相切11.若数列满足，则称数列为项数列，所有项数列构成的集合记作，对任意数列（注：可以相同），记随机变量，则下列说法正确的是（）A.中有81个元素B.若，则的所有可能取值的个数为7C.当时，D.若的期望，则的最小值为67第II卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积为__________.13.若多项式，则__________.14.设抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的外接圆与轴的另一个交点为，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等差数列满足，数列的前项和为满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16.（本小题满分15分）在中，角所对的边分别是，已知，.（1）求；（2）若上一点满足，且，求的面积.17.（本小题满分15分）如图1，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图2所示.（1）证明：平面平面；（2）设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长.18.（本小题满分17分）设双曲线的右焦点为，已知到一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线被所截得的弦长为2.（1）求双曲线的标准方程；（2）设是双曲线上一点，已知双曲线在处的切线的方程为.（i）已知分别交两条渐近线于两点，求证：（为坐标原点）面积是定值；（ii）若在第一象限，设与直线交于点，证明：平分.19.（本小题满分17分）已知函数是自然对数的底数.（1）若，判断在区间上的单调性，并说明理由；（2）若，证明：在区间上有唯一极小值点，且；（3）若，已知在区间上恰有两个零点，设，记在上的最小值为，证明：.参考数据：.2025学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACBDDACC二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ABDACABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.1014.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）由题意得，解得由得到，两式相减得，，即又是首项为，公比为2的等比数列（2）由条件得由题意①，于是②①-②得化简上式得16.【答案】（1）由，得到，即，于是由得到，于是，即结合条件可得，故.（2）由题意得.由正弦定理得，于是故的面积为.17.【答案】（1）如图1，分别取中点中点，连结显然由条件得.又平面平面又平面，故平面平面（2）由（1）知，平面，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则设，则设平面的一条法向量为，由得令，则，即又平面的一条法向量为，设二面角的大小为，由为锐角，得化简得，解得或（舍）则，故.18.【答案】（1）由题意得，解得，双曲线的方程为（2）（i）联立，解得联立，解得，由于，所以所以的面积（ii）法1：要证明平分，即证只需证，只需证，即证易知，当时，解得，故又，故原命题得证.法2：易知，当时，解得，故由于设则要证明平分只需证与共线即证即证，显然成立平分19.【答案】（1）当时，，则由于，于是，故在区间上递增.（2）当时，，①当时，显然在上递增，且∴由零点存在定理知必存在使得②当时，可得由上述讨论可